19. Aritmetisk summa

Bestäm summan av de första 100 heltalen.

Lösning

Vi skall addera \(1+2+3+4+5+6+ \ldots + 98+99+100\).

Vi märker att då vi kombinerar det sista och första talet får vi summan 101. Samma får vi då vi adderar 2+99, 3+98, ... , 50+51.

Hur många sådana par har vi som bildar summan 101?

Jo, 50 st. Summan får vi som \(50 \cdot 101 = 5050\).

I introduktionen arbetade vi med en aritmetisk talfölj, varje tal var ett större än de föregående. Genom att gruppera dem får grupperna samma summa. Sedan är det bara att multiplicera med antal grupper.

Mera matematiskt ser det ut som följande:

En aritmetisk talföljd består av elementen \(a_1, a_1+d, a_1+2d, a_1+3d, \ldots ,a_1+(n-2)d, a_1+(n_1)d\). Vi har \(n\) stycken element. Vi bestämmer summan av dessa \(n\) st element \(S_n= a_1+ a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n\).

Vi märker att summan av \(a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \ldots\). Sådana par av terner har vi \(\dfrac{n}{2}\) st.

Summan är \(S_n=\dfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = n\dfrac{a_1+a_n}{2}\), där

\(n\) är antal element

\(a_1\) är första elementet

\(a_n\) sista elementet.

För summa använder man inom matematiken även symbolen \(\displaystyle\sum\). Med summa notationen betyder \(\displaystyle\sum_{i=2}^6 a_i = a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\).

Skriver vi \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\).

Summan av en aritmetisk talföljd kan vi skriva som \(\displaystyle\sum_{i=1}^n = n\dfrac{a_1+a_n}{2}\).

Exempel 1 Bänkarna i en biosalong är placerade så att på första raden finns det 25 st, sedan finns det 2 st flera per rad. Totalt finns det 14 rader i biosalongen. Hur många platser finns det totalt i biosalongen?

Lösning

Vi har en aritmetisk summa där \(a_1 = 25\), \(a_{14}=25+2\cdot 14\) och \(n=14\). Antal platser är \(\dfrac{14}{2}(25+25+2\cdot 14 ) = 546\).

Exempel 2 Bestäm summan av de naturliga tal som är delbara med 11 och består av mindre än 4 siffror.

Lösning

Talen ser ut som \(11, 22, 33, \ldots 990\). Första elementet är \(a_1=11\) och skillnaden är \(d=11\).

Antalet element är

\(\begin{array}{rcl} a_n = 11+(n-1)11 & = & 990\\ n-1 & = & \dfrac{990-11}{11}\\ n & = & \dfrac{979}{11}+1\\ n & = & 90\\ \end{array}\)

Summan är \(\displaystyle\sum_{n=1}^{90} 11+11(n-1) = \dfrac{90}{2}(11+990)=45045\).

Exempel 3 Ett bostadslån på 150 000 € lånas för 10 år med den årliga räntan 2,4 %. Varje månad betalas en lika stor amortering. Bestäm den totala summa som betalas i ränta.

Lösning

Under 10 år betalas 12 amorteringar så totala antalet amorteringar är 120 st. Betyder att varje amortering är \(\dfrac{150000}{120} = 1250\) €.

Per år betalar man 2,4 % i ränta. Det betyder att den månatliga räntan är \(\dfrac{2,4}{12} =0,2\) %.

Vi gör följande tabell

\(\begin{array}{cll} \text{Månad} & \text{Summa på lånet kvar} & \text{Ränta som betalas} \\ 1 & 150 000 & 0,002 \cdot 150 000 \\ 2 & 148 750 & 0,002 \cdot 148 750 \\ 3 & 147 500 & 0,002 \cdot 147 500 \\ \vdots\\ 120 & 1250 & 0,002 \cdot 1250 \\ \end{array}\)

Vi har en aritmetisk summa där elementen minskar med värdet \(0,002 \cdot 1250\).

Den totala summan för räntan är \(\dfrac{120}{2}(0,002\cdot 150 000 + 0,002 \cdot 1250)= 18 150\) €

Ekvationer på GeoGebra

Uppgifter

Bestäm summan av de 100 första jämna talen.

Vi har \(2+4+6+8 + \ldots +198 +200\). Vi kan gruppera dem som \(2+200 = 4+198\) osv.

Grupper har vi 50 st. Summan är \(50 \cdot 202 = 10100\).

Eller med formel: \(n=100\), \(a_1=2\) och \(a_{100} = 200\). Alltså \(\dfrac{100}{2}(2+200) = 10100\).
Bestäm summan av \(2 + 5 + 8 + 11 + \ldots + 83\).

Vi märker att skillnaden/steget, \(d\), är 3. En aritmetisk talföljd består av \(a_n=a_1 +(n-1)d\).

\(a_1 = 2\), \(d=3\) och det sista talet är 83. Vi får antal element ur ekvationen \(83=2+(n-1)3\) som har lösningen \(n=28\).

Summan är \(\dfrac{28}{2}(2+83) = 1190\).
Bestäm \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} 9-2n\).

Vi får följande

\( a_1 = 9-2\cdot 1 = 7 \)

\( a_{10} = 9-2\cdot 10 = -11 \)

Antal element är 10 st.

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} 9-2n = \dfrac{10}{2}(7+-11) = -20\).
Bestäm \(\displaystyle\sum_{n=1}^{100} 2n-1\).

