MaA 6 Derivata

11. Derivatan av en sammansatt funktion

När vi deriverar sammansatta funktioner använder vi oss av att \( D f(g)=f'(g)\cdot g' \). Denna regel kallas för kedjeregeln.

För att bevisa det behöver vi förståelse och kunskap som behandlas på universitet. Vi kan motivera det genom följande uträkningar.

Motivering

Vi använder oss av notationen för funktionen \( y(u(x)) \):s derivata som \( \dfrac{dy}{dx} \). Det är samma som \( \dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx} \), som är det vi siktar på.

Från algebran vet vi att \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \).

Vi har då att

\( \begin{array}{rcl} \dfrac{dy}{dx} & = & \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\ & = & \lim_{\Delta x \to 0}(\dfrac{\Delta y}{\Delta u} \dfrac{\Delta u}{\Delta x}) \\ & = & \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x}.\\ \end{array} \)

Derivering medför kontinuitet, vi kan beteckna \( \Delta u \to 0 \) som \( \Delta x \to 0 \).

Vi får att

\( \begin{array}{rcl} \dfrac{dy}{dx} & = & \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \\ & = & \lim_{\Delta u \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \\ & = & \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\\ \end{array} \)

vilket är det vi ville ha.

Exempel 1 Bestäm \( D(2x-1)^2 \)

Lösning

Yttre funktionen är \( x^2 \) och den inre är \( 2x-1 \). Vi får \( D(2x-1)^2=2(2x-1)^1\cdot2 = 4(2x-1) \).

För en potensfunktion är det ingen skillnad om vi deriverar den som en sammansatt funktion med kedjeregeln eller som en funktion med en exponent. Men träna för övningens skull att derivera följande uttryck som sammansatta funktioner!

Uppgifter

  1. Repetera deriveringsreglerna genom att kombinera rätt.

    Välj mellan

    \( D x^n \)
    \( Dk \)
    \( D(f(x) + g(x)) \)
    och kombinera dem med

    FormelResultat av derivering
    \( nx^{n-1} \)
    \( 0 \)
    \( f'(x) + g'(x) \)

    FormelResultat av derivering
    \( Dx^n \)\( nx^{n-1} \)
    \( Dk \)\( 0 \)
    \( D(f(x) + g(x)) \)\( f'(x) + g'(x) \)

  2. Kombinera rätt derivering med rätt resultat.

    Välj mellan

    \( D(3x^2-x) \)
    \( D 2x^2 \)
    \( D(2x^2-1)^3 \)
    \( D(2x-1)^3 \)
    \( D(3x^2-4) \)
    \( D x^2 \)
    och följande uträkningar:

    Uttryck att deriveraDerivatan
    \( =2x \)
    \( =4x \)
    \( =6x-1 \)
    \( =6x \)
    \( = 6(2x-1)^2\)
    \( = 12x(2x^2-1)^2\)

    Uttryck att deriveraDerivatan
    \(D x^2 \)\( =2x \)
    \(D 2x^2 \)\( =4x \)
    \(D(3x^2-x) \)\( =6x-1 \)
    \(D(3x^2-4) \)\( =6x \)
    \(D(2x-1)^3 \)\( = 6(2x-1)^2\)
    \(D(2x^2-1)^3 \)\( = 12x(2x^2-1)^2\)

  3. Identifiera funktionerna. Vilken funktion är den inre- och vilken är den yttre funktionen?
    1. \( (4x^2-3)^3 \)

      \( x^3 \) är yttre, \( 4x^2-3 \) är inre funktion.

    2. \( (2x-1)^8 \)

      \( x^8 \) är yttre, \( 2x-1 \) är inre funktion.

    3. \( \sqrt{x^2-1} \)

      \( \sqrt{x} \) är yttre, \( x^2-1 \) är inre funktion.

  4. Bestäm följade derivator.
    1. Bestäm \( D(2x-1)^3 \).

      Yttre funktionen är \( f = x^3 \), \( f'=3x^2 \).

      Intre funktionen är \( g = 2x-1 \), \( g'= 2 \).

      Vi får

      \( D(2x-1)^3 = 3(2x-1)^2 \cdot 2 = 6(2x-1)^2 \)

    2. Bestäm \( D(3x+4)^5 \)

      Yttre funktionen är \( f = x^5 \), \( f'=5x^4 \).

      Intre funktionen är \( g = 3x+4 \), \( g'= 3 \).

      Vi får

      \( D(3x+4)^5 = 5(3x+4)^4 \cdot 3 = 15(3x+4)^4 \)

    3. Bestäm \( D(-2x-4)^8 \)

      Yttre funktionen är \( f = x^8 \), \( f'=8x^7 \).

      Intre funktionen är \( g = -2x-4 \), \( g'= -2 \).

