MaA 9 Integralkalkyl

2. för polynomfunktioner

Då vi skapar primitiva funktioner integrerar vi. Till nästa tar vi och går igenom hur vi integrerar olika typer av funktioner.

Integrering av en polynomfunktion sker på följande sätt: \( \displaystyle\int x^n \textrm{ d}x = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C \) där \( n\not=-1 \) .

Formeln kontrollerar vi genom att derivera: \( D(\dfrac{1}{n+1}x^{n+1})=\dfrac{1}{n+1}Dx^{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\cdot (n+1)x^{n+1-1} = x^n \) .

Rötter och bråk uttrycker vi med hjälp av allmän exponent och integrerar dem sedan.

Exempel 1 Bestäm den primitiva funktionen för

  1. \( x^{15} \)
  2. \( \dfrac{1}{x^3} \)
  3. \( \sqrt{x} \)

Lösning

  1. \( \displaystyle\int x^{15} \textrm{d}x = \dfrac{1}{15+1}x^{15+1}+C = \dfrac{1}{16}x^{16} + C \) .
  2. \( \displaystyle\int \dfrac{1}{x^3} \textrm{d}x = \displaystyle\int x^{-3} \textrm{d}x = \dfrac{1}{-3+1}x^{-3+1} + C = -\dfrac{1}{2x^2} + C \) .
  3. \( \displaystyle\int \sqrt{x} \textrm{d}x = \displaystyle\int x^{\frac{1}{2}} \textrm{d}x = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+1} x^{\frac{1}{2}+1} + C = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C \) .

Eftersom integrering och derivering hör ihop har vi motsvarande räkneregler.

Vi kan flytta ut konstanter från en integral. Låt \( k \) vara en konstant och \( f(x) \) en kontinuerlig funktion. Då gäller att \( \displaystyle\int k f(x) \textrm{d}x = k\int f(x)\textrm{d}x, \) eftersom \( DkF = kDF=kf \) .

Vidare tar vi och integrerar termer skilt för sig. Låt \( f(x) \) och \( g(x) \) vara två kontinuerliga funktioner. Då gäller att \( \displaystyle\int (f(x)+g(x))\textrm{d}x = \displaystyle\int f(x)\textrm{d}x + \displaystyle\int g(x)\textrm{d}x, \) eftersom \( D(F+G)=DF+DG = f +g \) .

För integrering av polynomfunktioner gäller

  • \( \displaystyle\int x^n \textrm{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + C \) där \( n\not= -1 \)

Allmänt gäller för integrering att

  • \( \displaystyle\int k f(x) \textrm{d}x = k\int f(x) \textrm{d}x \)
  • \( \displaystyle\int (f(x)+g(x))\textrm{d}x = \displaystyle\int f(x)\textrm{d}x + \displaystyle\int g(x)\textrm{d}x \)

Exempel 2 Bestäm de primitiva funktionerna för

  1. \( \dfrac{3}{5\sqrt{x}} \)
  2. \( 2x^3+4x-\dfrac{6}{x^2} \)

Lösning

  1. \( \displaystyle\int \dfrac{3}{5\sqrt{x}} \textrm{d}x =\int \dfrac{3}{5} x^{-\dfrac{1}{2}} \textrm{d}x = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}+1}x^{-\dfrac{1}{2}+1} + C = \dfrac{3}{5}\cdot 2 x^{\frac{1}{2}} +C = \dfrac{6}{5} \sqrt{x} +C \) .
  2. Vi får

    \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int 2x^3+4x-\dfrac{6}{x^2} \textrm{d}x & = & \displaystyle\int 2x^3+4x-6x^{-2} \textrm{d}x \\ \\ & = & 2\dfrac{1}{3+1}x^{3+1}+4\dfrac{1}{1+1}x^{1+1}-6\dfrac{1}{-2+1}x^{-2+1} + C \\ \\ & = & \dfrac{1}{2}x^4 + 2x^2+\dfrac{6}{x} + C\\ \end{array} \)

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \( \displaystyle\int 6x^{11} \textrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 6x^{11} \textrm{ d}x = 6\cdot \dfrac{1}{11+1} x^{11+1} +C = \dfrac{1}{2}x^{12}+C \) .

    2. \( \displaystyle\int (2x^3+6x-3)\textrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int (2x^3+6x-3)\textrm{ d}x = 2\cdot\dfrac{1}{4}x^4+6\cdot\dfrac{1}{2}x^2-3x+C=\dfrac{1}{2}x^4+3x^2-3x+C \)

    3. \( \displaystyle\int (-3x^4+x^2+9)\textrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int (-3x^4+x^2+9)\textrm{ d}x = -3 \cdot \dfrac{1}{5}x^5 + \dfrac{1}{3}x^3 + 9x + C = -\dfrac{3}{5}x^5 + \dfrac{1}{3}x^3 + 9x + C \)

  2. Bestäm
    1. \( \displaystyle\int \dfrac{1}{5}x^{2}+4x+3 \textrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int \dfrac{1}{5}x^{2}+4x+3 \textrm{ d}x = \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{3}x^{3}+4\cdot\dfrac{1}{2}x^2+3x +C = \dfrac{1}{15}x^{3}+2x^2+3x +C \) .

