19. Talet e
Vi studerar derivatan för funktionerna \( 2^x \) och \( 3^x \).
Vi har tidigare arbetat med definitionen för derivatan, \( \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \). Vi använder oss av differentialkvoten för att bestämma derivatan för \( 2^x \) och \( 3^x \). Eftersom vi inte, ännu, kan räkna gränsvärden med exponentialfunktioner låter vi \( h=0,001 \).
Vi får följande värden:
| \( x \) | \( f(x)=2^x \) | \( f'(x) \) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0,693 |
| 1 | 2 | 1,387 |
| 2 | 4 | 2,773 |
| 3 | 8 | 5,547 |
och
| \( x \) | \( g(x)=3^x \) | \( f'(x) \) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1,099 |
| 1 | 3 | 3,298 |
| 2 | 9 | 9,893 |
| 3 | 27 | 29,679 |
Med lite trixande med siffror märker vi att då \( f(x)=a^x \) så är \( f'(x)=f'(0)f(x) \).
Då \( x=0 \) märker vi att derivatans värde för \( 2^x = 0,693 < 1 \) och \( 3^x=1,099 > 1 \).
Vi söker den bas som vars tangent får värdet \( 1 \) i \( x=0 \).
| Bas | \( f'(0) \) |
| 1 | 0,963 |
| 2 | 1,099 |
| 2,5 | 0,917 |
| 2,71 | 0,998 |
| 2,71 | 1,001 |
Det tal som vi söker är \( 2,718281828459045 \ldots \). Detta tal kalas för Napiers konstant eller Eulers tal, efter John Napier och Leonhard Euler. Vi klarar oss bra med att veta att värdet är ca 2,72.
Exponentialfunktionen \( e^x \)
\( De^x=e^x \). Vidare gäller att funktionen är strängt växande och att \( f: \mathbb{R} \to ]0,\infty[ \).
Exempel 1 Bestäm \( D3e^x \).
Lösning
\( D3e^x = 3De^x=3e^x \).
Exempel 2 Lös ekvationen \( 4e^x-1=0 \).
Lösning
\( \begin{array}{rcll} 4e^x-1 & = & 0 \\ 4e^x & = & 1 \\ e^x & = & \dfrac{1}{4} & \text{Vi manipulear med }\log_e \text{ som vi betecknar} \ln\\ \ln e^x & = & \ln \dfrac{1}{4} \\ x & = & \ln 1 -\ln 4 \\ & = & 0-\ln4\\ & = & -\ln 4 \end{array} \)
Logaritmen med basen \( e \) betecknar vi som \( \ln \).
Exempel 3 Bestäm största och minsta värde för funktionen \( f(x)=e^x-2x \) i intervallet \( [-1,2] \).
Lösning
Vi börjar med att derivera, \( f'(x)=e^x-2 \).
Sedan söker vi derivatans nollställen, \( f'(x)=0 \).
\( \begin{array}{rcl} e^x-2 & = & 0 \\ e^x & = & 2 \\ \ln e^x & = & \ln 2\\ x & = & \ln 2\\ \end{array} \)
Eftersom vi har en funktion som är definierad i ett intervall finner vi största och minsta värde i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter.
\( f(-1)=e^{-1}-2(-1) = \dfrac{1}{e} +2 \approx 2,37 \)
\( f(\ln 2)=e^{\ln 2}-2(\ln 2) \approx 0,61 \)
\( f(2)=e^{2}-2(2) = e^2-4 \approx 3,39 \)
Minsta värdet är \( e^{\ln 2}-2\ln2 \) och största värdet är \( e^2-4 \).
Uppgifter
- Derivera följande funktioner.
- \( 5e^x \)
\( D5e^x = 5De^x=5e^x \)
- \( 5e^{5x} \)
\( D5e^{5x} = 5De^{5x}=5e^{5x}(5) = 25e^{5x} \)
- \( 5e^{x^5} \)
\( D5e^{x^5} = 5De^{x^5}(5x^4)=25x^4e^{x^5} \)
- \( 5e^x \)
- Derivera funktionerna.
