MaA 6 Derivata

4. Kontinuitet hos en funktion

Vi undersöker kontinuiteten hos funktionen

\(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x & \textrm{ , då } x < -1 \\ x^2-2 & \textrm{ , då } x\geq -1 \\ \end{array}\right.\)

Funktionen \(f\) består av två delar och ser ut som följande:

Polynomfunktionerna \(x\) och \(x^2-2\) är kontinuerliga. Den punkt som intresserar oss är skarven, då \(x=-1\). Frågan som vi ställer oss är: kan vi röra oss från väster och höger över skarvpunkten utan att falla ner genom ett hål i funktionen?

Vi tar och undersöker gränsvärdet i punkten \(x=-1\) genom att närma oss den från vänster och höger.

Från vänster får vi gränsvärdet\(\lim_{x \to -1_{-}} f(x)= \lim_{x \to -1_{-}} x = -1\)

och från höger \(\lim_{x \to -1_{+}} f(x)= \lim_{x \to -1_{+}} x^2-2 = (-1)^2-2 =-1\) .

Vi har samma gränsvärde i punkten \(x=-1\). För att ännu försäkra oss att funktionen är kontinuerlig bildar vi funktionsvärdet, \(f(-1) = (-1)^2-2 =-1\).

Eftersom alla tre har samma värde är funktionen kontinuerlig i \(x=-1\). Vi kan dra slutsatsen att \(f\) är kontinuerlig.

För att en funktion, \(f\) skall var kontinuerlig i en punkt, \(a\) skall

\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

Eftersom vi kan bilda gränsvärdet från höger och vänster kan vi skriva det som är ovan som

\(\lim_{x \to a_{-}} f(x) = \lim_{x \to a_{+}} f(x)=f(a)\).

Exemepl 1 Är funktionen

\(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{, då } x=2 \\ x^3-2x^2-1 & \textrm{, annars } \\ \end{array}\right.\)

kontiunerlig i de reella talen?

Lösning

Funktionen består av en polynomfunktion, \(x^3-2x^2-1\), som är kontinuerlig. Vi undersöker punkten \(x=2\) genom att bilda gränsvärdena och jämföra dem med funktionsvärdet.

Gränsvärdet i punkten 2 är \(\lim_{x \to 2_{-}} f(x)= \lim_{x \to 2_{-}}x^3-2x^2-1 = 2^3 -2\cdot 2^2-1 = -1\) och \(\lim_{x \to 2_{+}} f(x)= \lim_{x \to 2_{+}}x^3-2x^2-1 = 2^3 -2\cdot 2^2-1 = -1\).

Funktionsvärdet är \(f(2)=1\). Eftersom \(\lim_{x \to 2} f(x) \not= f(2)\) så är funktionen inte kontinuerlig i de reella talen.

Exempel 2 Rita funktionen \(f(x)= \mid x+1 \mid\) och undersök om den är kontinuerlig.

Uppgifter

  1. Är funktionerna kontinuerliga eller inte kontinerliga?
    PåståendeKontinuerligInte kontinuerlig (disskontinuerlig)

    Tänk att du cyklar. Cyklar du på en kontinerlig funktion faller du inte igenom, det finns inga hål i funktionen. Cyklar du på en inte kontinerlig funktion faller du igenom.

    PåståendeKontinuerligInte kontinuerlig (disskontinuerlig)
    <
  2. Ändra på värdet för \(a\) genom att föra glidaren till vänster och höger. För vilket värde på \(a\) är funktionen

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} -x +3 & \textrm{ , då } x\leq 2 \\ x+a & \textrm{ , då } x> 2 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig?

    Då \(a=-1\).

    1. Ersätt \(a\) med det värde du fick ovan och visa sedan att funktionen i uppgiften är kontinuerlig genom att bilda gränsvärdet och funktionsvärdet i skarvpunkten.

      \(\lim_{x \to 2_{-}} f(x) = \lim_{x \to 2_{+}} f(x) = f(2) = 1\)

  3. Ändra på värdet för \(a\) genom att föra glidaren till vänster och höger. För vilket värde på \(a\) är funktionen

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} -x^2 +3 & \textrm{ , då } x < 1 \\ x+a & \textrm{ , då } x\geq 1 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig?

