14. Tillämpning av logaritmer

För vilka värden på $x$ gäller att $4^x = 7$ ?

Lösning

Vi löser ekvationen genom att att vi utnyttjar logaritmen med basen 10.

$\begin{array}{rcl} \lg 4^x & = & \lg 7 \\ x \lg 4 & = & \lg 7 \\ x & = & \dfrac{\lg 7}{\lg 4} \approx 1,40 \\ \end{array}$

När vi löser exponentialekvationer av typen $k^x=a$ kan vi lösa ekvationerna på två olika sätt.

För att lösa ekvationen $k^x = a$ löser vi den på något av följande sätt:

Vi utnyttjar logaritmer med basen 10. Lösningarna till ekvationen $k^x=a$ är $x=\dfrac{\lg a}{\lg k}$ .
Vi utnyttjar definitionen för logaritmer, $\log_a x=y$ är identiskt med att $x = a^y$ .

Exempel 1 Lös ekvationen $5^x=8$ .

Lösning

Vi löser ekvationen på två olika sätt.

Då $5^x=8$ får vi att

$\begin{array}{rcll} 5^x & = & 8 & \mid \lg\\ \lg 5^x & = & \lg 8 \\ x \lg 5 & = & \lg 8 & \mid/\lg 5 \\ x & = & \dfrac{\lg8}{\lg 5} \approx 1,29 \end{array}$
Eller som $5^x = 8 \Leftrightarrow x =\log_5 8 \approx 1,29$ .

Om vi inte vill arbeta med logaritmer som har basen 10 så får vi att $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ där $b$ är någon bas.

Motivering

Eftersom $\log_a x = y \Leftrightarrow x=a^y$ och $x=a^y$ kan skrivas som $y=\dfrac{\lg x}{\lg a}$ får vi att $\log_a x = \dfrac{\lg x}{\lg a} = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ , där $b$ är någon bas.

Exempel 2 På ett bankkonto sätter man in 1500 €. Banken ger en räntesats om 1,0 % per år. Efter hur många år är har summan stigit till över 2000 € då vi varje år betalar en kapitalinkomst skatt på 30 % av räntan?

Lösning

Eftersom vi varje år betalar 30 % skatt av räntan som bildas av 1,0 % så har vi en verklig ränta om $0,70 \cdot 0,01 a = 0,007a$ . Den verkliga räntan är 0,7 %.

Vi får en ekvation

$\begin{array}{rcl} 1,007^x \cdot 1500 & > & 2000 \\ 1,007^x & > & \frac{2000}{1500}\\ \lg 1,007^x & > & \lg \frac{4}{3} \\ x \lg 1,007 & > & \lg \frac{4}{3} \\ x & > & \dfrac{\lg \frac{4}{3}}{\lg 1,007} \approx 41,24 \text{ år} \\ \end{array}$

Efter 42 år.

Uppgifter

För vilka värden på x $x$ gäller följande. Svar med två decimalers noggrannhet.
1. $2^x=5$
  
  $2^x=5 \Leftrightarrow x =\dfrac{\lg 5}{\lg 2} \approx 2,32$ .
2. $3^x= 7$
  
  \(x = \log_3 7 \approx 1,7712
3. $7^x=14$
  
  $7^x=14 \Leftrightarrow x =\dfrac{\lg 14}{\lg 7} \approx 1,36$ .
4. $9^x = 5$
  
  \(x= \log_9 5 \approx 0,7325
5. $3^x=21$
  
  $3^x=21 \Leftrightarrow x =\dfrac{\lg 21}{\lg 3} \approx 2,77$ .
År 2014 gjorde finländarna 750 000 resor till fasta Spaninen och Kanarieöarna. Antalet resor växte med 3 % årligen. Vi vill ta reda på efter hur många år vi gör 1,5 miljoner resor om året om takten fortätter i samma grad. Vi betecknar antalet år som gått sedan 2014 med t $t$ . Vilken av ekvationerna motsvarar beskrivningen ovan?
1. $0,75 \cdot 1,03^t = 1,5$
2. $0,75 + 1,03^t = 1,5$
3. $0,75 \cdot 1,03t = 1,5$
Vilken av alternativen löser den rätta ekvationen?
1. $t = \dfrac{1,5}{0,75\cdot 1,03}$
2. $t = \log_{1,03} 1,5$
3. $t = \log_{1,03} 2$
Vi har 750 000 resor och det sker en årlig ökning om 3 % varje år. Ekvationen blir $750 000 (1+0,03)^t = 1500000$ .

Alltså $0,75 \cdot 1,03^t = 1,5$ är rätt alternativ.

Då vi löser den får vi

$\begin{array}{rcl} 0,75 \cdot 1,03^t & = & 1,5 \\ 1,03^t & = & \dfrac{1,5}{0,75} \\ t & = & \log_{1,03} 2 \\ \end{array}$

Alltså alternativ c).
Vi placerar 1500 € så att den årliga av kastningen är 7,0 %. Efter hur många år har kapitalet ökat till 2500 € då vi varje år betalar en skatt på kapitalinkomster om 30 %?

