22. Repetition

Uppgifter

1. Lös följande ekvationer.
   1. \( 4x^4 = 8 \)

      Lösning

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} 4x^4 & = & 8 & \mid /4\\ x^4 & = & 2 & \mid (\quad)^{\frac{1}{4}}\\ x & = & 2^{\frac{1}{4}} & \text{Detta är ett bra svar.}\\ x & = & \sqrt[4]{2} \\ \end{array} \)

      Eftersom vi har en jämn potens gäller \( x = \pm \sqrt[4]{2} \).

      Vi kan även direkt jobba med 4:e-roten i stället för att upphöja med 1/4.

   2. \( 3x^3 = 27 \)

      Lösning

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} 3x^3 & = & 27 & \mid /3\\ x^3 & = & 9 & \mid (\quad)^{\frac{1}{3}}\\ x & = & 9^{\frac{1}{3}} & \text{Detta är ett bra svar.}\\ x & = & \sqrt[3]{9} \\ \end{array} \)

      Eftersom vi har en udda potens gäller endast detta svar.

      Vi kan även direkt jobba med 3:e-roten i stället för att upphöja med 1/3.

   3. \( 2x^2 = 16 \)

      Lösning

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} 2x^2 & = & 16 & \mid /2\\ x^2 & = & 8 & \mid (\quad)^{\frac{1}{2}}\\ x & = & 8^{\frac{1}{2}} & \text{Detta är ett bra svar.}\\ x & = & \sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = 2\sqrt{2} \\ \end{array} \)

      Eftersom vi har en jämn potens gäller \( x = \pm \sqrt{8} \).

      Vi kan även direkt jobba med 2:e-roten i stället för att upphöja med 1/2.

   4. \( 2x^5 = 486 \)

      Lösning

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} 2x^5 & = & 486 & \mid /2\\ x^5 & = & 243 & \mid (\quad)^{\frac{1}{5}}\\ x & = & 243^{\frac{1}{5}} & \text{Detta är ett bra svar.}\\ x & = & \sqrt[5]{243} = 3 \\ \end{array} \)

      Eftersom vi har en udda potens gäller endast detta svar.

      Vi kan även direkt jobba med 5:e-roten i stället för att upphöja med 1/5.

   5. \( 4x^4 = 2 \)

      Lösning

      \( \begin{array}{rcll} 4x^4 & = & 2 & \mid /4\\ x^4 & = & \dfrac{1}{2} & \mid (\quad)^{\frac{1}{4}}\\ x & = & (\dfrac{1}{2})^{\frac{1}{4}} & \text{Detta är ett bra svar.}\\ x & = & \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \\ \end{array} \)

      Eftersom vi har en jämn potens gäller \( x = \pm \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \).

      Vi kan även direkt jobba med 4:e-roten i stället för att upphöja med 1/4.

2. Lös följande ekvationer.
   1. \( 2x^4 = 32 \)

      Lösning

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} 2x^4 & = & 32 & \mid /2\\ x^4 & = & 16 & \mid (\quad)^{\frac{1}{4}}\\ x & = & 16^{\frac{1}{4}} & \\ x & = & \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 \\ \end{array} \)

      Eftersom vi har en jämn potens gäller \( x = \pm 2 \).

      Vi kan även direkt jobba med 4:e-roten i stället för att upphöja med 1/4.

   2. \( x^4 = -4 \)

      Lösning

      Vi har en jämn potens, 4. En jämn potens kan aldrig bli negativ. Ekvationen saknar lösningar.

   3. \( x^3 = -27 \)

      Lösning

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} x^3 & = & -27 & \mid (\quad)^{\frac{1}{3}}\\ x & = & (-27)^{\frac{1}{3}} & \\ x & = & \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} \\ & = & -3 \\ \end{array} \)

      Eftersom vi har en udda potens är det den enda roten.

      Vi kan även direkt jobba med 3:e-roten i stället för att upphöja med 1/3.

