MaA 9 Integralkalkyl

5. för trigonometriska funktioner

För de trigonometriska funktionerna gäller

\( \displaystyle\int \sin x \mathrm{ d}x = -\cos x + C \) och

\( \displaystyle\int \cos x \mathrm{ d}x = \sin x + C \).

Detta eftersom \( D(-\cos x) = -D\cos x = -(-\sin x)=\sin x \) och \( D\sin x = \cos x \).

Exempel 1 Bestäm den primitiva funktionen för \( f(x)=2\cos x -\sin x \).

Lösning

\( \begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle\int 2\cos x -\sin x \mathrm{ d}x \\ & = & 2\sin x -(-\cos x) + C \\ & = & 2\sin x +\cos x +C\\ \end{array} \)

En sammansatt funktion deriverar vi som \( Df(g)=f'(g)g' \). Då vi tillämpar detta på sinus och cosinus får vi följande:

\( \begin{array}{rcl} D \sin (f(x)) & = & \cos(f(x))\cdot f'(x) \\ & = & f'(x)\cos(f(x))\\ \text{ och } \\ D \cos (f(x)) & = & -\sin(f(x))\cdot f'(x) \\ & = & -f'(x)\sin(f(x))\\ \end{array} \)

Då vi opererar med integralen på bägge led får vi att \( \displaystyle\int f'(x)\cos f(x) \mathrm{ d}x = \sin f(x) +C \) och \( \displaystyle\int f'(x)\sin f(x) \mathrm{ d}x = -\cos f(x) +C. \).

Allmänt kan vi integrera sammansatta funktioner som \( \displaystyle\int f'(x)g(f(x))\mathrm{ d}x = G(f(x)) + C \).

Exempel 2 Bestäm \( \displaystyle\int \cos 5x \mathrm{ d}x \).

Lösning

Vi har den inre funktionen \( 5x \) och dess derivata, \( 5 \), måste vi hitta framför eller så måste vi skapa den.

\( \displaystyle\int \cos 5x \mathrm{ d}x =\dfrac{1}{5}\displaystyle\int 5\cos 5x \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{5}\sin 5x + C \).

Trigonometriska funktioner integrerar vi som

  • \( \displaystyle\int \sin x \mathrm{ d}x = -\cos x + C \)
  • \( \displaystyle\int \cos x \mathrm{ d}x = \sin x + C \)

Sammansatta funktioner integrerar vi som

  • \( \displaystyle\int f'(x)g(f(x))\mathrm{ d}x = G(f(x)) + C \)

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \( \displaystyle\int 4\cos x \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 4\cos x \mathrm{ d}x = 4\sin x + C \).

    2. \( \displaystyle\int \cos 4x \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int \cos 4x \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int 4\cos 4x \mathrm{ d}x =\dfrac{1}{4}\sin 4x + C \)

    3. \( \displaystyle\int 5 \sin x \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 5 \sin x \mathrm{ d}x = -5\cos x+C \)

    4. \( \displaystyle\int \sin 5x \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int \sin 5x \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{5}\displaystyle\int 5\sin 5x \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{5} (-\cos 5x) + C = -\dfrac{1}{5}\cos 5x +C \)

  2. Bestäm den primitiva funktionen för
    1. \( x^2 \sin x^3 \)

      \( \displaystyle\int x^2 \sin x^3 \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int 3x^2 \sin x^3 \mathrm{ d}x =\dfrac{1}{3}(-\cos x^3) + C = -\dfrac{1}{3}\cos x^3 + C \)

    2. \( 2\cos \dfrac{x}{3} \)

      \( \displaystyle\int 2\cos \dfrac{x}{3} \mathrm{ d} x = 2\cdot 3\displaystyle\int \dfrac{1}{3}\cos \dfrac{x}{3} \mathrm{ d} x = 2\cdot 3\sin \dfrac{x}{3} + C = 6\sin\dfrac{x}{3}+ C \)

    3. \( x^2\sin 3x^3 \)

      \( \displaystyle\int x^2\sin 3x^3 \mathrm{ d} x = \dfrac{1}{9}\displaystyle\int 9x^2\sin 3x^3 \mathrm{ d} x=\dfrac{1}{9}(-\cos 3x^3) +C = -\dfrac{1}{9}\cos 3x^3 + C \)