      Vi får

      \( D(3x+4)^5 = 8(-2x-4)^7 \cdot (-2) = -16(-2x-4)^7 \)

  5. Bestäm följade derivator.
    1. Bestäm \( D(x^2-2)^7 \).

      \( D(x^2-2)^7 = 7(x^2-2)^6 \cdot 2x = 14x(x^2-2)^6 \)

    2. Bestäm \( D(x^3-2x)^4 \).

      \( D(x^3-2x)^4 = 4(x^3-2x)^3 \cdot (3x^2-2) = 4(3x^2-2)(x^3-2x)^3 \)

    3. Bestäm \( D(2x^2+8x)^3 \).

      \( D(2x^2+8x)^3 = 3(2x^2+8x)^2 \cdot (4x+8) = 3(4x+8)(2x^2+8x)^2 \)

  6. Låt \( f(x)=(3x^2-1)^4 \). Bestäm de punkter där \( f'(x)=0 \).

    Eftersom \( f(x)=(3x^2-1)^4 \) så är \( f'(x)=4(3x^2-1)^3\cdot 6x = 24x(3x^2-1)^3 \).

    \( f'(x)=0 \) då \( 24x(3x^2-1)^3 =0 \). Alltså då \( 24x=0 \) eller då \( (3x^2-1)^3 =0 \)

    \( 24x=0 \Leftrightarrow x=0 \) och

    \( (3x^2-1)^3=0 \) då \( 3x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \).

    Punkternas \( x \)-koordinater är

    \( f(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}) = 0 \),

    \( f(0) =1 \) och

    \( f(\dfrac{1}{\sqrt{3}})=0 \).

    Punkterna är \( (-\dfrac{1}{\sqrt{3}},0) \), \( (0,1) \) och \( (\dfrac{1}{\sqrt{3}},0) \).

  7. Låt \( f(x)=(-2x^2+x)^8 \). Bestäm de \( x \)-koordinater där \( f \) byter riktning.

    Eftersom \( f(x)=(-2x^2+x)^8 \) så är \( f'(x)=8(-2x^2+x)^7\cdot (-4x+1) \).

    \( f'(x)=0 \) då \( (-2x+1)^7=0 \) eller då \( -4x+1 =0 \)

    \( -4x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4} \) och

    \( (-2x^2+x)^7=0 \) då \( -2x^2+x=0 \Leftrightarrow x(-2x+1)=0 \) Vi får att \( x = 0 \) och \( x=\dfrac{1}{2} \).

    \( x \)-koordinaterna är \( 0 \), \( \dfrac{1}{4} \) och \( \dfrac{1}{2} \).

  8. Låt \( f(x)=(3x^3-x)^3 \). Bestäm de \( x \)-koordinater där \( f \) byter riktning.

    Eftersom \( f(x)=(3x^3-x)^3 \) så är \( f'(x)=3(3x^3-x)^2\cdot (9x^2-1). \( f'(x)=0 \) då \( (3x^3-x)^2=0 \) eller då \( 9x^2-1 =0 \)

    Vi får att

    \( (3x^3-x)^2=0 \) då \( 3x^3-x=0 \Leftrightarrow x(3x^2-1)=0 \). Alltså då \( x = 0 \) eller då \( x = \pm\sqrt{\dfrac{1}{3}} = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \).

    \( 9x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \pm \dfrac{1}{3} \).

    \( x \)-koordinaterna är \( 0 \), \( \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} \) och \( \pm \dfrac{1}{3} \).

  9. \( \sqrt{a} \) kan vi skriva och behandla som \( a^{\frac{1}{2}} \). Bestäm
    1. \( D\sqrt{x^2-1} \)

      \( D\sqrt{x^2-1} = (x^2-1)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}(x^2-1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot 2x = x(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} =\dfrac{x}{(x^2-1)^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} \).

    2. \( D\sqrt{3x^3-x} \)

      \( D\sqrt{3x^3-x} = D(3x^3-x)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}(3x^3-x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (9x^2-1) = \dfrac{1}{2}\cdot(9x^2-1)(3x^3-x)^{-\frac{1}{2}} \\ = \dfrac{9x^2-1}{2(3x^3-x)^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{9x^2-1}{2\sqrt{3x^3-x}} \).

    3. \( D\sqrt[3]{x^2-x} \)

      \( D\sqrt[3]{x^2-x} = D(x^2-x)^{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{3} (x^2-x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x-1) = \dfrac{1}{3}(x^2-x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x-1) = \\ \dfrac{2x-1}{3(x^2-x)^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{2x-1}{3{\sqrt[3]{(x^2-x)^2}}} \)

  10. Låt \( f(x) = \sqrt{4-x^2} \).
    1. Bestäm definitionsmängden för \( f\).

      \( f \) är definierad då \( 4-x^2 \geq 0 \). Alltså då \( -2 \leq x \leq 2 \).

    2. Bestäm de punkter där funktionen byter riktning.

      Eftersom \( f(x)=(4-x^2)^{\frac{1}{2}} \) är \( f'(x)=\dfrac{1}{2}(4-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x) = -\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}} \).

      Derivatans nollställe, \( f'(x)=0 \) får vi då täljaren får värdet 0. Alltså gäller att \( x = 0 \).

    3. Bestäm ekvationen för tangenten då \( x = -1 \).

      Då \( x = -1 \) är \( f(-1) = \sqrt{3} \)

      Riktningskoefficienten för linjen i \( x = -1 \) är \( f'(-1) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \).

      Linjens ekvation är \( y - y_0 = k(x-x_0) \).

      Alltså \( y - \sqrt{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(x-(-1)) \). Linjens ekvation är \( y = \dfrac{1}{\sqrt{3}}x + \dfrac{4}{\sqrt{3}} \).