    2. \( \displaystyle\int \dfrac{3}{5}x^2 -7 \textrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int \dfrac{3}{5}x^2 -7 \textrm{ d}x = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{3}x^3 -7x +C = \dfrac{1}{5}x^3 -7x +C \)

    3. \( \displaystyle\int \dfrac{3}{2}x^{3}-2x^2+\dfrac{2}{3}x \textrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int \dfrac{3}{2}x^{3}-2x^2+\dfrac{2}{3}x \textrm{ d}x = \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{4}x^{4}-2\cdot\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}x^2 + C = \dfrac{3}{8}x^{4}-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{3}x^2 + C \)

  3. Bestäm
    1. \( \displaystyle\int x\sqrt{x}\textrm{ d}x \)

      \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int x\sqrt{x}\textrm{ d}x & = & \displaystyle\int x\cdot x^{\frac{1}{2}} \textrm{ d}x \\ & = & \displaystyle\int x^{\frac{3}{2}} \textrm{ d}x \\ & = & \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}+1} x^{\frac{3}{2}+1}+C \\ & = & \dfrac{1}{\dfrac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}}+C \\ & = & \dfrac{2}{5} x^2\sqrt{x} + C \\ \end{array} \)

    2. \( \displaystyle\int \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x = \displaystyle\int x^{\frac{1}{3}} \textrm{ d}x = \dfrac{1}{\dfrac{1}{3}+1}x^{\frac{1}{3}+1} + C = \dfrac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \dfrac{3}{4}x\sqrt[3]{x}+C \) .

    3. \( \displaystyle\int (x+1)\sqrt{x} \textrm{ d}x \)

      \( \begin{array}{rcll} \displaystyle\int (x+1)\sqrt{x} \textrm{ d}x & = & \displaystyle\int x\sqrt{x} +\sqrt{x} \textrm{ d}x \\ & = & \displaystyle\int x^{\frac{3}{2}} +x^{\frac{1}{2}} \textrm{ d}x \\ & = & \dfrac{1}{1+\frac{3}{2}} x^{1+\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{1+\frac{1}{2}} x^{1+\frac{1}{2}} + C\\ & = & \dfrac{1}{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}} + \dfrac{1}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} + C\\ & = & \dfrac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + \dfrac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C\\ & = & \dfrac{2}{5} \sqrt{x^{5}} + \dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C & \text{Detta är ett helt bra svar.}\\ & = & \dfrac{2x^2}{5} \sqrt{x} + \dfrac{2x}{3} \sqrt{x} + C & \text{Detta är lite finare av sig.}\\ & = & (\dfrac{2x^2}{5} + \dfrac{2x}{3} )\sqrt{x} + C & \text{Om du vill bryta ut i slutet.}\\ \end{array} \)

  4. Integrera följande funktioner.
    1. \( \dfrac{1}{x^4} \)

      \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int \dfrac{1}{x^4} \textrm{ d}x & = & \displaystyle\int x^{-4} \textrm{ d}x \\ & = & \dfrac{1}{-4+1} x^{-4+1} + C \\ & = & \dfrac{1}{-3} x^{-3} + C \\ & = & -\dfrac{1}{3x^3} + C \\ \end{array}\)

    2. \( \dfrac{2}{\sqrt{x}} \)

      \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int \dfrac{2}{\sqrt{x}} \textrm{ d}x & = & \displaystyle\int 2x^{-\frac{1}{2}} \textrm{ d}x \\ & = & 2\cdot\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}+1} x^{-\frac{1}{2}+1} + C \\ & = & 2\cdot\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}+ C \\ & = & 2 \cdot 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + C \\ & = & 4x^{\frac{1}{2}}+C \\ & = & 4\sqrt{x}+C \\ \end{array}\)

    3. \( \dfrac{1}{6x\sqrt{x}} \)

      \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int \dfrac{1}{6x\sqrt{x}} \textrm{ d}x & = & \displaystyle\int \dfrac{1}{6x^{\frac{3}{2}}} \textrm{ d}x \\ & = & \displaystyle\int \dfrac{1}{6} \cdot x^{-\frac{3}{2}} \textrm{ d}x \\ & = & \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{-\frac{3}{2}+1} \cdot x^{-\frac{3}{2}+1} +C \\ & = & \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} +C \\ & = & \dfrac{1}{6} \cdot (-2) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} +C \\ & = & -\dfrac{1}{3\sqrt{x}} +C \\ \end{array} \)

  5. Bestäm alla primitiva funktioner för \( \dfrac{3}{4\sqrt{x}} \) .

    \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int \dfrac{3}{4\sqrt{x}} \textrm{ d}x & = & \displaystyle\int \dfrac{3}{4} x^{-\frac{1}{2}} \textrm{ d}x \\ & = & \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}+1} x^{-\frac{1}{2}+1} + C \\ & = & \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}+ C \\ & = & \dfrac{3}{4} \cdot 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + C \\ & = & \dfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}+C \\ & = & \dfrac{3}{2}\sqrt{x}+C \\ \end{array}\)

  6. Bestäm alla primitiva funktioner för \( (x-\dfrac{1}{x})^2 \) .

    Först förenklar vi \( (x-\dfrac{1}{x})^2 = x^2-2\cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2-2+\dfrac{1}{x^2} = x^2-2+x^{-2} \) .