    4. \( x\cos (-2x^2) \)

      \( \displaystyle\int x\cos (-2x^2) \mathrm{ d} x = -\dfrac{1}{4}\displaystyle\int -4x\cos (-2x^2) \mathrm{ d} x = -\dfrac{1}{4}\sin (-2x^2) + C = \dfrac{1}{4}\sin 2x^2 +C \)

  3. Bestäm
    1. \( \displaystyle\int 3 \cos \dfrac{x}{2} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 3 \cos \dfrac{x}{2} \mathrm{ d}x = 3\cdot 2 \displaystyle\int \dfrac{1}{2} \cos \dfrac{x}{2} \mathrm{ d}x = 6\sin\dfrac{x}{2} + C \)

    2. \( \displaystyle\int \sin \dfrac{x}{\pi} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int \sin \dfrac{x}{\pi} \mathrm{ d}x = \pi \displaystyle\int \dfrac{1}{\pi} \sin \dfrac{x}{\pi} \mathrm{ d}x = -\pi\cos\dfrac{x}{\pi} + C \)

    3. \( \displaystyle\int 10x \sin x^2 \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 10x \sin x^2 \mathrm{ d}x = 5 \displaystyle\int 2x \sin x^2 \mathrm{ d}x = -5\cos x^2 + C \)

    4. \( \displaystyle\int -3x\cos (4x^2) \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int -3x\cos (4x^2) \mathrm{ d}x = -3\cdot \dfrac{1}{8}\displaystyle\int 8x\cos (4x^2) \mathrm{ d} x = -\dfrac{3}{8}\sin (4x^2) + C \)

  4. Bestäm följande primitiva funktioner.
    1. \( \displaystyle\int \sin x \cos^2 x \mathrm{ d}x \).

      Vi ser \( \cos^2 x \) som \( (\cos x)^2 \). Då är inre funktionens derivata \( -\sin x \) som vi fixar till.

      Den yttre funktionen är \( x^2 \).

      \( -\displaystyle\int -\sin x\cos^2 x \mathrm{ d}x = -\dfrac{1}{3}\cos^3 x + C \).

    2. \( \displaystyle\int 2\cos x \sin^3 x \mathrm{ d}x \).

      Vi ser \( \sin^3 x \) som \( (\sin x)^3 \). Då är inre funktionens derivata \( \cos x \).

      Den yttre funktionen är \( x^3 \).

      \( \displaystyle\int 2\cos x \sin^3 x \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{4}\sin^4 x + C \).

    3. \( \displaystyle\int 4\sin x \cos^3 x \mathrm{ d}x \).

      Vi ser \( \cos^3 x \) som \( (\cos x)^3 \). Då är inre funktionens derivata \( -\sin x \) som vi fixar till.

      Den yttre funktionen är \( x^3 \).

      \( -4\displaystyle\int -\sin x\cos^3 x \mathrm{ d}x = -4\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\cos^4 x + C = -\cos^4 x + C \).

  5. Bestäm för funktionen \( f(x)= \sin\dfrac{1}{3}x - \cos \dfrac{1}{2}x + \sin 3x \) den primitiva funktion vars värde i punkten \( \pi \) är 0.

    För att kunna integrera måste vi kompensera \( F(x) = \displaystyle\int 3\cdot \dfrac{1}{3}\sin\dfrac{1}{3}x - 2\cdot \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3}\cdot 3\sin 3x \textrm{ d}x = -3\cos\dfrac{1}{3}x - 2\sin \dfrac{1}{2}x -\dfrac{1}{3}\cos 3x + C \).

    \( F \) skall gå genom punkten \( (\pi,0) \). Alltså \( -3\cos\dfrac{1}{3}\cdot \pi - 2\sin \dfrac{1}{2}\cdot \pi -\dfrac{1}{3}\cos 3\pi + C = 0\). Vi får \( C = \dfrac{19}{6} \).

    Alltså \( -3\cos\dfrac{1}{3}x - 2\sin \dfrac{1}{2}x -\dfrac{1}{3}\cos 3x + \dfrac{19}{6} \).

  6. Bestäm den primitiva funktion för \( f(x)= \cos x + \sin 2x + \cos 3x \) som för värdet \( \dfrac{\pi}{2} \) får värdet 2.

