MaA 6 Derivata

23. Derivatan av trigonometriska funktioner

I det föregående kapitlet märkte vi att det finns ett samband mellan sinus och cosiuns, det finns en symmetri mellan hur de ser ut och beter sig. Dessutom vet vi hur vi deriverar sammansatta funktioner. Nu är det bara att tillämpa den kunskapen.

På grund av symmetrin mellan sinus och cosinus är deras derivator följande

\( D\sin x = \cos x \)
\( D\cos x = -\sin x \)

Exakta härledningar för sinus och cosinus hittar du i "Härledningen för derivatan av sinus och cosinus".

Exempel 1 Bestäm derivatan av \( 2\sin x \).

Lösning

Vi har \( D2\sin x = 2D\sin x = 2\cos x \).

Exempel 2 Derivera \( \cos^2x \).

Lösning

Vi har en sammansatt funktion. Yttre funktionen är \( x^2 \) och den inre är \( \cos x \). Sammansatta funktioner deriverar vi som \( Df(g)=f'(g)g' \).

Vi får \( 2\cos x \cdot (-\sin x)=-2\cos x \sin x = -\sin 2x \).

Exempel 3 Bestäm derivatan av \( 2\sin x \cos x \).

Lösning

Vi har en produkt av två funktioner, dessa deriverar vi som \( Dfg = f'g + g'f \).

\( D2\sin x \cos x = 2(\cos x (-\sin x) -\sin x \cdot \cos x = -2\sin x \cos x -\sin x \cos x = -3 \sin x \cos x \).

Alternativ märker vi att \( 2\sin x \cos x = \sin 2x \). Då har vi en sammansatt funktion och derivatan blir \( D\sin 2x = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x \).

Tangens funktionen hör inte mera till läroplanen. Men om man vill kunna sin trigonometri så är det bra att jobba med den. Du får lära dig att derivera tangensfunktionerna, men måste inte kunna det.

Exempel 4 Bestäm \( D\tan x \).

Lösning

\( D\tan x = D\dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\cos x D\sin x - \sin x D\cos x}{\cos^2 x} =\dfrac{\cos x \cdot \cos x -\sin x (-\sin x )}{\cos^x} = \dfrac{\cos^2x +\sin^2 x}{\cos^2x} \).

Härifrån kan vi fortsätta på två sätt.

\( \dfrac{\cos^2x +\sin^2 x}{\cos^2x} = \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2x} = 1+\tan^2 x \).

Eller som

\( \dfrac{\cos^2x +\sin^2 x}{\cos^2x} = \dfrac{1}{\cos^2x} \).

Derivatan för tangens kan vi skriva på två olika sätt

\( D\tan x = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x \)

Exempel 5 Bestäm derivatan av \( \tan 4x+\pi \).

Lösning

Vi har en sammansatt funktion, \( \tan 4x \) och konstanten \( \pi \).

\( D(\tan 4x+\pi) = 4(1+\tan^2 (4x)) = 4 +4\tan^2 4x \).

Eller som \( D(\tan 4x +\pi)= 4\cdot \dfrac{1}{\cos^2 4x} = \dfrac{4}{\cos^2 4x} \).

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \( D4\sin x \)

      \( D4\sin x = 4\cos x \)

    2. \( D\sin 4x \)

      \( D\sin 4x = 4\cos 4x \)

    3. \( D4\sin (4x^2) \)

      \( D4\sin (4x^2) = 4 \cdot \cos(4x^2) \cdot 8x = 32x\cos (4x^2) \)

  2. Bestäm
    1. \( D(\cos 3x) \)

      \( D(\cos 3x) = 3(-\sin 3x)=-3\sin 3x \)

    2. \( D(\cos 3x^2) \)

      \( D(\cos 3x^2) = -\sin 3x^2 \cdot 6x=-6x\sin 3x^2 \)

    3. \( D(\cos (4x-\pi)) \)

      \( D(\cos (4x-\pi)) = -\sin (4x-\pi) \cdot 4=-4\sin (4x-\pi) \)

  3. Bestäm
    1. \( D\tan (3x^2) \)

      \( D\tan (3x^2) = \dfrac{1}{\cos^2 3x^2} \cdot 6x = \dfrac{6x}{\cos^2 3x^2} \) eller som \( D\tan (3x^2) = (1 + \tan^2 3x^2)\cdot 6x = 6x + 6x\tan^2 3x^2 \).