    Sedan integrerar vi\( \displaystyle\int x^2-2+x^{-2} \textrm{ d}x = \dfrac{1}{3}x^3-2x+\dfrac{1}{-1}x^{-1} + C = \dfrac{1}{3}x^3-2x - \dfrac{1}{x} + C \) .

  7. Bestäm den primitiva funktion för \( f(x)= 8x+\dfrac{2}{x^3} \) som får värdet 5 då x = 1.

    \( F(x)=4x^2-\dfrac{1}{x^2} + C \) . Eftersom \( F(1)=5 \) får vi att C=2. Alltså \( F(x)=4x^2-\dfrac{1}{x^2} + 2 \) .

  8. Låt \( f(x)=4x \) och \( g(x)=2x^3 \) .
    1. Bestäm \( F(x) \) och \( G(x) \) .

      \( F(x)=2x^2 +C \) och \( G(x)=\dfrac{1}{2}x^4+ C \) .

    2. Undersök om produkten av \( F(x) \) och \( G(x) \) , \( F(x)G(x) \) , är den primitiva funktionen av produkten av \( f(x) \) och \( g(x) \), som har värdet \( 8x^4 \) .

      \( F(x)G(x)=2x^2\cdot \dfrac{1}{2}x^4 = x^6 \) och \( \displaystyle\int 8x^4 \textrm{ d}x = 8\dfrac{1}{5}x^5 = \dfrac{8}{5}x^5 \)

      Uttrycken är inte identiska!

    3. Undersök om kvoten av \( F(x) \) och \( G(x) \) , \( \dfrac{F(x)}{G(x)} \) , är den primitiva funktionen av kvoten av \( f(x) \) och \( g(x) \), som har värdet \( \dfrac{2}{x^2} \).

      \( \dfrac{F(x)}{G(x)} = \dfrac{2x^2}{\dfrac{1}{2}x^4} = \dfrac{4}{x^2} \) och \( \displaystyle\int \dfrac{2}{x^2} \textrm{ d}x = \displaystyle\int 2x^{-2} \textrm{ d}x = 2\dfrac{1}{-1}x^{-1} = -\dfrac{2}{x} \)

      Uttrycken är inte identiska!

  9. Bestäm den primitiva funktionen för \( \dfrac{8x^6-3x+4}{2x^3} \) .

    Först förenklar vi \( \dfrac{8x^6-3x+4}{2x^3} = \dfrac{8x^6}{2x^3} -\dfrac{3x}{2x^3} + \dfrac{4}{2x^3} = 4x^3-\dfrac{3}{2}x^{-2} +2x^{-3} \)

    Primitiva funktionen är \( \displaystyle\int (4x^3-\dfrac{3}{2}x^{-2} +2x^{-3})\textrm{ d}x = 4\cdot\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1}+2\cdot\dfrac{1}{-2}x^{-2} + C = x^4 +\dfrac{3}{2x} -\dfrac{1}{x^2} + C \) .

  10. Bestäm den funktion vars största värde är 11 och vars derivatafunktion är \( f'(x)=-2x+6 \) .

    Vilket är sambandet mellan primitiv funktion och derivatafunktion?

    Primitiva funktionen är \( f(x)=-x^2+6x+C \) . Då f är en parabel som öppnar sig neråt hittar vi största värdet i där \( f'(x)=0 \) . Toppen finns i \( -2x+6=0 \Leftrightarrow x=3 \) .

    f skall gå genom punkten (3,11) som ger oss att \( f(3)=11 \Leftrightarrow -3^2+6\cdot 3+C = 11 \Leftrightarrow C = 2 \) .

    Den sökta funktionen är \( f(x)=-x^2+6x+2 \) .

  11. Bestäm den funktion som har följande egenskaper, \( f''(x)=48x^2-6 \) ,\( f'(1)=10 \) och \( f(1)=-1 \) .

    Vi får att \( f'(x)= \displaystyle\int 48x^2-6 \textrm{ d}x = 16x^3-6x + C \) och att \( f(x) = \displaystyle\int 16x^3-6x + C \textrm{ d}x = 4x^4 -3x^2 + Cx + D \) .

    Eftersom \( f'(1)=10 \) och \( f(1)=-1 \) sätter vi in dessa värden i diverse funktioner och bildar ett ekvationssystem.

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} 16\cdot 1^3 - 6\cdot 1 + C & = & 10 \\ 4\cdot 1^4-3\cdot 1^2+C\cdot 1 + D & = & -1\\ \end{array} \right. \)

    Vi får \( C = 0 \) och \( D =-2 \) .

    Den sökta funktionen är \( f(x)=4x^4-3x^2-2 \) .