Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

MaA 9 Integralkalkyl

12. Allmänna volymer

Som det sista behandlar vi ännu volymer där tvärsnittsarean bildas av en funktion. Denna funktion integrerar vi över ett intervall för att få volymen för kroppen.

Exempel 1 Ett museum ser uppifrån ut som en cirkel med diametern 100 m. Tvärsnitten för muséet är rektanglar som är dubbelt så breda som höga. Bestäm volymen för museet.

Lösning

Från sidan ser det ut som

och uppifrån som

Arean för ett tvärsnitt är A(x)=502x22502x2=2(502x2).

Volymen är

5050A(x)dx=2500A(x)dx=25002(502x2)=4500502x2=4/5002500x13x3=4[(25005013503)(250001303)]=333333,33 m3330000 m3

Exempel 2 Bestäm volymen för en pyramid med bottensidan a och höjden h .

Lösning

Vi tar och tänker oss pyramiden i ett koordinatsystem, där toppen är i origo och bottenarean är på avståndet a. Pyramidens volym består av oändligt många kvadratiska skivor, där den nedersta har arean a2.

Vi kan addera ihop dessa kvadratiska sidor med hjälp av integrering från 0 till h.

På ett visst avstånd x gäller att höjden y är likformig med a och h. Vi får att A(x)a2=x2h2A(x)=x2a2h2.

Volymen är h0A(x)dx=h0a2h2x2dx=a2h2/h0a2h213x3=a2h2(13h31302)=13ha2.

För att bestämma volymer med hjälp av integraler behöver vi en funktion som anger arean vid en bestämd punkt. Sedan är det bara att integrera. Volymen får vi som

baA(x)dx.

Uppgifter

  1. Tvärsnittsarean i cm2 för en batong följer på ett ungefär funktionen A(x)=11x0,35x2, var 0x30. Bestäm volymen för batongen.

    Vi får V=30011x0,35x2 dx=1800 cm3.

    Alltså 1,8 dm3 eller 1,8 l.

  2. Höjden för en förpackning är 0,5 m och tvärsnittsarean som följer bottnet är kvadratisk av sig. På höjden x är längden för sidan 2x+1 meter. Bestäm volymen av förpackningen.

    Funktionen som ger tvärsnittsarean är A(x)=(2x+1)2.

    V=0,50(2x+1)2 dx=1,166 m3

    .

    Alltså 1,2 m3

  3. Tvärsnitten för en vas består av kvadratiska skivor där sidan har längden 3+x på höjden x cm. Bestäm vasens volym då den är 25 cm hög.

    Arean för en tvärsnittsarea är A(x)=(3+x)2 där 0x25.

    Volymen är 250A(x)dx=250(3+x)2dx=2509+6x+xdx=/2509x+623xx+12x2=1037,5 cm3=1,04 dm3.

  4. Formen för en kropp följer kurvan 4x1x4 så att tvärsnittsarean bildar liksidiga trianglar där höjden är 4x. Bestäm volymen för kroppen.

    På avståndet x är höjden för tvärsnittet 4x.

    Antingen kan vi utnyttja likformighet eller Pythagoras för att få ett förhållande mellan basytan och höjden.

    Då höjden är h=f(x) och basytans längd är b kan vi bilda förhållandet hb. Eftersom triangeln är liksidig kan vi arbeta med Typtriangel 2. Då gäller att hb=32. Då h=f(x) får vi att basytan är 4x=b32b=8x3.

    Arean för tvärsnitten är A(x)=128x34x=16x23.

    Volymen är 41A(x)=dx=4116x23dx=163/411x=43.

  5. Bottnet för en idrottshall har formen av en cirkel vars diameter är 84 meter. Tvärsnittsarean för idrottshallen bildar kvadrater. Bestäm volymen för idrottshallen.

    Vi placerar x-axeln så att den går längs med diametern så att origo är i mitten av hallen. Vi punkten x har tvärsnittsareorna längden 2422x2 där 42x42.

    Volymen är 4242(2422x2)2 dx395100 m3.

  6. Längderna i centimeter för sidorna för en matförpackning med kvadratiska tvärsnittsareor följer funktionen x+5. Bestäm höjden för förpackningen med en mm noggrannhet då man vill att den skall rymma 4,5 dl.

    4,5 dl motsvaras av 450 cm3.

    Storleken av tvärsnittsarean är A(x)=(x+5)2.

    Vi får ekvationen a0(x+5)2=450 som har lösningen a6,38 cm.

    Alltså 6,4 cm.

  7. Höjden för en kruka är 1,0 m. Tvärsnitten paralella med bottenytan bildar kvadrater. På höjden x meter är sidans längd ex. Bestäm volymen för krukan.

    Funktionen som ger tvärsnittet är A(x)=(ex)2=e2x.

    Volymen är 10e2x dx=e2123,1945 m3.

    Alltså 3200 liter.

  8. Tvärsnittet av ett tält är en likbent triangel där basen är är en och en halv gånger så lång som höjden. Tältet är 3,0 m långt och gavlarna har höjden 1,0 m och 1,5 m. Takåsen i tältet har formen av en parabel med toppen i den lägre gavelns hörn.

    Beräkna tältets volym i liter.

    Arean för en triangel är A=12bh. Då vi vet höjden h är basen 1,5h. Alltså är A=121,5h2=34h2.

    Höjden för tältet följer en parabel. Vi flyttar parabeln så att toppen av parabeln går genom origo. Då går parabeln genom punkterna (0,0) och (3;0,5). Parabelns ekvation är f(x)=118x2. Då vi lyfter upp den ett steg får vi f(x)=118x2+1.

    Funktionen som ger tvärsnittsarean är A(x)=34(118x2+1)2.

    Volymen är 30A(x)dx=3034(118x2+1)2dx=3,1125 m3.

    Alltså 3 100 liter.

  9. Tvärsnittsytorna för en kropp är likformiga bottenarean. Bottenarean har ytan A och höjden för kroppen är h. Bestäm volymen för kroppen.

    Vi får volymen h0A dx=/h0Ax=AhA0=Ah.

    Märk att du har härlett fram formeln för volymen för ett prisma.

  10. Härled volymen för en rak cirkulär kon.

    Vi placerar konen med spetsen i origo och höjden längs med x-axeln.

    Vi höjden h är basarean πr2, vid en höjd x är basarean A(x). Dessa är likformiga och vi får att A(x)πr2=(xh)2. Vidre får vi att A(x)=πr2x2h2.

    Volymen är h0A(x)dx=h0πr2x2h2dx=πr2h2h0x2dx=πr2h2/h013x3=πr23h2(h303)=13πr2h.