MaG Tal och talföljder

6. Procentuell förädring

För att stöda ungdomar att studera betalar staten ut studiestöd i form av bostadsbidrag och studiepenning. Studiepenningen är 250,28 € per månad. Regeringen beslutar sig att höja studiepenningen med först 1,0 % och sedan med 0,8 %. Hur stor är studiepenningen efter den första höjningen? Hur stor är den efter båda höjningarna?

Lösning

Studiestödet efter första höjningen är \((1+0,01)250,28 = 252,78\).

Efter andra höjningen är den \((1+0,008)252,78 = 254,80\) €.

Diskutera med din bänkkamrat eller fundera för dig själv: Varför kan vi inte addera ihop procenterna i introduktionen för att få den totala höjningsprocenten?

Lösning

Vi testar. Om ökningen är 1,8 % är slutsumman \((1+0,018)250,28 = 254,79\) €.

Med ökningarna 1 % och 0,8 % är den totala procentuella förändringen \(\dfrac{254,80}{250,28}=1,01805977\).

OBS! Summorna är nästan samma men ändå inte. När vi har procentuell förändring måste vi beakta förändringarna skilt för sig. 

Exempel 1 Anna deponerar 5 000 € på ett konto. Hur mycket finns på kontot efter 10 år om räntesatsen är

  1. \(0,5\;\%\)
  2. \(6\;\%\)?

Lösning

  1. År 1 har vi \(5000 (1+0,005) = 5000\cdot 1,005\)€.

    År 2 har vi \(5000\cdot 1,005 (1 +0,005) = 5000\cdot 1,005^2 \) €.

    År 3 har vi \(5000\cdot 1,005^2\cdot 1,005 = 5000\cdot 1,005^3\) €.

    Efter n år har vi \(5000\cdot 1,005^n \).

    Efter 10 år har vi alltså \(5000\cdot 1,005^{10}=5255,70\) €.

  2. Ändrar vi räntan till 6 % och följer samma logik som ovan får vi att efter \(n\) år har vi \(5000\cdot 1,06^n \). Efter 10 år har vi \(5000\cdot 1,06^{10}= 8954,24 \).

Exempel 2 Priset på en vara höjdes före jul. Efter jul sänktes priset för varan med 40 % så att priset blev lika stort som det ursprungliga före jul. Med hur många procent hade man höjt priset före jul?

Lösning

Vi betecknar varas pris i början med \(a\). Efter prishöjningen, \(p\) %, har varan priset \(a(1+\dfrac{p}{100})\). Detta pris sänks 40 % och landar på det ursprungliga priset \(a\).

Vi får alltså

\(\begin{array}{rcll} a(1+\dfrac{p}{100})(1-0,4) & = & a &\mid /a \\ (1+\dfrac{p}{100})\cdot 0,6 & = &1 &\mid /0,6 \\ 1 + \dfrac{p}{100} & = & \dfrac{1}{0,6} \\ \dfrac{p}{100} &=& \dfrac{1}{0,6} -1 & \mid \cdot 100 \\ p & = & 100(\dfrac{1}{0,6}-1) = 66,66 \% \end{array}\)

Svar: Priset skall höjas med 66,7 %.

Exempel 3 Hur mycket 9-procentig saltlösning bör man tillföra 2 liter 3-procentig saltlösning så att man får en lösning vars salthalt är 6 %?

Lösning

Vi ställer upp en ekvation. Vi har nu \(0,03\cdot 2\) liter salt och sätter till \(0,09\cdot x\) liter salt. Totalt har vi då \((2+x)\cdot 0,06\) liter salt i lösningen.

Alltså

\(\begin{array}{rcl} 0,03\cdot 2 +0,09 \cdot x&=&(2+x)\cdot 0,06 \\ 0,06 +0,09x &=&0,12 + 0,06x \\ 0,03x&=&0,06 \\ x&=&\dfrac{0,06}{0,03}=2\\ \end{array}\)

Svar: 2 liter 9 % saltlösning bör tillsättas.

Uppgifter

  1. Ett lager från ett luftfilter avlägsnar 25 % av luftburna partiklar.
    1. Hur många procent av partiklarna avlägsnar 5 st lager?

      Ett lager avlägsnar 25 %, då är det kvar 75 %.

      Då vi har \( a \) st partiklar i början är det efter varje lager kvar \( 0,75a \) st partiklar. Efter 5 lager har vi kvar \( 0,75a \cdot 0,75 \cdot 0,75 \cdot 0,75 \cdot 0,75 = 0,75^5 a = 0,2373a \).

      Procentuella andelen som har avlägsnats är \( a - 0,2373a = 0,7627a \). Alltså 76,3 %.

    2. Hur många procent av partiklarna avlägsnas av 25 st lager?

      Motsvarande som ovan. Per lager har vi kvar \( 0,75a \) st partiklar. Efter 25 lager är mängden \( 0,75^{25}a = 0,0007525a \).

      Andelen som har avlägsnats är \( a - 0,0007525a = 0,9992475a \). Alltså 99,92 %.

    3. Hur många lager skall vi ha för att bygga ett filter som avlägsnar i alla fall 98 % av partiklarna?

      Vi inser att det får finnas kvar 2 %, alltså \( 0,02a \) av partiklarna i början.

      Från föregående uppgifterna fick vi fram en formel. Nu vet vi inte bara hur många lager som vi har. Vi betecknar antalet med \( n \). Vi får ekvationen \( 0,75^n a = 0,02a \).

      I bägge led har vi \( a \), de kan vi förkorta bort. Ekvationen blir \( 0,75^n = 0,02 \). För att lösa denna ekvation exakt behöver vi logaritmer. För att nu hitta en lösning gafflar vi fram en lösning (vi testar).

