12. Logaritmer

Tag och beskriv talen \(2\), \(4\), \(5\), \(\sqrt{2}\) och \(\dfrac{1}{8}\) som potenser med basen 2.

Logaritmen för talet \(a\) är den exponent \(x\) som basen \(b\) måste upphöjas i för att ha samma värde som \(a\). \[a=b^x.\]

För talet 1000 gäller att logaritmen är 3 i basen 10 eftersom \(1000=10^3\).

Vi kan skriva det som \(y=b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y)\). Där \(b\) och \(x\) är positiva och \(b\not=1\).

Till exempel är \(4^3 = 64\), det betyder att för talet 64 är logaritmen 3 i basen 4. Det kan vi skriva som \(3=\log_4 (64)\).

Logaritmer introducerades av John Napier för att göra uträkningar simplare. I dagens läge med datorer så är nyttan inte lika stor som på tidigt 1600-tal men ännu används logaritmer då vi bestämmer pH hos ämnen eller då vi bestämmer ljudstyrkan.

Bestäm logaritmen med basen 6 då

\(6^9\). Eftersom vi höjer talet 6 i 9 är basen 6 och exponenten 9. Logaritmen med basen 6 är 9.
\(216\). Talet \(216 = 6^3\). Logaritmen med basen 6 av talet 216 är 3.
\(1\). 1 kan vi skriva som \(1=6^0\). Logaritmen med basen 6 av talet 1 är 0.
\(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\). \(\dfrac{1}{\sqrt{6}}=6^{-\frac{1}{2}}\). Logaritmen med basen 6 av talet \(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\) är \(-\dfrac{1}{2}\).

När vi har logaritmer har vi vissa baser som används mera än andra. De baserna är \(2\), \(e\) och \(10\).

Basen	Kallas för	Logaritmen betecknas	Används i
2	Binär logaritm	\(\textrm{lb}\)	Dataveteskaper, informationsteknologi, fotografering, musikteori
e	Naturlig logaritm	\(\ln\)	Naturvetenskaper (matematik, fysik, kemi), statistik, ekonomi, informationsteknologi
10	Allmän logaritm	\(\lg\)	Logaritmiska tabeller, decibelskalan, Richterskalan, spektroskopi

Exempel 1 Bestäm \(\lg 2x-1=0\).

Lösning

Logaritmen är definierad då \(2x>0 \Leftrightarrow x>0\).

\(\lg 2x - 1=0 \Leftrightarrow \lg 2x = 1 \Leftrightarrow \lg 2x = \lg 10^1\) som ger oss att \(2x=10 \Leftrightarrow x=5\).

Uppgifter

Välj rätt alternativ för logaritmen av talen i basen 3 då

	\(-7\)	\(-3\)	\(-1\)	\(0\)	\(5\)	\(6\)
\(3^5\)
\(729\)
\(1\)
\(\dfrac{1}{3} \)
\(\dfrac{1}{27} \)
\(\dfrac{1}{3^7} \)

	\(-7\)	\(-3\)	\(-1\)	\(0\)	\(5\)	\(6\)
\(3^5\)
\(729\)
\(1\)
\(\dfrac{1}{3} \)
\(\dfrac{1}{27} \)
\(\dfrac{1}{3^7} \)

\(3^5\), 5
\(729=3^6\), 6
\(1=3^0\), 0
\(\dfrac{1}{3} =3^{-1}\), \(-1\)
\(\dfrac{1}{27} =3^{-3}\), \(-3\)
\(\dfrac{1}{3^7} =3^{-7}\), \(-7\)

Kombinera så att logaritmen med basen 5 blir rätt då

	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(3\)	\(4\)
\(625\)
\(\sqrt{5}\)
\(\dfrac{1}{25}\)
\(\dfrac{1}{5}\)
\(125\)
\(1\)

	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(3\)	\(4\)
\(625\)
\(\sqrt{5}\)
\(\dfrac{1}{25}\)
\(\dfrac{1}{5}\)
\(125\)
\(1\)

\(625=5^4\), 4
\(125=5^3\), 3
\(1=5^0\), 0
\(\dfrac{1}{5}=5^{-1}\), \(-1\)
\(\dfrac{1}{25}=5^{-2}\), \(-2\)
\(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\), \(\dfrac{1}{2}\)

Fyll i det som saknas
1. Då \(3^2 = 9\) gäller att logaritmen i basen [ Lucka ] av talet [ Lucka ] är [ Lucka ].
  
