MaG Tal och talföljder

21. Rekursivt definierad talföljd

Vi studerar talföljden där \(a_1=4\) och \(a_n= \dfrac{1}{a_{n-1}}+n, n=1,2,3,\ldots\).

Talföljder där nästa element baserar sig på föregående element heter rekursiva talföljder.

Exempel 1 Bestäm de 5 första elementen för talföljden \(a_1 = 2\), \(a_n=a_{n-1}-2n\) då \(n=1,2,3\ldots\).

Lösning

Vi bygger upp följande talföljd:

\(a_1 = 2\)

\(a_2 = a_1 -2 n = 2 -2\cdot 2 = -2\)

\(a_3 = a_2 -2 n = -2 -2\cdot 3 = -8\)

\(a_4 = a_3-2n = -8-2\cdot 4 = -20\)

\(a_5 = a_4-2n= -20 -2\cdot 5 = -30\)

Exempel 2 Bestäm den allmänna formen för följande rekursivt definierade talföljder.

  1. \(a_1=3\), \(a_n=3a_{n-1}\) då \(n=2,3,4,\ldots\)
  2. \(a_1=1\), \(a_n=(1-\dfrac{1}{n})a_{n-1}\) då \(n=2,3,4,\ldots\).

Lösning

  1. Vi har

    \(a_1=3\)

    \(a_2=3 \cdot 3 = 3^2\)

    \(a_3=3 \cdot 3^2=3^2\)

    \(a_n=3^n\).

  2. \(a_1 = 1\)

    \(a_2 = (1-\dfrac{1}{2})1 = \dfrac{1}{2}\)

    \(a_3 = (1-\dfrac{1}{3})\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\)

    \(a_4 = (1-\dfrac{1}{4})\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4}\)

    \(a_n= \dfrac{1}{n}, n=1,2,3,\ldots\).

För att exakt visa att den allmänna formen ger exakt samma talföljd som den rekursivt definierade använder man sig av matematisk induktion. I kurs 11 tränar vi oss på det.

Exempel 3 Bestäm de första termerna i talföljden som bestäms som \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\).

Lösning

\(a_3 = a_2+a_1\)

\(a_4 = a_3+a_2 = (a_2+a_1) + a_2 = 2a_2+a_1\)

\(a_5 = a_4+a_3 = (2a_2+a_1) + (a_2+a_1) = 3a_2+2a_1\)

\(a_6 = a_5+a_4 = (3a_2+2a_1) + (2a_2+a_1) = 5a_2+3a_1\)

\(a_7 = a_6+a_5 = (5a_2+3a_1) + (3a_2+2a_1) = 8a_2 +5a_1\).

Vi märker att alla termer är uppbyggda och beroende av \(a_1\) och \(a_2\).

Exempel 4 För en insektpopulation på 10 000 individer gäller att varje år ökar populationen med 9 % och efter årets ungar är uppfödda flyttar 500 st insekter ut för att bilda en ny population.

  1. Bilda den rekursiva talföljden.
  2. Efter hur många år överskrider populationen 15 000 insekter?

Lösning

Vi får

\(\begin{array}{cl} År & \text{Antal, lämpligt avrundat vid behov} \\ 1 & 10000 \\ 2 & 10000 \cdot 1,09 -500 = 10400 \\ 3 & 10400 \cdot 1,09 -500 = 10836 \\ 4 & 10836 \cdot 1,09 -500 = 11311 \\ 5 & 11829 \\ 6 & 12394 \\ 7 & 13009 \\ 8 & 13680 \\ 9 & 14411 \\ 10& 15208 \\ \end{array}\)

Efter 10 år överskrider populationen 15 000 individer.

Om vi gör det exakt får vi

\(\begin{array}{cl} År & \text{Exakt} \\ 1 & 10000 \\ 2 & 10000\cdot1,09-500 \\ 3 & (10000\cdot 1,09 - 500)1,09-500 = 10000\cdot1,09^2-500\cdot1,09 -500 \\ 4 & (10000\cdot1,09^2-500\cdot1,09 -500)1,09-500 \\ & =10000\cdot1,09^3-500\cdot1,09^2- 500\cdot1,09 -500 \\ n & 10000\cdot1,09^{n-1} -500\cdot1,09^{n-2} -500\cdot1,09^{n-3} -\ldots-500\cdot1,09^1 -500 \\ \end{array}\)

Den andra delen är en geometrisk summa där \(a_1=500\) och \(q=1,09\). Summan av den är \(\dfrac{-500(1-1,09^{n-1})}{1-1,09}\).

