22. Derivatan av logaritmfunktioner

Vi tar och härleder en deriveringsformel för logaritmfunktionen med basen \( e \), \( \ln x \), då \( x\in ]0, \infty[ \).

Härledning

Då \( x > 0 \) gäller att \( e^{\ln x} =x \). Funktionerna \( e^{\ln x} \) och \( x \) har samma derivatafunktioner, eftersom det är fråga om samma funktion. Vi deriverar bägge.

\( \begin{array}{rcll} e^{\ln x} & = & x & \text{Derivatan av bägge led.}\\ De^{\ln x} & = & Dx & De^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f'(x)\\ e^{\ln x}D\ln x & = & 1 & e^{\ln x}= x\\ x D\ln x & = & 1 \\ D \ln x & = & \dfrac{1}{x}\\ \end{array} \)

Derivatan av funktionen \( \ln x \) är \( \dfrac{1}{x} \) där \( x > 0 \).

Exempel 1 Derivera \( 4\ln x \). Har derivatafunktionen nollställen?

Lösning

Funktionen är definierad då \( x > 0 \).

Derivatan är \( D4\ln x = 4\cdot\dfrac{1}{x} =\dfrac{4}{x} \).

Vi söker nollställen för derivatafunktionen, \( f'(x)=\dfrac{4}{x} \). \( \dfrac{4}{x} \) kan aldrig få värdet noll eftersom täljaren alltid har värdet 4. Derivatan saknar nollställen som betyder att funktionen aldrig byter riktning.

Egenskaper för funktionen \( \ln x \)

Funktionen \( \ln x \) är strängt växande i sin definitionsmängd \( ]0,\infty[ \).
Funktionens värdemängd är alla reella tal.

Exempel 2 Bestäm tangenten för funktionen \( f(x)=\ln x \) i punkten \( x=2 \).

Lösning

Tangenten går genom punkten \( x=2 \) och \( y=\ln 2 \). Riktningskoefficienten får vi genom derivatans värde i punkten 2.

\( f'(x)= \dfrac{1}{x} \) och \( f'(2)=\dfrac{1}{2} \).

En linjes ekvation ser ut som \( y-y_0=k(x-x_0) \), vi får \( y-\ln2 =\dfrac{1}{2}(x-2) \Leftrightarrow y=\dfrac{x}{2}-1+\ln2 \).

Vi tar och härleder en deriveringsformel för funktioner som är av typen \( \ln f(x) \) där \( f(x) > 0 \).

Vi har en sammansatt funktion där den yttre funktionen är \( \ln x \) och den inre är \( f(x) \). För sammansatta funktioner gäller \( Df(g) = f'(g)g' \).

Vi får att \( D\ln(f(x))=\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)} \).

Alltså då \( f(x) > 0 \) och deriverbar gäller att \( D\ln f(x)=\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)} \).

Exempel 3 Bestäm definitionsmängd och derivera funktionen \( \ln(e^x-2) \).

Lösning

Funktionen är definierad då \( e^x-2 > 0 \Leftrightarrow e^x > 2 \) som betyder att \( x > \ln 2 \).

\( D\ln(e^x-2) = \dfrac{e^x}{e^x-2} \).

Uppgifter

Derivera
1. \( 3\ln (x) \) då \( x > 0 \)
  
  \( D3\ln x =\dfrac{3}{x} \)
2. \( 3\ln (x) -1 \) då \( x > 0 \).
  
  \( D(3\ln x-1) =\dfrac{3}{x} \)
3. \( 3\ln (x-1) \) då \( x > 1 \).
  
  Vi har en sammansatt funktion. \( D3\ln(x-1)=3\cdot \dfrac{1}{x-1}\cdot 1 = \dfrac{3}{x-1} \).
4. \( \ln(1-x^2) \) då \( -1 < x < 1 \).
  
  \( D\ln(1-x^2)=\dfrac{1}{1-x^2}\cdot(-2x) = \dfrac{-2x}{1-x^2} \).
Bestäm definitionsmängderna för
1. \( \ln(e^x-1) \).
  
  Funktionen är definierad då \( e^x-1 > 0 \Leftrightarrow e^x > 1 \Leftrightarrow x > \ln 1 = 0 \).
2. \( \ln(2x^2-1) \).
  
  Funktionen är definierad då \( 2x^2-1 > 0 \Leftrightarrow 2x^2 > 1 \Leftrightarrow x^2 > \dfrac{1}{2} \) som betyder att \( x < -\sqrt{\dfrac{1}{2}} \) och \( x > \sqrt{\dfrac{1}{2}} \) som vi skriver som \( x < -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) och \( x > \dfrac{1}{\sqrt{2}} \).
3. \( \dfrac{1}{\ln x} \).
  
  \( \ln x \) är definierad då \( x > 0 \).
  
  Divisionen är definierad då nämnaren inte får värdet 0. \( ln x = 0 \) då \( x = 1 \). Alltså är definitionsmängden \( x > 0 \) så att \( x \not= 1 \).
Bestäm nollställena för fuktionernas derivatafunktioner.
1. \( f(x) = x^2 \ln x \).
  