   4. \( 2x^4 = 64 \)

      Lösning

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} 2x^4 & = & 64 & \mid /2\\ x^4 & = & 32 & \mid (\quad)^{\frac{1}{4}}\\ x & = & 32^{\frac{1}{4}} & \\ x & = & \sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16\cdot 2} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2} \\ & = & 2\sqrt[4]{2} \\ \end{array} \)

      Eftersom vi har en jämn potens gäller \( x = \pm 2\sqrt[4]{2} \).

      Vi kan även direkt jobba med 4:e-roten i stället för att upphöja med 1/4.

   5. \( (x-1)^2 = 4 \)

      Lösning

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} (x-1)^2 & = & 4 & \mid (\quad)^{\frac{1}{2}} \\ (x-1)^2{^{\frac{1}{2}}} & = & 4^{\frac{1}{2}} \\ x-1 & = & 2 \\ x & = & 2 +1 = 3 \\ \end{array} \)

      Den här är inte helt lätt av sig. Ta det som ett smakprov vad som kommer att komma i nästa kurs. (;

3. Fyll i det som saknas
   1. Då \(3^4 = 81 \) gäller att logaritmen i basen [ Lucka ] av talet [ Lucka ] är [ Lucka ].

      Lösning

      Då \(3^4 = 81 \) gäller att logaritmen i basen [ 3 ] av talet [ 81 ] är [ 4 ].

   2. Då \(5^3 = 125 \) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].

      Lösning

      Då \(5^3 = 125 \) är logaritmen av talet [ 125 ] i basen [ 5 ] talet [ 3 ].

   3. Då \(4^3 = 64 \) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].

      Lösning

      Då \(4^3 = 64 \) är logaritmen av talet [ 64 ] i basen [ 4 ] talet [ 3 ].

   4. Då \(3^6 = 729 \) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].

      Lösning

      Då \(3^6 = 729 \) är logaritmen av talet [ 729 ] i basen [ 3 ] talet [ 6 ].

4. Fyll i det som saknas
   1. Då logaritmen i basen 3 av talet 2187 är 7 gäller att [ Lucka ] \(^7 = \) [ Lucka ].

      Lösning

      Då logaritmen i basen 3 av talet 2187 är 7 gäller att [ 3 ] \(^7 = \) [ 2187 ].

   2. Då logaritmen av talet 49 i basen 7 är 2 gäller att [ Lucka ] \(^2 = \) [ Lucka ].

      Lösning

      Då logaritmen av talet 49 i basen 7 är 2 gäller att [ 7 ] \(^2 = \) [ 49 ].

   3. Då logaritmen i basen 2 av talet 64 är 6 gäller att [ Lucka ] \(^6 = \) [ Lucka ].

      Lösning

      Då logaritmen i basen 2 av talet 64 är 6 gäller att [ 2 ] \(^6 = \) [ 64 ].

   4. Då logaritmen i basen 3 av talet 81 är 4 gäller att [ Lucka ] \(^4 = \) [ Lucka ].

      Lösning

      Då logaritmen i basen 3 av talet 81 är 4 gäller att [ 3 ] \(^4 = \) [ 81 ].

5. Bestäm \(x\) då
   1. \(\log_4 x = 1\)

      Lösning

      \(\log_4 x = 1 \Leftrightarrow x = 4^1 = 4 \)

   2. \(\log_4 x - 3 =0\)

      Lösning

      \(\begin{array}{rcl} \log_4 x - 3 & = & 0 \\ \log_4 x & = & 3 \\ x & = & 4^3 = 64 \\ \end{array}\)

   3. \(\log_2 x + 3 = 0 \)

      Lösning

      \(\log_2 x + 3 = 0 \Leftrightarrow \log_2 x = -3 \Leftrightarrow x=2^{-3} = \dfrac{1}{8}\)

   4. \(\log_5 x - 5 =0\)

      Lösning

      \(\begin{array}{rcl} \log_5 x -5 & = & 0 \\ \log_5 x & = & 5 \\ x & = & 5^5 = 3125 \\ \end{array}\)

6. Låt \(a_n = 2n-3 \) där \( n = 1,2,3,\ldots \).
   1. Bestäm de fyra första elementen.

      Lösning

      Vi får

      \( a_1 = 2\cdot 1 -3 = -1 \)

      \( a_2 = 2\cdot 2 -3 = 1 \)

      \( a_3 = 2\cdot 3 -3 = 3 \)

      \( a_4 = 2\cdot 4 -3 = 5 \)

   2. Visa att talföljden är aritmetisk.

      Lösning

      Vi bildar differensen, \( d = a_{n+1} - a_n = 2(n+1)-3 -(2n-3) = 2n+2-3-2n+3 = 2 \).