Den verkliga räntan är $0,07 \cdot 0,70$ . Vi får ekvationen $(1+0,07\cdot 0,70)^n \cdot 1500 = 2500$ som har lösningen $n=10,68$ . Alltså 11 år.
Befolkningsökningen var som störst i Finland efter andra världskriget. 1950 var befolkningsmängden 4,03 miljoner och befolkningstillväxten var 1,0 %. Om befolkningstillväxten skulle ha varit konstant 1,0 % efter 1950, när skulle befolkningsmängden överskrida år 2015 befolkningsmängd på 5,47 miljoner?

Vi har ekvationen $1,01^x \cdot 4,03 = 5,47$ som vi kan skriva som $x=\dfrac{\lg\frac{5,47}{4,03}}{\lg 1,01} \approx 30,70$ år.

År 1950 + 30 = 1980.
Med överfiske menar man att man fiskar mera fisk än vad fiskstammen förökar sig. Det betyder att antalet fiskar i stammen minskar. Man talar om att alla fiskarter på jorden kommer att krascha inom 50 år. Då en fiskstam kraschar betyder det att antalet fiskar minskar med 10 % från vad det har varit som mest.

Vi tänker oss följande. En fiskstam har sin största population, antal, just nu. Om 50 år har fiskstammen kraschat med 10 %. Vad är den årliga procentuella minskningen?

Svara med två decimalers noggrannhet.

Vi betecknar procenten med $p$ och antalet med $a$ .

Då får vi ekvationen $p^{50} a=0,90a$ som har lösningen $p=0,9978950083$ .

Den årliga procentuella minskningen är $1-0,9978950083 = 0,0021049917$ . Alltså 0,21 %
Kolväteutsläppen från vägtrafiken i Finalnd var som mest ungefär 70 000 ton om året, men har minskat med ca 5 % efter rekordåret. När inföll rekordåret, då utsläppen 2012 uppgick till ca 23 000 ton?

Vi vet att utsläppen har minskat med 5 % varje år, då kan vi bilda ekvationen $70 000 (1-0,05)^n = 23 000$ .

Då vi löser ekvationen får vi

$\begin{array}{rcl} 70 000 (1-0,05)^n & = & 23 000 \\ 70 000 \cdot 0,95^n & = & 23 000 \\ 0,95^n & = & \dfrac{23000}{70000} \\ n & = & \log_{0,95} \dfrac{23}{70} = 21,6987\ldots \\ \end{array}$

Rekordåret var 22 år före 2012, alltså år 1990.
Ett företag strävar till att öka omsättningen med 60 % under 10 år.

Beteckna omsättningen med $a$ . Om omsättningen skall öka med 60 % är den nya omsättningen 1,6 $a$
1. Hur många procent skall omsättningen öka varje år? Svara med två decimaler.
  
  Omsättningen i början är $a$ och den procentuella ökningen betecknar vi $p$ . vi får ekvationen $p^{10}\cdot a = 1,6 a$ som har lösningen $p=\sqrt[10]{1,6} \approx 1,04812$ som betyder att den årliga ökningen skall vara $1,04812-1 = 0,04812$ som är 4,81 %.
2. Om hur många år har omsättningen fördubblats?
  
  Vi betecknar omsättningen med $a$ , $n$ antal år och får ekvationen $1,0481^n \cdot a = 2a$ som har lösningen $n = \dfrac{\lg 2}{\lg 1,0481} \approx 14,75$ .
  
  Alltså 15 år.
Varje år fördubblas antalet råttor i en storstad. Hur många år tar det för antalet råttor att bli 100 falt?

Vi betecknar antal råttor med $a$ . Vi får ekvationen $2^n\cdot a=100 a$ som har lösningen $n=\dfrac{\lg 100}{\lg 2} \approx 6,64$ .

Alltså 7 år.
Radioaktiva material har en naturligt sönderfall som kallas för halveringstid. Halveringstiden betyder att antalet aktiva, radioaktiva kärnor minskar med hälften. Halveringstiden för kol 11 som används i PET skanning har en halveringstid på 20,5 minuter. Efter hur många minuter har aktiviteten sjunkit till en 100-del av vad den var i början?

Vi betecknar antalet radioaktiva kärnor med $a$ . Efter första halveringen har vi $0,50a$ kvar, efter andra halveringen har vi $0,50^2\cdot a$ kvar.

Vi söker antalet halveringar som behövs genom att lösa ekvationen $0,50^n \cdot a = \dfrac{a}{100}$ som har lösningen $n=\dfrac{\lg\frac{1}{100}}{\lg 0,50} \approx 6,6438$ halveringar.

Varje halvering tar 20,5 minuter som betyder att den totala tiden är $20,5 \text{ minuter } \cdot 6,6438 = 136,1979$ minuter.