MaA 9 Integralkalkyl

3. för 1/x

Från differentialkalkylen har vi att \( D\ln \mid x \mid=\dfrac{1}{x} \). Då vi opererar med integralen på bägge led får vi att\( \begin{array}{rcll} \displaystyle \int D \ln \mid x \mid \mathrm{ d}x & = & \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x & \text{Integrering och derivering tar ut varandra.}\\ \\ \ln \mid x \mid & = & \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x\\ \end{array} \)

Vi har en formel för att bestämma den primitiva funktionen för \( \dfrac{1}{x} \).

Exempel 1 Bestäm \( \displaystyle \int \dfrac{1}{4x} \mathrm{ d}x \).

Lösning

\( \displaystyle \int \dfrac{1}{4x} \mathrm{ d}x = \displaystyle \int \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{4}\ln \mid x \mid +C \).

För integrering av \( \dfrac{1}{x} \) gäller

  • \( \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x = \ln \mid x \mid +C \)

Exempel 2 Bestäm den primitiva funktion för \( f(x)=\dfrac{1}{x} \), där \( x < 0 \), som i punkten \( -e \) har värdet \( 2 \).

Lösning

\( \begin{array}{rcll} \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x & = & \ln \mid x \mid + C & \text{Eftersom }x < 0 \text{ så är } \mid x \mid -x \\ & = & \ln(-x)+C \\ \end{array} \)

Eftersom den primitiva funktionen skall ha värdet 2 i punkten \( -e \) får vi att

\( \begin{array}{rcl} \ln (-(-e)) + C & = & 2 \\ \ln e +C & = & 2 \\ 1 + C & = & 2 \\ C & = & 1\\ \end{array} \)

Den primitiva funktionen är \( \ln(-x) + 1 \) där \( x < 0 \).

Uppgifter

  1. Bestäm den primitiva funktionen för
    1. \( \dfrac{2}{3x} \)

      \( \displaystyle \int \dfrac{2}{3x} \mathrm{ d} x = \dfrac{2}{3}\ln\mid x \mid + C \).

    2. \( -\dfrac{6}{x} \)

      \( \displaystyle \int -\dfrac{6}{x} \mathrm{ d} x = -6\ln\mid x \mid + C \).

    3. \(- \dfrac{3}{4x} \)

      \( \displaystyle \int -\dfrac{3}{4x} \mathrm{ d} x = -\dfrac{3}{4}\ln\mid x \mid + C \).

  2. Integrera
    1. \( \dfrac{1}{7x} \)

      \( \displaystyle \int \dfrac{1}{7x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{7}\ln \mid x \mid + C \).

    2. \( \dfrac{2}{5x} \) där \( x > 0 \).

      \( \displaystyle \int \dfrac{2}{5x} \mathrm{ d}x = \dfrac{2}{5}\ln \mid x \mid + C \). Eftersom \( x > 0 \) får vi \( \dfrac{2}{5}\ln x +C \).

    3. \( \dfrac{3}{8x} \), där \( x < 0 \).

      \( \displaystyle \int \dfrac{3}{8x} \mathrm{ d}x = \dfrac{3}{8}\ln \mid x \mid +C \). Då \( x < 0 \) får vi \( \dfrac{3}{8}\ln (-x) +C \).

  3. Integrera följande funktioner
    1. \( \dfrac{1-\sqrt{x}}{x} \)

      \( \dfrac{1-\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}} =\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{x} - x^{-\frac{1}{2}} \).

      Alltså

      \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int \dfrac{1}{x} - x^{-\frac{1}{2}} \textrm{ d}x & = & \ln \mid x \mid - \dfrac{1}{-\frac{1}{2}+1} x^{-\frac{1}{2}+1} + C \\ & = & \ln \mid x \mid - \dfrac{1}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C \\ & = & \ln \mid x \mid - 2 \sqrt{x} + C \\ \end{array} \)

    2. \( (\dfrac{1-\sqrt{x}}{x})^2 \)

      \( (\dfrac{1-\sqrt{x}}{x})^2 = (\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}})^2 = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x} = x^{-2} -2x^{-\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{x} \).

