MaA 9 Integralkalkyl

1. Primitiv funktion

Visa att \( f(x)= 2x+4 \) är derivatafunktion för \( F(x)=(x+2)^2 \).

Lösning

\( F(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4 \). Derivatafunkitionen är \( F'(x)=2x+4 =f(x) \).

Exempel 1 Bestäm andra funktioner vars derivatafunktion är \( f(x)=2x+4 \).

De funktioner som uppfyller villkoret \( f(x)=F'(x) \) är de primitiva funktionerna, \( F(x) \), för funktionen \( f(x) \). Funktionen \( f(x) \) har oändligt många primitiva funktioner.

Exempel 2 Bestäm alla primitiva funktioner för \( f(x)= 6x^2-4x \).

Lösning

En primitiv funktion för \( f(x) \) är \( F(x)=2x^3-2x^2 \). Vi kan addera till en konstant eftersom derivatan av en konstant har värdet noll.

Alla primitiva funktioner är \( F(x)=2x^3-2x^2+C \).

En primitiv funktion för \( f(x) \) är \( F(x) \) där \( F'(x)=f(x) \). Alla primitiva funktioner får vi genom att addera till en konstant, \( C \). Alla primitiva funktioner för \( f(x) \) är \( F(x)+C \).

Exempel 3 Bestäm den primitiva funktion för \( f(x)=\sin x \) som går genom punkten \( (0,1) \) .

Lösning

\( F(x)=-\cos x + C \) eftersom \( F'(x)=\sin x \). Då \( F(x) \) skall gå genom punkten \( (0,1) \) betyder det att \( F(0) = 1 \), alltså \( -\cos 0 + C = 1 \Leftrightarrow C=2 \).

Den sökta primitiva funktionen är \( F(x)=-\cos x +2 \).

Uppgifter

  1. Välj de primitiva funktionerna för \( f(x)=4x^3 -4x \) och \( g(x)=3x^2+1 \).

    Påstående\( f(x)=4x^3 -4x \)\( g(x)=3x^2+1 \)Varken \( f(x) \) eller \( g(x) \).
    \( h(x)= x^4-2x^2 +2 \)
    \( i(x)= x^4-2x^2 -1 \)
    \( j(x)= 12x^2-4 \)
    \( k(x)= x^4-2x^2 \)
    \( l(x)= x^3+x+2 \)
    \( m(x)= x^3-x \)
    \( n(x)= x^3+x \)
    \( o(x)= 6x \)
    \( p(x)= x^3+x-1 \)
    \( q(x)= 4x^3-4x \)

    Påstående\( f(x)=4x^3 -4x \)\( g(x)=3x^2+1 \)Varken \( f(x) \) eller \( g(x) \).
    \( h(x)= x^4-2x^2 +2 \)
    \( i(x)= x^4-2x^2 -1 \)
    \( j(x)= 12x^2-4 \)
    \( k(x)= x^4-2x^2 \)
    \( l(x)= x^3+x+2 \)
    \( m(x)= x^3-x \)
    \( n(x)= x^3+x \)
    \( o(x)= 6x \)
    \( p(x)= x^3+x-1 \)
    \( q(x)= 4x^3-4x \)

  2. Bestäm alla primitiva funktioner för följande funktioner
    1. \( f(x)=6x-2 \)

      \( F(x)=3x^2-2x + C \) eftersom \( F'(x)=6x-2 \).

    2. \( f(x)=e^x \).

      \( F(x)=e^x + C \) eftersom \( F'(x)=e^x \).

    3. \( f(x)=\dfrac{3}{x^2} \)

      \( F(x)= -\dfrac{3}{x}+C \) eftersom \( F'(x)=D(-3x^{-1}+C)=3\cdot x^{-2} \).

  3. Bestäm alla primitiva funktioner för
    1. \( f(x)=3x^2+8x \)

      \( F(x)=x^3+4x^2 + C \) eftersom \( F'(x)=3x^2+8x \).

    2. \( g(x)= \sin x \).

      \( G(x)=-\cos x + C \) eftersom \( G'(x)=\sin x \).

    3. \( h(x)= 3^x \ln 3\)

      \( H(x)= 3^x+C \) eftersom \( H'(x)= 3^x \ln 3 \).