Vi får följande

\( a_1 = 2\cdot 1-1 = 1 \)

\( a_{100} = 2\cdot 100-1 = 199 \)

Antal element är 100 st.

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{100} 2n-1 = \dfrac{100}{2}(1+199) = 10000\).
Bestäm \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2k-1\).

Vi får följande

\( a_1 = 2\cdot 1-1 = 1 \)

\( a_{n} = 2\cdot n-1 = 2n-1 \)

Antal element är n st.

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2k-1 = \dfrac{n}{2}(1+(2n-1)) = \dfrac{n}{2}(1+2n-1) = \dfrac{n\cdot 2n}{2} =n^2\).
Av 750 konservburkar skall byggas ett så högt torn som möjligt så att överst är 1 burk, där under sedan 2 burkar, sedan 3 burkar osv.

Hur många konservburkar bildar bottnet?

Vi har en aritmetisk summa där första elementet är \(a_1=1\) och \(d = 1\).

Vår summa är \(\dfrac{n}{2}(1+n) = 750\) som har lösningarna \(n=\pm 38,29\). Den kan du lösa på GeoGebra eller för hand.

Eftersom \(n > 0\) så består bottnet av 38 burkar.
1. Hur många konservburkar är över?
  
  Mängden burkar som är över är \(750 - \displaystyle\sum_{i=1}^{38} i = 750 - \dfrac{38}{2}(1+38)= 9\) st.
I skolans gymnastiksal arrangeras stolarna i sådana rader att i första finns 14 stolar och så att i nästa rad finns 4 st flera stolar än i föregående rad. Hur många rader behövs då det skall finnas plats för 320 elever?

Vår talföljd ser ut som \(a_n = 14 + 4(n-1)\) där \(n=1,2,3,\ldots\).

Summan är \(\displaystyle\sum_{i=1}^n 14+4(i-1) = 320\), alltså \(\dfrac{n}{2}(14+14+4(n-1))=320\) som har lösningarna \(n=-16\) och \(n=10\).

Det behövs 10 rader.
Bestäm den totala summan som betalas i ränta för ett snabblån på 2000 € som avkortas varje månad under två år med den årliga räntan 24,0 %.

Månatligen avkortar vi \(\dfrac{2000}{24} = 83,33\) €.

Den månatliga räntan är \(\dfrac{24}{12} = 2,0\) %.

Varje månad minskar räntan som vi betalar av kapitalet med \(0,02 \cdot 83,33\).

Den totala räntesumman är \(0,02 \cdot 2000 + 0,02 \cdot (2000 - 83,33) + \ldots 0,02 \cdot 83,33\). Summan har värdet \(\dfrac{24}{2}(0,02\cdot 2000 + 0,02\cdot 83,33) = 499,99 = 500\) €.
Anna behöver 120 m² av en 0,40 mm tjock byggnadsplast. Plasten finns i en tätt virad rulle, som har den yttre diametern 22,7 cm. Själva plastlagret är 8,1 cm tjockt. Finns det tillräckligt med plast i rullen, om vi dessutom vet att rullen är 1,5 m lång?

Ett lager plast i rullen är 0,40 mm = 0,040 cm tjockt.

Diametern för ett plastlager är alltid \( 2 \cdot 0,40 \text{ mm} = 0,80 \) mm längre än diametern för föregående lager. Diametrarna för lagren bildar en aritmetisk talföljd.

Plastens totala längd är

\( \begin{array}{rcll} p & = & p_1 + p_2 + \ldots p_n & \mid p = 2\pi r = \pi d \\ & = & \pi d_1 + \pi d_2 + \ldots + \pi d_n \\ & = & \pi(d_1 + d_2 + \ldots +d_n) \\ & = & \pi \cdot n \cdot \dfrac{d_1+d_n}{2} \\ \end{array} \)

Första lagrets diameter är \( d_1 = (22,7 \text{ cm}-2\cdot 8,1\text{ cm})+0,040\text{ cm} = 6,54 \) cm.

Sista lagrets diameter är \( d_n = 22,7\text{ cm}-0,040\text{ cm} = 22,66 \) cm.

Antal varv är \( n = \dfrac{8,1 \text{ cm}}{ 0,040 \text{ cm}} = 202,5 \text{ st} \).

Plastens längd är \( p = \pi \cdot n \cdot \dfrac{d_1+d_n}{2} = \pi \cdot 202,5 \cdot \dfrac{6,54 \text{ cm} +22,66 \text{ cm}}{2} = 9288,11\ldots \text{ cm} = 92,88\ldots \text{ m} \).

Arean av plasten är \( 92,88 \text{ m}\ldots \cdot 1,5 \text{ m} = 139,32\ldots \text{ m}^2 \). Som är mindre än 120 m² som Anna behöver.
För en aritmetiskt talföljd, \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) gäller att summan av de tre första elementen är 3 och summan av de tre elementen efter det är 20. Bestäm det första elementet \(a_1\) och skillnaden \(d\) för talföljden.

Bilda två summor och lös ekvationssystemet. Ekvationssystem per se kommer i MaA 5 men du kan bra lösa det med hjälp av tekniska hjälpmedel.

Vi utgår från summorna och får följande ekvationssystem

\(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{2}(a_1+a_1+d(3-1)) =3\\ \dfrac{3}{2}(a_1+(4-1)d+a_1+(6-1)d =20\\ \end{array} \right.\)

som har lösningarna \(a_1=-2\) och \(d=3\).