      Talföljden är aritmetisk.

   3. Bestäm summan för de 50 första elementen.

      Lösning

      Vi behöver \( a_{50} = 2\cdot 50 -3 = 97 \).

      Vi får \( S_{50} = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} = \dfrac{50(-1+97)}{2} = 2400 \).

7. Låt \(a_n = 2\cdot (\dfrac{1}{4})^{n-1} \) där \( n = 1,2,3,\ldots \).
   1. Bestäm de fyra första elementen.

      Lösning

      Vi får

      \( a_1 = 2\cdot (\dfrac{1}{4})^{1-1} = 2\cdot \dfrac{1}{4}^0 = 2 \)

      \( a_2 = 2\cdot (\dfrac{1}{4})^{2-1} = 2\cdot \dfrac{1}{4}^1 = \dfrac{1}{2} \)

      \( a_3 = 2\cdot (\dfrac{1}{4})^{3-1} = 2\cdot \dfrac{1}{4}^2 = \dfrac{1}{8} \)

      \( a_4 = 2\cdot (\dfrac{1}{4})^{4-1} = 2\cdot \dfrac{1}{4}^3 = \dfrac{1}{32} \)

   2. Visa att talföljden är geometrisk.

      Lösning

      Vi bildar kvoten, \( q = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2\cdot (\dfrac{1}{4})^{(n+1)-1}}{2\cdot (\dfrac{1}{4})^{n-1}} = \dfrac{(\dfrac{1}{4})^{(n+1-1)}}{(\dfrac{1}{4})^{n-1}} = \dfrac{1}{4}^{n-(n-1)} = \dfrac{1}{4} \).

      Talföljden är geometrisk.

   3. Bestäm summan för de 50 första elementen.

      Lösning

      Vi får \( S_{100} = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \dfrac{2(1-\dfrac{1}{4}^{50})}{1-\dfrac{1}{4}} = 2\dfrac{2}{3} \).

8. I riksdagsvalet 2019 röstade 3 081 916 personer på olika partier. Bestäm den den procentuella andelen och antal röster för partierna i tabellen. Avrunda den procentuella andelen till en hundradel (två decimaler) och andel röster till heltal.

   Parti	Antal röster	Procentuell andel	Antal platser
   SDP		17,73	40
   Sannfinländarna		17,48	39
   Samlingspartiet	523 957		38
   Centern		13,76	31
   De gröna	354 194		20
   Vänstern	251 808		16
   SFP		4,53	9
   Kristdemokraterna		3,90	5
   Övriga	89 582		2

   Lösning

   Parti	Antal röster	Procentuell andel	Antal platser
   SDP	546 471	17,73	40
   Sannfinländarna	538 805	17,48	39
   Samlingspartiet	523 957	17,00	38
   Centern	423 920	13,76	31
   De gröna	354 194	11,49	20
   Vänstern	251 808	8,17	16
   SFP	139 640	4,53	9
   Kristdemokraterna	120 144	3,90	5
   Övriga	89 582	2,91	2

9. Räntan på ett lån steg från 4,25 % till 5,00 %. Beräkna hur många
   1. procentenheter och

      Lösning

      Procentenheten är \( 5,00 - 4,25 = 0,75 \) procentenheter.

   2. procent räntan steg

      Lösning

      Den procentuella förändringen är \( \dfrac{5,00}{5,25} = 1,1764 \). En höjning om \( 1,1764 - 1 = 0,1764 \), alltså 17,6 %.