  4. Kombinera rätt primitiv funktion med rätt funktion.

    Välj bland följande primitiva funktioner

    så att de får rätt funktion.

    Primitiv funktionFunktion

    Primitiv funktionFunktion

  5. Visa att \( F(x)=\dfrac{1}{x} \) är en primitiv funktion för funktionen \( f(x)=-\dfrac{1}{x^2} \).

    \( F(x)=\dfrac{1}{x} = x^{-1} \). \( F'(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2} =f(x) \).

  6. Visa att \( F(x)=x\ln(x)-x \) är en primitiv funktion för funktionen \( f(x)=\ln x \).

    \( F'(x)=D(x\ln x - x)=1\ln x + x\cdot \dfrac{1}{x}-1 = \ln x +1-1 = \ln x \).

  7. Visa att \( F(x)=\dfrac{1}{2}\cos^2 x \) är en primitiv funktion för funktionen \( f(x)=-\sin(x)\cos(x) \).

    \( F'(x)=D(\dfrac{1}{2}\cos^2 x) = \dfrac{1}{2}\cdot2\cos x D(\cos x)=\cos x (-\sin x)=-\sin x \cos x \).

  8. Bestäm den primitiva funktion för \( f(x)=3x^2-8x \) som går genom punkten (1,-1).

    \( F(x)=x^3-4x^2+C \) eftersom \( F'(x)=f(x) \). \( F(1)=-1 \) ger oss \( 1^3-4\cdot1^2+C=-1 \Leftrightarrow C = 2 \).

    Alltså \( F(x)=x^3-4x^2+2 \).

  9. Bestäm den primitiva funktion för \( f(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2} \) som går genom punkten (2,2).

    \( F(x)=\dfrac{2}{x-1} + C \) eftersom \( F'(x)=\dfrac{(x-1)D2-2D(x-1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-2}{(x-1)^2} \).Att \( F(2)=2 \) ger oss \( \dfrac{2}{2-1}+C=2 \Leftrightarrow C=0 \).

    Alltså \( F(x)=\dfrac{2}{x-1} \).

  10. Bestäm för funktionen \( f(x) = 3x^2+1 \) de primitiva funktioner som tangerar linjen \( y = 4x +1 \).

    Primitiva funktionerna är av typ \( F(x)= x^3 + x + C \). Eftersom \( f(x) \) är derivatafunktion för \( F(x) \) och lutningen för tangenten är 4 får vi att \( f(x)=4 \), alltså \( 4=3x^2+1 \) ger \( x = \pm 1 \).

    Då \( x = 1 \) gäller att \( F(1) = 5 \), alltså \( 1^3 + 1 + C = 5 \) ger \( C = 3 \) och då \( x = -1 \) gäller att \( F(-1) = -3 \), alltså \( (-1)^3+(-1)+C = -3 \) ger \( C = -1 \).

    De primitiva funktionerna är \( F(x) = x^3 +x + 3 \) och \( F(x) = x^3 +x -1 \).

  11. Visa att alla primitiva funktioner för funktionen \( f(x) = \sin^4 x \) är växande för alla reella tal.

    För den primitiva funktionen \( F \) gäller att \( F'(x) = f(x) \).

    Eftersom \( f(x) \) är positiv och får värdet noll i \( n \pi \) där \( n \) är ett heltal, gäller det att \( F(x) \) är växande.

  12. Fundera på följande tillsammans med en kurskamrat.
    1. Är det lätt att ställa en fråga? Varför?
    2. Är det lätt att ställa en bra fråga? Varför?
    3. Är det lätt att ställa en bra matematisk fråga? Varför?
    4. Finns det inom matematiken bättre och mindre bättre bra frågor?
    5. Vad är förutsättningen för en bra matematisk fråga?
    6. Vad är viktigare inom matematiken: att ställa en bra fråga, eller att svara bra? Förklare lite.
    7. Vem ställer frågor under en matematiklektion? Läraren? De studerande som snabbt förstår? De studerande som långsamt förstår?
    8. Kan man i grupp formulera en bra fråga eller måste man göra det individuellt? Förklara.

    Källa: Filosofoidaan matematiikasta ja luonnontieteistä; Daniel, Lafourtune, Pallascio, Sykes