    Då \(a=1\).

    1. Ersätt \(a\) med det värde du fick ovan och visa sedan att funktionen i uppgiften är kontinuerlig genom att bilda gränsvärdet och funktionsvärdet i skarvpunkten.

      \(\lim_{x \to 1_{-}} f(x) = \lim_{x \to 1_{+}} f(x) = f(1) = 2\).

  4. Välj rätt svar för påståendet. Det finns endast 1 st rätt formulering.

    För att en funktion skall vara kontinuerlig i en punkt \(x_0\) gäller att

    1.\(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0_{+}}} f(x)\)
    2.\(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0_{+}}}f(x) = f(x_0)\)
    3.\(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x) = f(x_0)\)
    4.\(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0_{+}}} f(x)= f(x)\)

    Rätt svar är 2, \(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0_{+}}}f(x) = f(x_0)\).

  5. Är funktionen

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x^2-1 & \textrm{, då } x < 2 \\ -x+5 & \textrm{, då } x \geq 2 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig i de reella talen?

    Jo, \(\lim_{x \to 2_{-}} f(x) = \lim_{x \to 2_{+}} f(x) = f(2) = 3\).

  6. Är funktionen

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 2x-1 & \textrm{, då } x < 2 \\ \frac{1}{2}x^2 & \textrm{, då } x \geq 2 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig i de reella talen?

    Nej, \(\lim_{x \to 2_{-}} f(x) = 3 \not= \lim_{x \to 2_{+}} f(x) = f(2) = 2\).

  7. För vilket värde på \(a\) är funktionen

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 2x-1 & \textrm{, då } x < 2 \\ \frac{1}{2}x^2+a & \textrm{, då } x \geq 2 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig?

    Bilda uttrycken \(\lim_{x \to 2_{-}} f(x)\), \(\lim_{x \to 2_{+}} f(x)\) och \(f(2)\) och se till att uttrycken skall ha samma värde.

    \(\lim_{x\to 2_{-}} 2x-1 = 2(2)-1=3\)

    \(\lim_{x\to 2_{+}} \frac{1}{2}x^2+a = \frac{1}{2}\cdot 2^2+a = 2+a\)

    \(f(2)=\frac{1}{2}\cdot 2^2+a = 2+a\)

    Dessa skall ha samma värde, \(3=2+a\), alltså \(a=1\).

  8. För vilket värde på \(a\) gäller att

    \(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x+a & , x\geq -1 \\ -2x^2+1 & ,x < -1 \\ \end{array} \right.\)

    är kontinuerlig?

    \(f\) är kontinerlig då

    \(\lim_{x\to -1_{-}} f(x) =\lim_{x\to -1_{-}} -2x^2+1 = -2(-1)^2+1 = -1\),

    \(\lim_{x\to -1_{+}} f(x) =\lim_{x\to -1_{+}} x+a = -1+a\),

    \(f(-1) = -1+a\).

    Alltså \(-1+a=-1 \Leftrightarrow a=0\).

  9. För vilket värde på \(a\) är funktionen

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x^2+a & \textrm{, då } x < -1 \\ x^3-x & \textrm{, då } x \geq -1 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig?

    \(\lim_{x \to -1_{-}} x^2+a = (-1)^2+a = 1+a\)

    \(\lim_{x \to -1_{+}} x^3-x = (-1)^3-(-1) = 0\).

    \(f(-1)=(-1)^3-(-1) = 0\).

    Dessa skall ha samma värde \(1+a=0\), alltså \(a=-1\).

  10. Visa att \(f\) är kontinuerlig oberoende värdet på \(a\)

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x + a & x \geq 1 \\ ax^2 + 1 & x < 1\\ \end{array} \right.\)

    Vi får

    \(\lim_{x \to 1_{-}}ax^2+1 = a+1\) och

    \(\lim_{x \to 1_{+}}x+a = 1+a\).

    \(f(1)=1+a\). Alltså får vi alltid samma uttryck oberoende av \(a\).

  11. Visa att \(f(x)=\mid x-2 \mid\) är kontinuerlig.

    Nollstället för \(x-2\) är \(x=2\).

