7. Areor

Bestäm arean av det färgade området i bilden.

Lösning

Vi har en parallelltrapets. Avståndet mellan de parallella sidorna är $3-1=2$ och längden av de parallella sidorna är $f(1)=2$ och $f(3)=4$ .

Arean är $\dfrac{2+4}{2}\cdot 2 = 6$ .

Exempel 1 Bilda en funktion som beskriver arean, $A(x)$ , och derivera den. Vad märker du?

Lösning

Vi har en parallelltrapets. Avståndet mellan de parallella sidorna är $1-x$ och längden av sidorna är $f(1)=2$ och $f(x)=x+1$ .

Areafunktionen är $A(x)=\dfrac{f(1)+f(x)}{2}(x-1) = \dfrac{2+(x+1)}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2}(x+3)(x-1)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}$ .

$A'(x)=x+1$ som är samma som $f(x)$ .

Exempel 2 Ett område i $[1,x]$ avgränsas av funktionen $f(x)=2x+2$ , $x$ -axeln och två linjer som är vinkelräta $x$ -axeln.

Bestäm $A(3)$
Bestäm $A(1)$
Bilda funktionen $A(x)$ . Derivera den. Vad märker du?

Lösning

Vi har en parallelltrapets, där höjden är $4-1=3$ och där längden för de parallella sidorna är $f(1)=4$ och $f(4)=10$ .

Arean är $A(4)= \dfrac{4+10}{2}\cdot 3 = 21$ .
Vi får en figur där längderna för de parallella sidorna är lika långa och där avståndet mellan dem är 0. Arean är $A(1)=0$ .
Avståndet mellan de parallella sidorna är $x-1$ och längderna för de parallella sidorna är $f(1)=4$ och $f(x)=2x+2$ .

Arean är $A(x)=\dfrac{4+2x+2}{2}(x-1) = \dfrac{2x+6}{2}(x-1)=(x+3)(x-1) = x^2+2x-3$ .

Då vi deriverar $A(x)$ får vi $2x+2$ . Vi märker att $A'(x)=f(x)$ .

Exempel 3 Parabeln $y=x^2$ och $x$ -axeln avgränsar ett område i intervallet $[1,3]$ . Bestäm arean av området.

Lösning

Vi bildar en funktion $A$ som ger arean för funktionen $f(x)=x^2$ i intervallet $[1,3]$ . Areans värde är $A$ :s värde i punkten 3, alltså $A(3)$ .

En primitiv funktion för $f$ är $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3$ . Betyder att $A(x)=\dfrac{1}{3}x^3+C$ .

För funktionen $A(x)$ vet vi att $A(1)=0$ , så vi bestämmer ett värde för $C$ .

$\begin{array}{rcl} A(1) & = & 0\\ \dfrac{1}{3}1^3+C & = & 0 \\ C & = & -\dfrac{1}{3}\\ \end{array}$

Vi har alltså $A(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -\dfrac{1}{3}$ .

Den sökta arean är $F(3)=\dfrac{1}{3}3^3-\dfrac{1}{3} = 8\dfrac{2}{3}$ .

Antag att funktionen $f$ är positiv och kontinuerlig i intervallet $[a,b]$ . Då är arean som bildas mellan funktionen och $x$ -axeln och som begränsas av $a$ och $b$ $A=F(b)-F(a)$ där $F$ är någon primitiv funktion för $f$ .

Exempel 4 Bestäm arean mellan funktionen $f(x)=-x^2-4x$ och $x$ -axeln.

Lösning

Skärningspunkterna för $f$ och $x$ -axeln är

$\begin{array}{rcl} -x^2-4x & = & 0 \\ -x(x+4) & = & 0 \\ \end{array}$

Alltså då $x=0$ eller då $x=-4$ .

Den primitiva funktionen är $F(x)=-\dfrac{1}{3}x^3-4\cdot\dfrac{1}{2}x^2 = -\dfrac{1}{3}x^3-2x^2$ .

Arean är $A= F(0)-F(-4) = [-\dfrac{1}{3}\cdot0^3-2\cdot0^2]-[-\dfrac{1}{3}(-4)^3-2(-4)^2] = 0-(\dfrac{64}{3}-32)=10\dfrac{2}{3}$ .

Uppgifter

Bestäm storleken av det område som uppstår mellan funktionen f(x)=2x+1 och x-axeln i området [1,3].
1. Geometriskt
  
  Vi har följande situation
  
  Vi har en parallelltrapets, arean är $\dfrac{3+7}{2} \cdot 2 = 10$ a.e.
2. Genom att bilda skillnaden $F(3) - F(1)$ där $F$ är den primitiva funktionen för $f$ .
  
  $F(x) = x^2 + x$ .
  
  Vi får arean som $A = F(3)-F(1) = 3^2+3 - (1^2+1) = 12-2 = 10$ a.e.
Bestäm storleken av det område som uppstår mellan funktionen f(x)=12x+1 och x-axeln i området [−1,7].
1. Geometriskt
  
  Vi har följande situation
  
  Vi har en parallelltrapets, arean är $\dfrac{f(-1)+ f(7)}{2} \cdot (7-(-1)) = \dfrac{0,5+4,5}{2} \cdot 8 = 20$ a.e.
2. Genom att bilda skillnaden $F(7) - F(-1)$ där $F$ är den primitiva funktionen för $f$ .
  