  Derivatafunktionen är \( f'(x) = 2x \ln (x) + x \)
  
  Derivatafunktionens nollställe är \( x = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \). Märk att eftersom \( x > 0 \) så har vi endast en rot.
  
  Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
2. \( g(x) = \dfrac{\ln x}{x^2} \).
  
  Derivatafunktionen är \( g'(x) = \dfrac{-2 \ln ( x ) + 1}{x^{3}} \)
  
  Derivatafunktionens nollställe är \( x = \sqrt{e} \).
  
  Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
3. \( h(x) = x + x \ln x \).
  
  Derivatafunktionen är \( h'(x) = \ln (x) + 2 \)
  
  Derivatafunktionens nollställe är \( x = \dfrac{1}{e^2} \).
  
  Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
Bestäm minsta värde för \( \ln(e^x-x) \) då \( x\in\mathbf{R} \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=\dfrac{1}{e^x-x} \cdot (e^x-1) = \dfrac{e^x-1}{e^x-x} \).

Funktionen byter riktning i de punkter där \( f'(x)=0 \), \( \dfrac{e^x-1}{e^x-x}=0 \Leftrightarrow e^x-1 =0 \) eftersom en kvot kan endast få värdet 0 då täljaren har värdet 0. Vi får att \( e^x=1 \Leftrightarrow x=\ln 1 =0 \).

Vi gör ett teckenschema,

\( f(-1)=\dfrac{e^{(-1)}-1}{e^{(-1)}-(-1)} < 0 \).

\( f(1)=\dfrac{e^1-1}{e^1-1} = 1 > 0 \).

\( \begin{array}{r|ccc} & & 0 & \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & & \nearrow \\ \end{array} \)

Vi har ett minsta värde i \( x=0 \), funktionens minsta värde är \( f(0)=\ln(e^0+0) = \ln (1+0) =0 \).

Funktionens minsta värde är 0.
Bestäm minsta värde för \( \ln(e^2+x) \).

Funktionen är definierad då \( e^2+x > 0 \Leftrightarrow x > -e^2 \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=\dfrac{1}{e^2+x}\cdot (1) = \dfrac{1}{e^2+x} \).

Nollställen för derivatan är: \( f'(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{e^2+x}=0 \). Eftersom en kvot endast kan få värdet 0 då täljaren har värdet noll saknar derivatafunktionen nollställen.

Vi tar en punkt i definitionsmängden och testar hur funktionen beter sig. \( f'(1)=\dfrac{1}{e^2+1} > 0 \). Funktionen \( f \) är då växande.

Eftersom derivatafunktionen saknar nollställen och funktionen är växande saknar funktionen ett entydigt minsta värde. Vi talar om att funktionens minsta värde är minus oändligheten, \( -\infty \).
Bestäm största värde för funktionen \( f(x) = \ln x + \ln(3 - x) \).

\( \ln x \) är definierad då \( x > 0 \). \( \ln (3-x) \) är definierad då \( 3-x > 0 \), alltså \( x < 3 \). När vi kombinerar dessa får vi definitionsmängden för \( f \), \( 0 < x < 3 \).

Derivatafunktionen är \( f'(x) = \dfrac{2x - 3}{x^{2} - 3 x} \). Se till att du bestämmer den!

Derivatans nollställe är \( f'(x) = 0 \) då \( x = \dfrac{3}{2} \).

Tecknet för derivatafunktionen är

\( f'(1) = \dfrac{1}{2} > 0 \). \( f \) växande.

\( f'(2) = -\dfrac{1}{2} < 0 \). \( f \) avtagande.

Alltså har vi ett största värde i \( x = \dfrac{3}{2} \).

Största värdet är \( f(\dfrac{3}{2}) = 2\ln(\dfrac{3}{2}) \).
Bestäm tangenten för funktionen \( f(x)=\ln (x+1) \) i punkten \( x=0 \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=\dfrac{1}{x+1} \). Tangentens riktningskoefficient har värdet \( f'(0)=\dfrac{1}{0+1}=1 \). Tangenten går genom punkten \( x=0 \) och \( y=\ln (0+1) = 0 \).

Tangentens ekvation är, \( y-y_0 =k(x-x_0) \) alltså \( y-0=1(x-0) \Leftrightarrow y=x \).
Bestäm tangenten för funktionen \( f(x)=\ln x^2 \) i punkten \( x=1 \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=\dfrac{2}{x} \). Tangentens riktningskoefficient har värdet \( f'(1)=\dfrac{2}{1}=2 \). Tangenten går genom punkten \( x=1 \) och \( y=\ln 1^2 = 0 \).

Tangentens ekvation är, \( y-y_0 =k(x-x_0) \) alltså \( y-0=2(x-1) \Leftrightarrow y=2x-2 \).
Hur många rötter har ekvationen \( \ln (x-1) = 3\ln x -3 \)?