    2. \( D2\tan 3x \)

      \( D2\tan 3x = \dfrac{2}{\cos^2 3x} \cdot 3 = \dfrac{6}{\cos^2 3x} \) eller som \( D2\tan (3x) = 2D\tan (3x) = 2(1 + \tan^2 3x)\cdot 3 = 6 + 6\tan^2 3x \).

    3. \( D\tan (x^2-x) \)

      \( D\tan (x^2-x) = \dfrac{1}{\cos^2 (x^2-x)} \cdot (2x-1) = \dfrac{2x-1}{\cos^2 (x^2-x)} \) eller som \( D\tan (x^2-x) = (1 + \tan^2 (x^2-x))\cdot (2x-1) \).

  4. Derivera
    1. \( 2 \sin x -3\cos x \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} D(2 \sin x -3\cos x) & = & 2\cos x -3(-\sin x) \\ & = & 2\cos x +3\sin x \\ \end{array} \)

    2. \( \sin^2 x +\cos^3 x \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} D(\sin^2 x +\cos^3 x) & = & 2\sin x \cdot \cos x +3\cos^2 x \cdot (-\sin x) \\ & = & 2\sin x \cos x -3\cos^2 x \sin x & \mid 2\sin x \cos x = \sin 2x \text{ och } \\ & & & \mid \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \\ & = & \sin 2x -3(1-\sin^2 x) \sin x \\ & = & \sin 2x +3\sin^3x -3 \\ \end{array} \)

      Rad 2 är ett bra svar. Men om du skall söka nollställen så kan det vara lättare från rad 4. (;

    3. \( 3x^2+\sin (2x+1) + \cos(x^2-\pi) \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} D(3x^2+\sin (2x+1) + \cos(x^2-\pi)) & = & 6x +\cos(2x+1)\cdot 2 -\sin(x^2-\pi)\cdot 2x \\ & = & 6x +2\cos(2x+1) -2x\sin(x^2-\pi) \\ \end{array} \)

  5. Derivera
    1. \( \sin2x \cos x \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} D(\sin2x \cos x) & = & D\sin 2x \cos x + \sin 2x D\cos x \\ & = & 2\cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x \\ \end{array} \)

    2. \( 2x + \dfrac{1}{3}\cos^3x \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} D(2x + \dfrac{1}{3}\cos^3 x) & = & x +\dfrac{1}{3}\cdot 3 \cos^2 x (-\sin x) \\ & = & x - \cos^2 x \sin x \\ \end{array} \)

    3. \( \dfrac{\cos x}{\sin x} \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} \dfrac{\cos x}{\sin x} & = & \dfrac{-\sin x \sin x-\cos x \cdot \cos x }{\sin^2 x} \\ & = & \dfrac{-\sin^2 x -\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = & \dfrac{-(\sin^2 x +\cos^2 x)}{\sin^2 x} \\ & = & \dfrac{-1}{\sin^2 x} \\ \end{array} \)

      Eller så kan du jobba med att \( \dfrac{\cos x}{\sin x} = (\dfrac{\sin x}{\cos x})^{-1} = \tan^{-1} x \).

  6. Derivera \( \dfrac{1}{\sin x} \) som en allmän potens och som en kvot.

    Vi kan derivera den som en allmän potens eller som en kvot.

    Som en allmän potens, \( D\dfrac{1}{\sin x}=D(\sin x)^{-1} = -(\sin x)^{-2}\cdot \cos x = -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x} \).

    Eller som en kvot, \( D\dfrac{1}{\sin x} = \dfrac{0\cdot \sin x - 1\cdot \cos x}{\sin^2 x} = -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x} \).

  7. Derivera \( \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

    Vi kan derivera den som en allmän potens eller som en kvot.

    \( \begin{array}{rcl} D\dfrac{1}{\cos^2 x} & = & D(\cos^2 x)^{-1} \\ & = & -1(\cos^2 x)^{-2}\cdot D(\cos^2 x) \\ & = & -\dfrac{1}{\cos^4 x} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) \\ & = & \dfrac{2\cos x \cdot \sin x}{\cos^4 x} \\ & = & \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x} \\ \end{array} \)

    eller som

    \( \begin{array}{rcl} D\dfrac{1}{\cos^2 x} & = & D(\cos x)^{-2} \\ & = & -2(\cos x)^{-3}\cdot (-\sin x ) \\ & = & \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x} \\ \end{array} \)

  8. Låt \( f(x) = -1+3\tan 2x \). Bestäm största och minsta värde för funktionen.

    För tangens gäller att värdemängden är alla reella tal. Då är det ingen skillnad om vi multiplicerar med 3 eller subraherar med 1.