Vi får att \(10 000\cdot 1,09^{n-1} +\dfrac{-500(1-1,09^{n-1})}{1-1,09} > 15 000\) som har lösningen \(n>9,75\). Alltså 10 år.

Rekursivt definieradet talföljder på LibreOfficeCalc

Uppgifter

  1. Bestäm de tre följande elementen för talföljden \(a_n=2-na_{n-1}\) då \(a_1=3\) och \(n=2,3,\ldots\).

    \( a_1 = 3, a_2 = -4, a_3 = 14 \) och \( a_4 = -54 \).

  2. Bestäm de fyra följande elementen för talföljden som börjar med \(a_1=2\) och som bestäms rekursivt av \(a_n=3-a_{n-1}\).

    \( a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 2, a_4 = 1 \) och \( a_5 = 2 \).

  3. Bestäm de fyra följande elementen för den rekursiva talföljden som defineras som \(a_n = a_{n-1} +2a_{n-2}\) då \(a_1 = 2\) och \(a_2=4\).

    \( a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 8, a_4 = 16, a_5 = 32 \) och \( a_6 = 64 \).

  4. Bestäm den allmänna formeln för följande rekursivt definierade talföljder
    1. \(a_1 = 2\), \(a_n=a_{n-1}+2\) då \(n=2,3,4,\ldots\)

      \(a_1 = 2\)

      \(a_2 = 2 + 2 = 4\)

      \(a_3 = 4 + 2 = 6\)

      \(a_4 = 6 + 2 = 8\)

      \(a_n = 2n, n=1,2,3\ldots\)

    2. \(a_1 =1\) och \(a_n=2a_{n-1}\) då \(n=2,3,4,\ldots\)

      \(a_1 = 1\)

      \(a_2 = 2\cdot 1 = 2\)

      \(a_3 = 2\cdot 2 = 4\)

      \(a_4 = 2\cdot 4 = 8\)

      \(a_5 = 2\cdot 8 = 16\)

      \(a_n = 2^{n-1}, n=1,2,3,\ldots\)

    3. \(a_1 = 1\) och \(a_n=na_{n-1}\), då \(n=2,3,4,\ldots\)

      \(a_1 = 1\)

      \(a_2 = 2\cdot 1 = 2\)

      \(a_3 = 3\cdot 2 = 6 = 3\cdot 2\cdot 1 \)

      \(a_4 = 4\cdot 6 = 24 = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \)

      \(a_n = n!, n=1,2,3,\ldots\)

  5. Bestäm den allmänna formeln för följande rekursivt definierade talföljder.
    1. \(a_1= 1\) och \(a_n=\dfrac{a_{n-1}}{2}\) då \(n=2,3,4,\ldots\)

      \(a_1 = 1\)

      \(a_2 = \dfrac{1}{2}\)

      \(a_3 = \dfrac{\frac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{4}\)

      \(a_4 = \dfrac{\frac{1}{4}}{2} = \dfrac{1}{8}\)

      \(a_5 = \dfrac{\frac{1}{8}}{2} = \dfrac{1}{16}\)

      \(a_n= \dfrac{1}{2^{n-1}}, n=1,2,3,\ldots\).

    2. \(a_1= 3\) och \(a_n=\dfrac{a_{n-1}}{n}\) då \(n=2,3,4,\ldots\)

      \(a_1 = 3\)

      \(a_2 = \dfrac{3}{2}\)

      \(a_3 = \dfrac{\frac{3}{2}}{3} = \dfrac{3}{6}\)

      \(a_4 = \dfrac{\frac{3}{6}}{4} = \dfrac{3}{24}\)

      \(a_n = \dfrac{3}{n!}, n=1,2,3,\ldots\)

  6. I en stad bor det 25 000 personer. Varje år föds det 1,5 % nya invånare och pga av missnöje flyttar det varje bort 200 personer.
    1. Bilda den rekursiva talföljd som beskriver mängden invånare i staden.

      \(a_1 = 25000\)

      \(a_n = a_1 \cdot 1,015-200\)

    2. Efter hur många år överstiger befolkningen 26 000 invånare?

      En tabell med värden ger 7 år.

  7. En talföljd definieras som \(a_1=4\) och \(a_{n+1}=a_n+k\). För vilket värde på \(k\) gäller att \(\sum_{i=1}^5 a_i = 0\)?

    Vi får

    \(\begin{array}{rcl} \sum_{i=1}^5 a_i &=& 0 \\ 4 + [4+k] + [(4+k)+k] + [(4+k+k)+k] + [(4+k+k+k)+k] &=& 0 \\ 5\cdot 4 + 10k &=& 0 \\ 10k &=& -20 \\ k &=& -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}\\ \end{array}\)