      Alltså

      \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int x^{-2} -2x^{-\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{x} \textrm{ d}x & = & \dfrac{1}{-2+1} x^{-2+1} -2\cdot \dfrac{1}{-\frac{3}{2}+1} x^{-\frac{3}{2}+1} + \ln \mid x \mid + C \\ & = & \dfrac{1}{-1} x^{-1} -2\cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} + \ln \mid x \mid + C \\ & = & -\dfrac{1}{x} -2\cdot (-2) x^{-\frac{1}{2}} + \ln \mid x \mid + C \\ & = & -\dfrac{1}{x} +\dfrac{4}{\sqrt{x}} + \ln \mid x \mid + C \\ \end{array} \)

  4. Bestäm den primitiva funktion för \( \dfrac{1}{x}, x > 0 \) som för i punkten \( \dfrac{1}{e} \) har vädet 3.

    Då \( f(x)=\dfrac{1}{x} \) är \( F(x)=\ln \mid x \mid +C \). Eftersom \( x > 0 \) är \( F(x) = \ln x + C \).

    Eftersom \( F(\dfrac{1}{e})=3 \) så får vi att \( \ln \dfrac{1}{e} + C = 3 \Leftrightarrow C= 4 \).

    Alltså \( F(x)=\ln x + 4 \).

  5. Bestäm den primitiva funktion för \( \dfrac{1}{x}, x < 0 \) vars nollställe är \( -e^2 \).

    Då \( f(x)=\dfrac{1}{x} \) är \( F(x)=\ln \mid x \mid +C \). Eftersom \( x < 0 \) är \( F(x) = \ln (-x) + C \).

    Eftersom \( F(-e^2)=0 \) så får vi att \( \ln (-(-e^2)) + C = 0 \Leftrightarrow C= -2 \).

    Alltså \( F(x)= \ln (-x) -2 \).

  6. Bestäm den primitiva funktion för \( \dfrac{1}{2x} \) som går genom punkten (1,3).

    Då \( f(x)=\dfrac{1}{2x} \) är \( F(x)=\dfrac{1}{2}\ln \mid x \mid +C \). Eftersom \( F(1)=3 \) så får vi att \( \dfrac{1}{2} \ln \mid 1\mid + C = 3 \Leftrightarrow C= 3 \).

    Alltså \( F(x)=\dfrac{1}{2}\ln \mid x \mid + 3 \).

  7. Bestäm den primitiva funktionen för \( \dfrac{1}{x} \), där \( x > 0 \), som för värdet \( \dfrac{1}{e} \) får värdet 2. Vilket nollställe har den primitiva funktionen? Rita den primitiva funktionen.

    Den primitiva funktionen är \( F(x) = \displaystyle\int \dfrac{1}{x} \textrm{ d}x = \ln \mid x \mid + C \) Eftersom \( x > 0 \) är \( F(x) = \ln x + C \).

    \( F \) skall gå genom punkten \( (\dfrac{1}{e},2) \), alltså \( \ln \dfrac{1}{e} + C = 2 \), vi får \( C = +3 \).

    Nollstället, \( F(x) = \ln x + 3 = 0\) ger \( x = e^{-3} \).

    Grafen ser ut som

  8. Integrera följande funktioner.
    1. \( x (x-\dfrac{1}{x})(x+\dfrac{1}{x}) \)

      Vi får

      \( \displaystyle \int x (x-\dfrac{1}{x})(x+\dfrac{1}{x}) \textrm{ d}x = \displaystyle \int x^3 -\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}x^4 -\ln \mid x \mid + C \).

    2. \( (1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}})^2 \)

      Vi får

      \( \displaystyle \int (1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}})^2 \textrm{ d}x = \displaystyle \int 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x} \textrm{ d}x = \ln \mid x \mid +x -4\sqrt{x} + C \)

  9. Bestäm den primitiva funktion för \( \dfrac{-x+3}{x} \) där \( x > 0 \) vars största värde är \( 3\ln(3) -1 \).

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=3\ln x -x +C \). Då \( f(x)=0 \) uppnår \( F(x) \) sitt största värde. Detta sker då \( -x+3=0 \Leftrightarrow x=3 \).

    För \( F \) gäller att \( F(3)=3\ln(3)-1 \) som ger att \( 3\ln[3\ln(3)-1]-[3\ln(3)-1]+C =3 \Leftrightarrow C = 2 \).

    Alltså \( F(x)=3\ln x -x + 2 \).

  10. Bestäm den primitiva funktion för \( \dfrac{5x-5}{x} \) som tangerar linjen \( y=3 \) då \( x > 0 \).

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=-5\ln x +5x + C \). Den primitiva funktionen avtar och växer. Detta kan vi visa genom att undersöka \( f(x) \). \( f(x)=0 \) då \( x=1 \). \( F \):s minsta värde uppnås i \( x=1 \) och minsta värde skall vara 3.

    Betyder att \( F \) går genom punkten \( (1,3) \) som ger oss att \( -5\ln 1 + 5\cdot 1 + C =3 \Leftrightarrow C =-2 \).

    \( F(x)=-5\ln x+5x-2 \).