MaG Tal och talföljder

20. Geometrisk summa

Vi häller saft i glas om på följande sätt: det första fyller vi helt, det andra till hälften, det tredje till en fjärdedel, det fjärde till en åttondel och så fortsätter vi tills vi fyllt 10 st glas. Hur mycket saft går åt?

Lösning

Vi får följande mängder

GlasMängd
12 dl
21 dl
3\(\dfrac{1}{2}\) dl
4\(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\) dl
5\(\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\) dl
6\(\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}\) dl
7\(\dfrac{1}{16}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{32}\) dl
8\(\dfrac{1}{32}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{64}\) dl
9\(\dfrac{1}{64}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{128}\) dl
10\(\dfrac{1}{128}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{256}\) dl

Vi märker att det är inte mycket saft som är i glasen. Summan av dessa får vi lättast på räknare. Summan är 3,996... dl. Alltså nästan 4 dl.

I introduktionen har vi en geometrisk talföljd eftersom mängden alltid minskar med samma faktor, kvot. För att kunna bestämma summan har vi inte något lätt sätt utan vi får vara mera matematiska av oss.

En geometrisk talföljd består av elementen \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\). Elementen skriver vi som

\(a_1= a_1\)

\(a_2 = a_1 \cdot q\)

\(a_3 = a_1 \cdot q^2\)

\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Summan, \(S_n = a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + \ldots + a_1 \cdot q^{n-1}\) som vi multiplicerar med \(q\) och får \(qS_n = a_1 \cdot q+ a_1 \cdot q^2+ a_1 \cdot q^3 + \ldots + a_1 \cdot q^n\).

Skillnaden mellan dessa är

\(\begin{array}{rcl} S_n -qS_n & = & a_1 -a_1q^n \\ S_n (1-q) & = & a_1(1-q^n)\\ S_n & = & \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\ \end{array}\)

Summan för en geometrisk talföljd är \(S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\) där

\(a_1\) är första elementet

\(q\) är kvoten mellan elementen

\(n\) är antal element.

Exempel 1 Bestäm summan av de 15 första elementen för den geometriska talföljden \(a_n=2 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 2\cdot 4^3 +\ldots \).

Lösning

\(a_1 = 2\), \(q= 4\) och antal element, \(n=15\) st. \(S_n = \dfrac{2(1-4^{15})}{1-4}= 715827882\).

Exempel 2 Hur många element från talföljden \(3; 1,5 \cdot 3; 1,5^2 \cdot 3, \ldots\) skall adderas för att summan överstiger 900?

Lösning

Vi har \(a_1=3\), \(q=1,5\), \(n=?\). Vi får att

\(\begin{array}{rcll} \dfrac{3(1-1,5^n)}{1-1,5} & > & 900 \\ \dfrac{1-1,5^n}{-0,5} & > & 300 & \mid \cdot -0,5\\ 1-1,5^n & < & -150 \\ -1,5^n & < & -151 \\ 1,5^n & > & 151 \\ n & > & \log_{1,5} 151 \approx 12,37\\ \end{array}\)

I alla fall 13 st element.

Exempel 3 För ett nyfött barn placeras 200 €. Vid varje födelsedag placeras i barnets namn 200 € ända tills barnet fyller 18 år. Hur stor summa kan hen lyfta om vi räknar med en årlig avkastning på 7 % och en kapitalskatt på 30 %.

Lösning

Den verkliga räntan är \(0,07\cdot 0,70 = 0,049\).

Vi gör följande tabell

\(\begin{array}{cl} \text{År} & \text{Total summa} \\ 1 & 200 \\ 2 & 200\cdot 1,049 + 200 \\ 3 & 200\cdot 1,049^2 + 200\cdot 1,049 +200 \\ 4 & 200\cdot 1,049^3 + 200\cdot 1,049^2 +200\cdot 1,049 +200 \\ \vdots \\ 19 & 200\cdot 1,049^{18} + 200\cdot 1,049^{17} + \ldots +200\cdot 1,049 +200 \\ \end{array}\)

\(a_1 = 200\), \(q=1,049\) och \(n=19\). Summan är \(\dfrac{200(1-1,049^{19})}{1-1,049} = 6047,41\) €, vilket är betydligt mera än \( 18 \cdot 200 = 3600 \) €.

Uppgifter

  1. Bestäm summan av den geometriska talföljden \(2, 2^2, 2^3, \ldots 2^{15}\).

    Kvoten \( q = \dfrac{2^2}{2} = 2 \), första elementet är \( a_1 = 2 \) och antal element är 15 st.

    \(S_n = \dfrac{2(1-2^{15})}{1-2} = 65534\).

  2. Bestäm summan av de hundra första termerna i den geometriska talföljden \( (2,6,18,54, \ldots ) \).

    Talföljden är geometrisk. Kvoten är \( q = \dfrac{6}{2} = 3 \).

    Vi har \( n = 100 \) element. Det första elementet är \( a_1 = 2 \).

    Summan är \( S_{100} = \dfrac{2(1-3^{100})}{1-3} = 1 - 3^{100} \approx 5,15 \cdot 10^{47} \).