      \( 0,75^{10} = 0,0563 \), för stort värde.

      \( 0,75^{15} = 0,0133 \), för litet värde.

      \( 0,75^{12} = 0,0316 \), för stort värde.

      \( 0,75^{13} = 0,0237 \), för stort värde.

      \( 0,75^{14} = 0,0178 \), för litet värde.

      Vi skall alltså ha 14 lager för att avlägsna 98 % av partiklarna.

  2. Ett vattenfilter består av flera tunna hinnor som var för sig filtrerar vattnet. Ett filterlager tar bort 1,5 % av smutspartiklarna i vattnet. Hur många procent tar 10 lager bort?

    I början har vi \(a\) st partiklar.

    Ett lager tar bort 1,5 %, då är det kvar \((1-0,015)\cdot a = 0,985a\) partiklar efter första filtreringen. Efter 10 st filer är det kvar \(0,985^{10} a = 0,8597\ldots\) partiklar.

    Den procentuella minskningen är \(1-0,8597\ldots = 0,14026\ldots = 14,0\) %.

    1. Hur många procent avlägsnar 100 lager?

      Efter 100 st filer är det kvar \(0,985^{100} a = 0,2206\ldots a\) partiklar.

      Den procentuella minskningen är \(1-0,2206\ldots = 0,77939\ldots = 77,9\) %.

    2. Hur många lager behöver vi för att vattnet skall renas så att 98 % av smutspartiklarna är borta?

      På LibreOffice får vi något i stil med

      Eller lös ekvatonen \(1- 0,985^n =0,98\).

  3. Priset för mjölk sänktes med 20 %. Med hur många procent borde försäljningen öka för att värdet av försäljningen skall hållas konstant?

    Från \((1+\dfrac{p}{100})\cdot 0,80a = a\) får vi att \(p=0,25\)

    Försälningen borde öka med 25 %.

  4. Värdet på en bil sjunker med 10 % per år. Vad är bilen värd efter 8 år då den som ny var värd 25 000 €?

    Bilda en tabell där det framkommer hur mycket bilen är värd vid varje år.

    Eftersom bilen förlorar 10 % av sitt värde varje år är värdet \(0,9 \cdot 25 000\) efter första året. År 2 är värdet \(0,90^2 \cdot 25000\). Efter 8 år är värdet \(0,9^8 \cdot 25000 = 10761,68 \approx 10 800 \approx 11000\) €.

  5. För att få större skatteintäkter beslutar sig en regering för att höja mervärdeskatten för sötsaker på 20 % med 3 procentenheter. Det som händer är att försäljningen minskar med 1,5 %. Går det som regeringen hoppades och hur många procent högre intäkter får de?

    Gör en tabell

    procentförsäljningstatens inkomst
    20 %
    23 %

    Vi gör följande tabell

    procentförsäljningstatens inkomst
    20 %\(a\)\(0,20a\)
    23 %\((1-0,015)a\)\(0,23 \cdot 0,985a\)

    Det procentuella förhållandet är \(\dfrac{0,23\cdot 0,985a}{0,20a} = 1,13275\).

    Vi har en ökning på 13 % eller 13,3 %.

  6. Jämför hur mycket pengar du kommer att ha på kontont när du fyller 60 år då du som 20, 30 eller 40 åring deponerar 1000 € med den årliga avkastningen 5%.
    1. Som 20-åring är summan

      \(1,05^{40}\cdot 1000 = 7039,99\) €.

    2. Som 30-åring är summan

      \(1,05^{30}\cdot 1000 = 4321,94\) €.

    3. Som 40-åring är summan

      \(1,05^{20}\cdot 1000 = 2653,30\) €.

  7. Torv innehåller 90 % vatten. Hur många procent av vattnet måste avdunsta för att torven skall innehålla 45 % vatten efter torkningsprocessen?

    massaab
    vatten0,9a0,45b
    annat0,1a0,55b

    "Annat" är konstant! Arbeta utgående från detta.

    \(p = \dfrac{0,1 \cdot 0,45}{0,55 \cdot 0,9} = 0,09090\ldots\). Eftersom mängden minskar får vi den eftersökta procenten som \(1 - \dfrac{0,1 \cdot 0,45}{0,55 \cdot 0,9} = 0,9090\ldots\), vilket ger 91 %.

  8. Äpple består av 70 % vatten och 4 % socker. Äpple torkas så att andelen vatten sjunker till 10 %. Bestäm andelen socker i äpplena efter torkningen.

    dånu
    total massaab
    vatten0,7a0,1b
    socker0,04apb
    inte vatten0,3a0,9b

    Kombinera raderna med socker och inte vatten. \(0,04a = pb\) och \(0,3a=0,9b\).

    Lös ut \(b\) ur dessa: \(b=\dfrac{0,04a}{p}\) och \(b=\dfrac{0,3a}{0,9}\).

    Kombination av dessa ger \(p=\dfrac{0,04\cdot0,9}{0,3} = 0,12\). Alltså 12 %.

  9. I ett bostadshus är hyresintäkterna 12 % lägre än kostnaderna för underhållet. Med hur många procent borde hyrorna höjas, för att de skall bli 10 % högre än underhållskostnaderna, när dessa samtidigt stiger med 4 %?

    Tabellen ser ut som:

    dånu
    hyresintäkter\(0,88a\)\(0,88a \cdot p = 1,1 \cdot 1,04 a\)
    underhållet\(a\)\(1,04a\)

    Då vi löser ut \(p\) från \(0,88a\cdot p = 1,1\cdot 1,04a\) får vi \(p=1,30\).

    Hyrorna borde höjas med 30 %.