    Vi får att

    \(\mid x-2 \mid =\left\{ \begin{array}{ll} x-2 & , x\geq 2 \\ -(x-2) & , x < 2 \\ \end{array} \right.\)

    som vi kan skriva som

    \(f(x) =\left\{ \begin{array}{ll} x-2 & , x\geq 2 \\ -x+2 & , x < 2 \\ \end{array} \right.\).

    Kontinuiteten undersöker vi i \(x=2\) .

    \(\lim_{x \to 2_{-}} f(x)= \lim_{x \to 2_{-}} -x+2 = -2+2 = 0\),

    \(\lim_{x \to 2_{+}} f(x)= \lim_{x \to 2_{+}} x-2 = 2-2 = 0\) och

    \(f(2)= 2-2 =0\).

    Eftersom \(\lim_{x \to 2_{-}} f(x) = \lim_{x \to 2_{+}} f(x) = f(2)\) är \(f\) kontinuerlig.

  12. Visa att \(f(x)=\mid x^2-x \mid\) är kontinuerlig.

    Eftersom vi har ett absolutbelopp måste vi skriva det utan absolutbelopp för att kunna analysera funktionen. \(x^2-x\) har nollställena \(x=0\) och \(x=1\). Vi skriver funktionen som

    \(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2-x & , \text{annars} \\ -(x^2-x) & ,\text{då } 0\leq x \leq 1 \\ \end{array} \right.\).

    Vi måste undersöka kontinuiteten i bägge skarvarna.

    I \(x=0\) får vi

    \(\lim_{x\to 0_{-}} x^2-x = 0\),

    \(\lim_{x\to 0_{+}} -(x^2-x) = 0\) och

    \(f(0) = -(0^2-0) =0\).

    I \(x=1\) får vi

    \(\lim_{x\to 1_{-}} -(x^2-x) = -(1^2-1)=0\),

    \(\lim_{x\to 0_{+}} x^2-x =1^2-1= 0\) och

    \(f(1) = -(1^2-1) =0\).

    Alltså är \(f\) kontinuerlig i bägge skarvpunkterna och kontinuerlig överallt.

  13. Visa att \(f(x)=\mid x^2+a \mid\) är kontinuerlig oberoende av värdet på \(a\).

    Dela upp i fall beroende på \(a\) och undersök kontinuiteten för alla fall.

    Vi börjar med att söka nollställen för absolutbeloppet, \(x^2+a=0 \Leftrightarrow x^2=-a\).

    Då \(a>0\) saknas nollställen för absolutbeloppet och vi får att \(f(x)=\mid x^2+a\mid = x^2+a\).

    Då \(a=0\) har vi att \(f(x)=\mid x^2\mid =x^2\).

    Då \(a < 0\) gäller att

    \(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2+a, & \text{annars}\\ -(x^2+a), & -\sqrt{\mid -a\mid } \leq x \leq \sqrt{\mid -a\mid }\\ \end{array} \right.\).

    Eftersom \(a < 0\) gäller följande:

    \(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2-a, & \text{annars}\\ -x^2+a, & -\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a}\\ \end{array} \right.\).

    Kontinuiteten måste vi undersöka i \(-\sqrt{a}\) och i \(\sqrt{a}\).

    I \(-\sqrt{a}\) gäller följande

    \(\lim_{x \to-\sqrt{a}_{-}} x^2-a = (-\sqrt{a})^2-a=0\),

    \(\lim_{x \to-\sqrt{a}_{+}} x^2-a = -(\sqrt{a})^2+a=0\) och

    \(f(-\sqrt{a})=-(\sqrt{a})^2+a=0\).

    I \(\sqrt{a}\) gäller följande

    \(\lim_{x \to\sqrt{a}_{-}} x^2-a = -(\sqrt{a})^2+a=0\),

    \(\lim_{x \to\sqrt{a}_{+}} x^2-a = (-\sqrt{a})^2-a=0\) och

    \(f(\sqrt{a})=-(\sqrt{a})^2+a=0\).

    \(f\) är alltså kontinuerlig oberende värdet på \(a\).