  3. Bestäm summan av den geometriska talföljden \(5, 2^{-1}\cdot 5, 2^{-2}\cdot 5, \ldots 2^{-20}\cdot 5\).

    Kvoten är \( q = \dfrac{5\cdot 2^{-1}}{5} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2} \), första elementet är \( a_1 = 5 \) och antal element är 21 st.

    \(S_n=\dfrac{5(1-\frac{1}{2}^{21})}{1-\frac{1}{2}} = 9,99\ldots\).

  4. Bestäm summan av de hundra första termerna i den geometriska talföljden \( (2,-6,18,-54, \ldots ) \).

    Talföljden är geometrisk. Kvoten är \( q = \dfrac{-6}{2} = -3 \).

    Vi har \( n = 100 \) element. Det första elementet är \( a_1 = 2 \).

    Summan är \( S_{100} = \dfrac{2(1-(-3)^{100})}{1-(-3)} = \dfrac{1 - 3^{100}}{2} \approx -2,58 \cdot 10^{47} \).

  5. Bestäm
    1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{30} 2^k\)

      Vi har följande.

      Första elementet är \( a_1 = 2^1 = 2 \)

      \( q = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2 \)

      Antal element är 30 st.

      \(\displaystyle\sum_{k=1}^{30} 2^k = \dfrac{2(1-2^{30})}{1-2} = 2147483646 \).

    2. \(\displaystyle\sum_{k=10}^{30} 2^k\)

      Vi har följande.

      Första elementet är \( a_{10} = 2^{10} \)

      \( q = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2 \)

      Antal element är 21 st. Räkna på fingrarna om du är osäker. (;

      \(\displaystyle\sum_{k=10}^{30} 2^k = \dfrac{2^{10}(1-2^{21})}{1-2} = 2147482624\).

    3. \(\displaystyle\sum_{k=20}^{30} 2^k\)

      Vi har följande.

      Första elementet är \( a_{20} = 2^{20} \)

      \( q = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2 \)

      Antal element är 11 st. Räkna på fingrarna om du är osäker. (;

      \(\displaystyle\sum_{k=20}^{30} 2^k = \dfrac{2^{20}(1-2^{11})}{1-2} = 2146435072\).

  6. Hur många element från talföljden \(6; 6\cdot1,5; 6\cdot 1,5^2; \ldots\) skall adderas så att summan överstiger 500?

    Vårt första element är \(a_1 = 6\)

    Kvoten är \(q= \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{a_{2}}{a_1} = \dfrac{6\cdot 1,5}{6} = 1,5\)

    Antal element är \(n = ?\)

    Vi får \(\dfrac{6(1-1,5^n)}{1-1,5} > 500\) som ger \(n > 9,26\).

    Lös ekvationen på GeoGebra genom att i CAS använda dig av kommandot lös.

    Alltså 10 st.

  7. För vilket värde på \(q\) gäller att de 50 första elementen från talföljden \(0,8 ; q \cdot 0,8; q^2\cdot 0,8, \ldots\) har summan 150?

    Lös ekvationen på GeoGebra, använd dig av kommandot lös().

    Första elementet är \(a_1 = 0,8\), antal element är \(n=50\) och summan skall ha värdet 150.

    Vi får ekvationen \(\dfrac{0,8(1-q^{50})}{1-q}=150\) som har lösningen \(q=1,04655\ldots\).

    \( q \) skall ha värdet 1,047.

  8. Anna sätter varje månad in 100 € på ett konto där räntan är 2,4 %. Räntan läggs till kapitalet varje månad.

    (I verkligheten har inga konton så hög ränta. För att komma nära 2,4 % borde vi använda oss av fonder, men då betalas inte räntan varje månad.)

    1. Hur mycket pengar finns det i fonden efter 5 år?

      Räntesatsen är på årlig basis. Räntan varje månad är \( \dfrac{2,4 \text{ %}}{12} = 0,2 \) %.

      Totalt har vi \( 12 \cdot 5 = 60 \) månader.

      Den första insättningnen ger \( 1,002^{60}\cdot 100 \) €.

      Den andra insättningnen ger \( 1,002^{59}\cdot 100 \) €.

      Den sista insättningnen ger \( 1,002^{1}\cdot 100 \) €.

      Den totala summan är \( 1,002^{60} \cdot 100 + 1,002^{59}\cdot 100 + \ldots + 1,002^{1}\cdot 100 \). Vi kan skriva den som \( 100 (1,002^{60} + 1,002^{59} + \ldots + 1,002) \).

      Summan är geometrisk.

      Summan är \( 1,002\cdot 100 \cdot \dfrac{1-1,002^{60}}{1-1,002} \approx 6,3381 \) €.

    2. Hur många månader borde Anna spara på detta sätt för att kunna för sina sparpengar köpa en etta för 95 000 €?

      Vi utnyttjar ekvationen som vi bildade i a).

      Ekvationen är \( 1,002\cdot 100 \cdot \dfrac{1-1,002^{n}}{1-1,002} = 95 000 \).