    Största värdet är (plus) oändligheten, \( \infty \), minsta värdet är minus oändligheten, \( -\infty \).

  9. Bestäm ekvationen till tangenten för funktionen \( f(x) = 3\tan 2x -2\sin \dfrac{x}{2} \) i den punkt där \( x = 0 \).

    \(y\)-koordinaten är \( f(0) = 0\).

    Riktningskoefficienten är derivatans värde i \( x=0 \), \( f'(0) = 5 \).

    Linjens ekvation är av typ \( y-y_0 = k(x-x_0) \).

    Vi får \( y - 0 = 5(x-0) \), alltså \( y = 5x \).

  10. Bestäm de punkter där \( f(x)=e^{\sin(x)} \) byter riktning.

    \( f(x)=e^{\sin (x)} \), \( f'(x)=e^{\sin (x)} \cdot (\cos (x)) \).

    \( f'(x)=0 \) då \( \cos x \cdot e^{\sin x}=0 \). En exponentialfunktion får aldrig värdet noll. Alltså \( \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \).

    I dessa punkter byter \( f \) riktning.

  11. Bestäm riktningskoefficeinten för tangenten för funktionen \( f(x)=\sqrt{2}\sin x + 5\sqrt{2}\cos x \) i punkten \( \dfrac{\pi}{4} \).

    \( f'(x)=\sqrt{2}\cos x + 5 \sqrt{2}(-\sin x)=\sqrt{2}\cos x -5\sqrt{2}\sin x \).

    \( f'(\dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos \dfrac{\pi}{4} -5\sqrt{2}\sin \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}-5\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}= 1-5=-4 \).

  12. Bestäm tangenten för funktionen \( \sin (2x) \) i origo.

    \( f(x)=\sin (2x) \) och \( f'(x)= 2\cos(2x) \).

    \( f'(0)=2\cos (2\cdot 0) = 2 \cdot 1 = 2 \).

    Tangenten går genom punkten (0,0) och har riktningskoefficienten 2. Linjens ekvation ser ut som \( y-y_0=k(x-x_0) \). Tangentens ekvation blir \( y-0=2(x-0) \Leftrightarrow y=2x \).

  13. Bestäm de punkter där funktionen \( f(x)= 2\cos (\dfrac{x}{\pi}) \) byter riktning.

    \( f(x)=2\cos (\dfrac{x}{\pi}) \) och \( f'(x)= -\dfrac{2}{\pi}\sin(\dfrac{x}{\pi}) \).

    \( f'(x) = 0 \) då \( -\dfrac{2}{\pi}\sin(\dfrac{x}{\pi}) = 0  \).

    Vi söker då \( \sin \dfrac{x}{\pi} = 0 \). Antingen tabellbok eller enhetscirkeln ger oss \( \dfrac{x}{\pi} = n \cdot \pi \), då \( x = n \pi^2 \).

  14. Bestäm ekvationen för normalen till funktionen \( f(x)=\cos 2x \) i den punkt där \( x = \dfrac{\pi}{4} \).

    Derivatafunktinen är \( f'(x) = -2\sin(2x) \).

    Riktningskoefficienten är \( f'(\dfrac{\pi}{4}) = -2 \).

    Normalen är vinkelrät mot tangenten (produkten -1), alltså är normalens riktningskoefficient \( k_{n} = \dfrac{1}{2} \).

    Normalen genom \( y \)-koordinaten \( f(\dfrac{\pi}{4}) = 0 \).

    Normalens ekvation, \( y -y_0 = k(x-x_0) \). Alltså \( y = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{\pi}{8} \).

  15. Rita upp funktionen, på GeoGebra eller motsvarande, och visa att funktionen \( f(x)= \tan x^2 \) endast byter riktning i \( x = 0 \).

    Vi deriverar, \( f'(x)= \dfrac{2x}{\cos^2 2x} \) eller \( 2x(1+\tan^2 x^2) \).

    Vi söker \( f'(x)=0, \dfrac{2x}{\cos^2 2x}=0 \) då täljaren får värdet noll. \( 2x =0 \Leftrightarrow x =0 \).

    Alltså byter funktionen \( f \) endast riktning i \( x=0 \).