  $F(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + x$ .
  
  Vi får arean som $A = F(7)-F(-1) = \dfrac{1}{4}\cdot 7^2 + 7 - (\dfrac{1}{4}(-1^2)+(-1)) = \dfrac{77}{4} +\dfrac{3}{4} = 20$ a.e.
Bestäm arean av det färgade området i bilden antingen genom att bestämma arean geometriskt eller genom att bilda den primitiva funktionen.

Vi har en paralleltrapets. Avståndet mellan de parallella sidorna är $3-1=2$ och längden av sidorna är $f(1)=2$ och $f(3)=8$ .

Arean är $\dfrac{2+8}{2}\cdot 2 = 10$ a.e.

Med hjälp av primitiva funktioner, $F(3) - F(1)$ .
Bilda en funktion $A(x)$ som beskriver arean för funktionen $f$ och $x$ -axeln i intervallet $[2,x]$ och derivera den. Vad märker du?

Vi har en parallelltrapets. Avståndet mellan sidorna är $x-2$ och längden av sidorna är $f(2)=3$ och $f(x)$ .

Areafunktionen $A(x)=\dfrac{3+x+1}{2}(x-2) =\dfrac{1}{2}x^2+x-4$ .

Deriveringen ger $A'(x)=x+1 = f(x)$ .
Bestäm arean i intervallet $[1,4]$ som bildas mellan funktionen $f(x)=x^2+1$ och $x$ -axeln så som gjordes i näst sista exemplet.

Den primitiva funktionen är $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+x$ .

Arean är $A=F(4)-F(1) = [\dfrac{1}{3}\cdot4^3+4] - [\dfrac{1}{3}\cdot1^3+1] = \dfrac{76}{3} - \dfrac{4}{3} = 24$ .
Bestäm arean i intervallet $[-1,2]$ mellan funktionen $f(x)=4x^3+4$ och $x$ -axeln.

Den primitiva funktionen är $F(x)=x^4+4x$ .

Arean är $A=F(2)-F(-1) = [2^4+4\cdot 2]-[(-1)^4+4(-1)]=24-(-3) = 27$ .
Bestäm arean mellan $f(x)=-x^2+4$ och $x$ -axeln.

Skärningspunkterna är $f(x)=0 \Leftrightarrow -x^2+4=0 \Leftrightarrow x=\pm 2$ .

Den primitiva funktionen är $F(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+4x$ .

Arean är $A=F(2)-F(-2)=[-\dfrac{1}{3}\cdot 2^3+4\cdot 2]-[-\dfrac{1}{3}(-2)^3+4(-2)] = \dfrac{16}{3}-(-\dfrac{16}{3})=\dfrac{32}{3}$ .
Bestäm storleken av den area som uppstår mellan funktionen $f(x) = \cos x$ och $x$ -axeln i intervallet $[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$ .

I intervallet $[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$ är funktionen ovan $x$ -axeln. (Rita upp den och föräkra dig över att det är så).

Den primitiva funktionen är $F(x) = \sin x + C$ .

Vi arean som $A = F(\dfrac{\pi}{2}) - F(\dfrac{-\pi}{2}) = \sin (\dfrac{\pi}{2}) - \sin (-\dfrac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$ a.e.
Bestäm arean som bildas mellan $x$ -axeln och $f(x)=e^x+1$ i intervallet $[0,2]$ .

Den primitiva funktionen är $F(x)=e^x+x$ .

Arean är $A=F(2)-F(0)=(e^2+2)-(e^0+0) = e^2+2-1=e^2+1$ .
Bestäm arean som begränsas av funktionerna $x=1$ , $x=4$ , $y=\dfrac{1}{2}x+2$ och $x$ -axeln.

Den primitiva funktionen är $F(x)=\dfrac{1}{4}x^2+2x$ .

De lodräta linjerna funger som gräns, så arean är $A=F(4)-F(1)=(\dfrac{1}{4}\cdot 4^2+2\cdot 4)-(\dfrac{1}{4}\cdot 1^2+2\cdot 1) = 12 - 2\dfrac{1}{4} = 9\dfrac{3}{4}$ .
Bestäm arean som bildas mellan funktionen $\sin 2x$ och $x$ -axeln i intervallet $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ .

Den primitiva funktionen är $F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos 2x$ .

Arean är $A=F(\dfrac{\pi}{2})-F(0) = -\dfrac{1}{2}\cos(2\cdot \dfrac{\pi}{2})-[-\dfrac{1}{2}\cos(2\cdot 0)] = -\dfrac{1}{2}(-1) - (-\dfrac{1}{2}\cdot 1)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ .
För vilket värde på $k$ gäller att arean som bildas i intervallet $[1,k]$ , mellan funktionen $f(x)=\dfrac{1}{x}$ och mellan $x$ -axeln har värdet 10?

Den primitiva funktionen är $F(x)=\ln \mid x \mid$ . Eftersom vi har intervallet $[1,k]$ så är $F(x)=\ln x$ .
Vi får en ekvation, arean $A = F(k)-F(1) =10$

$\begin{array}{rcl} F(k)-F(1) & = & 10 \\ \ln k - ln 1 & = & 10 \\ \ln k -0 & = & 10 \\ k & = & e^{10} \approx 22026,5\\ \end{array}$