10. En studerande löste följande uppgift:

    För en överfiskad fiskart gäller att beståndet minskar med 2,5 % varje år. I en sjö finns det 1 500 fiskar. Efter hur många år är beståndet nere i hälften om trenden forstätter konstant?

    Lösningen var följande:

    Hälften betyder \(\dfrac{1500}{2} = 750\) fiskar. Det minskar med 2,5 % varje år. Alltså efter \(\dfrac{750}{2,5} = 300\) år är beståndet nere i hälften.

    Lös uppgiften, korrigera felen och förklara varför som det far åt skogen med lösningen ovan.

    Lösning

    Vi har procentuell förändring. Antalet fiskar i början är 1 500 stycken.

    Om vi betecknar allmänt är antalet fiskar \( a \). Antal fiskar som är kvar är \( 0,975a \).

    Efter år 1 har vi kvar \( 1500 \cdot 0,975 \) eller \( 0,975a \).

    Efter år 2 har vi kvar \( 1500 \cdot 0,975 \cdot 0,975 = 1500 \cdot 0,975^2 \) eller \( 0,975^2 \cdot a \).

    Ekvationen blir \( 1500 \cdot 0,975^n = 750 \) eller \( 0,975^n a = 0,5a \).

    Bägge ekvationerna löser vi på samma sätt, med logaritmer.

    Vi får \( n = 27,38 \). Alltså efter 28 år.

11. För en fest vill gymnasiestuderande blanda en bål vars alkoholhalt är högst 5 %. Studerandena har 0,5 l Koskenkorva och Coca Cola. Hur mycket Coca Cola skall man minst blanda i brännvinet, vars alkoholhalt är 38 %?

    Lösning

    Vi gör följande tabell

    	Koskenkorva	Coca Cola	totalt
    mängd	0,5 liter	\( b \)	\( 0,5 + b \)
    alkohol	\( 0,38 \cdot 0,5 = 0,19 \)	0	\( 0,19 \)

    Eftersom alkoholhalten högst skall vara 5 % får vi ekvationen

    \( \begin{array}{rcl} \dfrac{0,19}{0,5 + b} & = & 0,05 \\ 0,19 & = & 0,05(0,5 + b) \\ 0,19 & = & 0,05\cdot 0,5 + 0,05b \\ 0,05b & = & 0,165 \\ b & = & \dfrac{0,165}{0,05} = 3,3 \\ \end{array} \)

    Alltså minst 3,3 liter Coca Cola.

12. På håltimmen dricker Anna en halv liter energidryck som innehåller 160 mg koffein. Mängden koffein i en människa minskar med cirka 13 % per timme.
    1. Bilda ett uttryck som anger andelen milligram koffein i kroppen.

       Lösning

       I början har vi 160 mg och det minskar med 13 % per timme. Vi får ekvationen \( 160 (1-0,13)^t \) som vi kan förenkla till \( 160\cdot 0,87^t \).

    2. Efter hur många timmar är mängden koffein i kroppen under 100 mg?

       Lösning

       Vi får ekvationen

       \( \begin{array}{rcl} 160\cdot 0,87^t & = & 100 \\ 0,87^t & = & \dfrac{100}{160} \\ t & = & \log_{0,87}\dfrac{10}{16} = 3,37\ldots \\ \end{array} \)

       Efter 3 timmar och 23 minuter.

    3. Efter hur många timmar är mängden koffein i kroppen under 10 mg?

       Lösning

       Som ovan. Vi får ekvationen

       \( \begin{array}{rcl} 160\cdot 0,87^t & = & 10 \\ 0,87^t & = & \dfrac{10}{160} \\ t & = & \log_{0,87}\dfrac{1}{16} = 19,91\ldots \\ \end{array} \)

       Efter 19 timmar och 55 minuter.

13. Visa att en ekvation av första grad, \( ax + b = 0 \) har en lösning som ser ut som \( x = -\dfrac{b}{a} \).

    Lösning

    Vi räknar på.

    \( \begin{array}{rcll} ax + b & = & 0 & \mid -b\\ ax & = & -b & \mid /a \\ x & = & -\dfrac{b}{a} \\ \end{array} \)

    Det var det vi skulle visa.