      Vi kan lösa den med hjälp av logaritmer, eller så på räknarprogram, Geogebra eller TI-CAS. Vi får \( n = 532,23 \) månader, alltså 44 år och 5 månader. (;

    3. Vad borde Anna ändra på för att spara ihop så att hon kan köpa lägenheten om 15 år?

      Det finns två alternativ, antingen skall räntan vara högre, eller så skall summan vara större. Vi undersöker bägge fallen.

      Under 15 år har vi \( 12 \cdot 15 = 180 \) månader.

      Vi utnyttjar ekvationen från a).

      Vi betecknar räntan med \( p \). Ekvationen är \( (1+p)\cdot 100 \cdot \dfrac{1-(1+p)^{180}}{1-(1+p)} = 95 000 \).

      Försöker du lösa den på räknare, tar det en stund och den ger ingenting. Vi testar oss fram.

      Kom ihåg att vi arbetar med räntan per månad!

      Då räntan är 0,5 % per månad får vi 29 227,30 €. För litet.

      Då räntan är 1,0 % får vi 50 457,60 €. För litet.

      Då räntan är 1,5 % får vi 91 920,90 €. Det närmar sig.

      Då räntan är 1,55 % får vi 97 856,70 €. Lite för mycket. Men det är bra.

      På årsbasis borde räntan vara \( 12 \cdot 1,55 \text{ %} = 18,6 \text{ %} \).

      Vi låter räntan vara konstant 0,2 % per månad och ändrar på summan, den betecknar vi med \( k \). Ekvationen är \( 1,002\cdot k \cdot \dfrac{1-1,002^{180}}{1-1,002} = 95 000 \). Då vi löser ekvationen får vi \( k = 438,11 \) € per månad.

  9. Anna fondsparar så att varje månad placerar hon 20 € av sin lön. Fonden som hon sparar i har en årlig avkastning på 5,5 %. Hur stor summa kan Anna lyfta efter 10 år av sparande? Kom ihåg att beakta en kapitalskatt på 30 %.

    Den månatliga räntan är \(\dfrac{5,5}{12} = 0,4583\ldots\). Då vi beaktar skatten är räntan varje månad \(0,4583\ldots\cdot 0,70 = 0,32083\ldots \approx 0,321\) %.

    Vi gör en tabell

    \(\begin{array}{cl} \text{Månad} & \text{Total summa} \\ 1 & 20 \\ 2 & 20\cdot 1,00321 + 20 \\ 3 & 20\cdot 1,00321^2 + 20\cdot 1,00321 + 20 \\ 4 & 20\cdot 1,00321^3 + 20\cdot 1,00321^2 + 20\cdot 1,00321 + 20 \\ \ldots \\ 120 & 20\cdot 1,00321^{119} + 20\cdot 1,00321^{118} + \ldots + 20\cdot 1,00321 + 20 \\ \end{array}\)

    Vi har en geometrisk summa där \(a_1 = 20\), \(q=1,00321\) och \(n=120\). Summan är \(\dfrac{20(1-1,00321^{120})}{1-1,00321} = 2922,13 \)€.

    1. Hur mycket borde hon placera per månad för att uppnå summan 5000 € under samma tid med samma avkastningsprocent?

      Vi utnyttjar det som vi bildade ovan och får ekvationen \(\dfrac{a_1(1-1,00321^{120})}{1-1,00321} = 5000\) som ger \(a_1 = 34,22\) €.

  10. Vid 2000-talet värderade man att oljan i de kända oljekällorna räcker för ännu 40 år. Hur länge skulle oljan räcka om man klarade av att minska förbrukningen med 1,5 % varje år?

    Beteckna den totala mängden olja med tex \(a\). Hur mycket förbrukas per år före och efter att man minskar på konsumptionen? Hur får du in en geometrisk summa?

    Vi namnger den totala mängden olja med \(a\). Varje år konsumeras \(\dfrac{1}{40}a\) av oljan. Då konsumptionen varje år skall minska med 1,5 % minskar det första året \(\dfrac{1}{40}a\cdot0,985\), andra året \(\dfrac{1}{40}a\cdot0,985^2\), tredje året \(\dfrac{1}{40}a\cdot0,985^3\) osv så att sista året är konsumptionen \(\dfrac{1}{40}a\cdot0,985^n\).

    Mängden olja som är kvar är \(a-[\dfrac{1}{40}a\cdot0,985+\dfrac{1}{40}a\cdot0,985^2+\ldots+\dfrac{1}{40}a\cdot0,985^n] = \\ a-\dfrac{a}{40}(0,985+0,985^2+\ldots 0,985^n)\).

    \(0,985+0,985^2+\ldots 0,985^n\) är en geometrisk summa, \(a_1=0,985\) och \(q=0,985\).

    Vi får \(a-\dfrac{a}{40}(\dfrac{0,985(1-0,985^n)}{1-0,985})\).

    Eftersom oljemängden skall ta slut så är uttrycket \(\dfrac{a}{40}(\dfrac{0,985(1-0,985^n)}{1-0,985})=a\) som har lösningen \(n=62,1 \) år.