  Då \(3^2 = 9\) gäller att logaritmen i basen [ 3 ] av talet [ 9 ] är [ 2 ].
2. Då \(5^4 = 625\) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].
  
  Då \(5^4 = 625\) är logaritmen av talet [ 625 ] i basen [ 5 ] talet [ 4 ].
3. Då \(4^5 = 1024\) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].
  
  Då \(4^5 = 1024\) är logaritmen av talet [ 1024 ] i basen [ 4 ] talet [ 5 ].
4. Då \(3^7 =2187\) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].
  
  Då \(3^7 =2187\) är logaritmen av talet [ 2187 ] i basen [ 3 ] talet [ 7 ].
Fyll i det som saknas
1. Då logaritmen i basen 5 av talet 125 är 3 gäller att [ Lucka ] \(^3 = \) [ Lucka ].
  
  Då logaritmen i basen 5 av talet 125 är 3 gäller att [ 5 ] \(^3 = \) [ 125 ].
2. Då logaritmen av talet 343 i basen 7 är 3 gäller att [ Lucka ] \(^3 = \) [ Lucka ].
  
  Då logaritmen av talet 343 i basen 7 är 3 gäller att [ 7 ] \(^3 = \) [ 343 ].
3. Då logaritmen i basen 2 av talet 256 är 8 gäller att [ Lucka ] \(^8 = \) [ Lucka ].
  
  Då logaritmen i basen 2 av talet 256 är 8 gäller att [ 2 ] \(^8 = \) [ 256 ].
4. Då logaritmen i basen 3 av talet 243 är 5 gäller att [ Lucka ] \(^5 = \) [ Lucka ].
  
  Då logaritmen i basen 3 av talet 243 är 5 gäller att [ 3 ] \(^5 = \) [ 243 ].
Bestäm \(x\) då
1. \(\log_6 x=1\)
  
  \(\log_6 x=1 \Leftrightarrow x=6^1 = 6\)
2. \(\log_4 x -2 =0\)
  
  \(\begin{array}{rcl} \log_4 x -2 & = & 0 \\ \log_4 x & = & 2 \\ x & = & 4^2 = 16 \end{array}\)
3. \(\log_3 x+4=0\)
  
  \(\log_3 x+4=0 \Leftrightarrow \log_3 x = -4 \Leftrightarrow x=3^{-4} = \dfrac{1}{81}\)
4. \(\log_5 x -4 =0\)
  
  \(\begin{array}{rcl} \log_5 x -4 & = & 0 \\ \log_5 x & = & 4 \\ x & = & 5^4 = 625 \end{array}\)
Bestäm \(x\) då
1. \(2\lg x = 4\)
  
  \(\begin{array}{rcll} 2\lg x & = & 4 & \mid /2\\ \lg x & = & 2 \\ x & = & 10^2 = 100 \\ \end{array}\)
2. \(5\lg x =15\)
  
  \(\begin{array}{rcll} 5\lg x & = & 15 & \mid /5\\ \lg x & = & 3 \\ x & = & 10^3 = 1000 \end{array}\)
3. \(2\log_2 x-1=0\)
  
  \(2\log_2 x-1=0 \Leftrightarrow 2\log_2 x = 1 \Leftrightarrow \log_2 x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
4. \(3\log_3 x=-2\)
  
  \(3\log_3 x=-2 \Leftrightarrow \log_3 x = -\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x= 3^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}}\)
Bestäm basen då
1. \(\log_a 9 = 2\)
  
  \(a=3\) eftersom \(9=3^2\).
2. \(\log_a 81 = 4\)
  
  \(a=3\) eftersom \(81 = 3^4\).
3. \(\log_a 625 = 4\)
  
  \(a=5\) eftersom \(625 = 5^4\)
4. \(\log_a 1024 = 5\)
  
  \(a=4\) eftersom \(1024 = 4^5\).
5. \(\log_a 343 =3\)
  
  \(a=7\) eftersom \(343 = 7^3\).