Tanken är att vi inför en funktion, undersöker hur den växer och avtar och hur många gånger den skär x-axeln.

Vi inför en funktion \( f(x) = \ln (x-1) - 3\ln x +3 \).

Definitionsmängden är \( x > 1 \). Se till att du bestämmer den!

Derivatafunktionen är \( f'(x) = \dfrac{-2 x + 3}{x^{2} - x} \). Se till att du bestämmer denna!

Derivatans nollställe är \(f'(x) = 0 \) då \( x = \dfrac{3}{2} \). Se till att du bestämmer denna!

Tecknet för derivatafunktionen

\( f'(1.1) = \dfrac{80}{11} \). \( f \) är växande. (1,1 för att funktionen inte är definierad i \( x = 1 \).)

\( f'(2) = -\dfrac{1}{2} \). \( f \) är avtagande.

Största värdet är \( f(\dfrac{3}{2}) = -\ln 2 - 3 \ln ( \dfrac{3}{2}) + 3 \approx 1,09\ldots \) . OBS! Positivt värde.

Detta betyder att funktionen växer fram till \( x = \dfrac{3}{2} \). Sedan avtar den. För att ännu veta om funktionen skär \( x \)-axlen. sätter vi in värden i funktionen och undersöker om värdena är negativa.

\( f(1,01) = -1,64 \).

\( f(5) = -0,44 \).

Då vet vi att funktien skär \( x \)-axeln 2 gånger. Alltså har ekvationen 2 rötter.

Vill vi närmare intervallet för rötterna så får söka närmare intervall.
Hur många rötter har ekvationen \( 5x +\ln (x-2) = 0 \)?

Tanken är att vi inför en funktion, undersöker hur den växer och avtar och hur många gånger den skär x-axeln.

Vi inför en funktion \( f(x) = 5x + \ln (x-2) \).

Definitionsmängden är \( x > 2 \). Se till att du bestämmer den!

Derivatafunktionen är \( f'(x) = 5 + \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{5x -9}{x - 2} \). Se till att du bestämmer denna!

Derivatans nollställe är \(f'(x) = 0 \) då \( x = \dfrac{9}{5} \). Se till att du bestämmer denna! Men eftersom definitionsmängden är \( x > 2 \) är \( f \) strängt monotom.

Tecknet för derivatafunktionen

\( f'(3) = 6 \). \( f \) är växande.

\( f(2,00001) = -1,5128\ldots \).

\( f(3) = 15 \).

Då vet vi att funktionen är strängt monotom och skär \( x\)-axlen en gång mellan \( ]2,3[ \).

Alltså har ekvationen 1 rot, roten är i intervallet \( ]2,3[ \).

Vill vi närmare intervallet för rötterna så får söka närmare intervall.
Visa att funktionerna \( f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 \) och \( g(x) = \ln x \) skär varandra vinkelrätt.

\( g(x) \) är definierad då \( x > 0 \).

Den gemensamma \( x \)-koordinaten är \( x=0,75308 \). Lös denna, men inse att du klarar endast av att lösa den numeriskt.

Derivatafunktionerna är \( f'(x) = -x \) och \( g'(x) = \dfrac{1}{x} \).

Då två linjer är vinkelräta gäller att \( k_1 \cdot k_2 = -1 \).

Då vi bildar riktningskoefficienten för tangenterna får vi att produkten har värdet -1.

Alternativ märker vi följande. För derivatafunktionerna gäller att \( f'(x) \cdot g'(x) = -x \cdot \dfrac{1}{x} = -1 \). Det betyder att alla tanger som vi bildar för funktionerna \( f \) och \( g \) är ortogonala, vinkelräta.
Bestäm definitionsmängden för funktionen \( f(x)= \ln \dfrac{4-x^2}{4+x^2} \). Derivera \( f \).

Logaritmen är definierad då \( \dfrac{4-x^2}{4+x^2} \). Eftersom nämnaren alltid är positiv gäller att \( 4-x^2 > 0 \), alltså då \( -2 < x < 2 \).

\( f(x)= \ln \dfrac{4-x^2}{4+x^2} = \ln(4-x^2) - \ln (4+x^2) \).

\( f'(x) = \dfrac{-2x}{4-x^2} - \dfrac{2x}{4+x^2} \)
Bilda deriveringsformeln för funktionerna av typ \( \log_a x \) då \( a > 0 \) och \( a\not=1 \).
Följ det så som vi deriverade \( \ln x \) genom att uttrycka \( \log_a \) som en exponent.

Vi kan skriva \( x=a^{\log_a x} \). Derivatan av \( x \) är 1.

Då vi deriverar

\( \begin{array}{rl} D \log_a x = & Da^{\log_a x} \\ = & a^{\log_a x} \ln a D\log_a x \\ = & x\cdot \ln a D\log_a x =1 \\ \end{array} \)

Vi får att \( D\log_a x = \dfrac{1}{x\ln a} \).