    För att kunna integrera behöver vi kompensera. \( \displaystyle\int \cos x + \dfrac{1}{2}\cdot 2\sin 2x + \dfrac{1}{3}\cdot 3\cos 3x \textrm{ d}x = \sin x -\dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{3}\sin 3x + C \).

    Den primitiva funktioen skall genom punkten \( (\dfrac{\pi}{2},2) \). Vi får ekvationen \( \sin \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{1}{2}\cos 2\cdot \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{3}\sin 3\cdot \dfrac{\pi}{2} + C = 2 \). Vi får \( C = \dfrac{5}{6} \)

    Den primitiva funktionen är \( F(x) = \sin x -\dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{3}\sin 3x + \dfrac{5}{6} \).

  7. Bestäm den primitiva funktion för \( f(x)=\sin x + 2\cos 2x \) som i punkten \( \pi \) har värdet 3.

    \( F(x)= -\cos x +\sin(2x) + C \). Eftersom \( F(\pi)=3 \) får vi att \( -\cos \pi +\sin(2\pi) + C = 3 \Leftrightarrow C= 2 \).

    Alltså \( F(x)=-\cos x +\sin(2x) + 2 \).

  8. Bestäm \( \displaystyle\int \sin(2x -\dfrac{\pi }{4}) \mathrm{ d}x \).

    \( \displaystyle\int \sin(2x -\dfrac{\pi }{4}) \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2\sin(2x -\dfrac{\pi }{4}) \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2}(-\cos(2x-\dfrac{\pi}{4})) + C = -\dfrac{1}{2}\cos(2x -\dfrac{\pi}{4})+C \).

  9. Bestäm \( \displaystyle\int \cos(\pi -\dfrac{x}{2}) \mathrm{ d}x \).

    \( \displaystyle\int \cos(\pi -\dfrac{x}{2}) \mathrm{ d}x = -2\displaystyle\int -\dfrac{1}{2}\cos(\pi -\dfrac{x}{2}) \mathrm{ d}x = -2\sin(\pi - \dfrac{x}{2})+C \).

  10. Bestäm för funktionen \( f(x)=\sin 3x \) de primitiva funktioner som endast får positiva värden.

    Den primitiva funktien är \( F(x) = -\dfrac{1}{3}\cos 3x + C \).

    Värdemängden för \( \cos 3x \) är mellan -1 och 1, \( [-1,1] \), för \( \dfrac{1}{3}\cos 3x \) är det mellan \( -\dfrac{1}{3} \) och \( \dfrac{1}{3} \).

    Vi måste flytta upp funktionen minst med en \( \dfrac{1}{3} \). Alltså \( F(x) = -\dfrac{1}{3}\cos 3x + C \) där \( C > \dfrac{1}{3} \).

    Du kan också lösa den som så att du bestämmer det minsta värdet med hjälp av derivatans nollställen, och flyttar sedan upp den så att \( F \) är positiv.

  11. För funktionen \( f \) vet vi att \( f''(x)=\sin x -4\cos 2x \) och att \( f'(0)=2 \) och att \( f(\dfrac{\pi}{2})=3 \). Bestäm \( f(x) \).

    Vi får att \( f'(x)=-\cos x -2\sin(2x) + C \) och att \( f(x)=-\sin x + \cos (2x) + Cx + D \).

    Villkoren \( f'(0)=2 \) och \( f(\dfrac{\pi}{2})=3 \) ger oss ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} -\cos 0 -2\sin(2\cdot 0) + C & = & 2 \\ -\sin \dfrac{\pi}{2} + \cos (2\cdot \dfrac{\pi}{2}) + C\cdot \dfrac{\pi}{2} + D & = & 3 \\ \end{array}\right. \)

    att \( C = 3 \) och \( D = 5-\dfrac{3\pi}{2} \).

    Alltså \( f(x)=\sin x - \cos (2x) + 3x + 5-\dfrac{3\pi}{2} \).

    Du kan också utnyttja att \( f'(0)=2 \) för att bestämma C och efter det integrera för att komma vidare.

  12. Visa att \( \displaystyle\int f'(x)g(f(x))\mathrm{ d}x = G(f(x)) + C \) gäller.

    \( D G(f(x))= G'(f(x))f'(x)=f'(x)g(f(x)) \)