- \( 7x-2e^x \)
\( D(7x-2e^x) = 7-2e^x \)
- \( -3x-e^{3x} \)
\( D(-3x-e^{3x}) = -3-3e^{3x} \)
- \( 4x-4e^{x^2} \)
\( D(4x-4e^{x^2}) = 4-8xe^{x^2} \)
- \( 7x-2e^x \)
- Lös följande ekvationer.
- \( e^x = 4 \)
Vi manipulerar med \( \ln \) eller använder oss av definitionen.
\( x = \ln 4 \).
- \( e^x + 4 = 0 \)
Först får vi \( e^x = -4 \).
En logaritm kan inte ha ett negativt värde, alltså saknar ekvationen lösningar.
- \( 4e^x - 3 =0 \)
Först får vi \( e^x = \dfrac{3}{4} \).
Vi manipulerar med \( \ln \) eller använder oss av definitionen.
Vi får \( x = \ln \dfrac{3}{4} \).
- \( e^x = 4 \)
- För vilket värdet på \( x \) gäller att \( e^x -5=0 \)?
Vi löser ekvationen \( e^x -5=0 \Leftrightarrow \ln e^x = \ln5 \Leftrightarrow x=\ln 5 \).
- Lös ekvationen \( \dfrac{1}{2}e^x -2=0 \).
\( \dfrac{1}{2}e^x -2=0 \Leftrightarrow e^x = 4 \Leftrightarrow x=\ln4 \)
- Låt \( f(x)=x^4 e^x \). Bestäm funktionerna \( f'(x) \) och \( f''(x) \).
\( f'(x) = x^4e^x + 4x^3e^x \)
\( f''(x) = x^4e^x + 8x^3e^x + 12x^2e^x \)
- Bestäm de punkter där funktionen \( f(x)=e^x -x \) byter riktning.
\( f'(x)=e^x-1 \). Funktionen byter riktning i de punkter där \( f'(x)=0 \), \( e^x-1=0 \Leftrightarrow x=\ln1=0 \).
\( y \)-koordinaten är \( f(0)=e^0-0=1 \).
Punkten är \( (0,1) \).
- Bestäm minsta värde för funktionen \( f(x)=3e^x -2x \).
\( f'(x)=3e^x-2 \). Extremvärdena finner vi i de punkter där \( f'(x)=0 \), \( 3e^x-2=0 \Leftrightarrow e^x=\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x=\ln\dfrac{2}{3} \approx -0,41 \).
Eftersom derivatafunktionen endast har ett nollställe så bestämmer vi hur funktionen beter sig genom att sätta in i derivata två punkter som finns kring derivatas nollställe.
\( f'(-1) = 3e^{-1}-2=\dfrac{3}{e}-2 < 0 \)
\( f'(0) = 3e^0-2=3-2=1 > 0 \)
Vi finner ett minsta värde i \( x=\ln\dfrac{2}{3} \). Funktionsvärdet är \( f(\ln\dfrac{2}{3})=3e^{\ln\dfrac{2}{3}} -2(\ln\dfrac{2}{3}) \).
- Bestäm största och minsta värde för funktionen \( f(x)=\dfrac{1}{3}e^x -x \) då \( x\in [0,2] \).
\( f'(x)=\dfrac{1}{3}e^x -1 \). Derivatans nollställe finner vi i \( f'(x)=0 \), \( \dfrac{1}{3}e^x-1=0 \Leftrightarrow x=\ln3 \).
Eftersom vi har en funktion som är definierad i ett intervall finner vi största och minsta värden i de punkter där derivatan får värdet noll eller i intervallets ändpunkter.
\( f(0)=\dfrac{1}{3}e^0 -0 = \dfrac{1}{3}\cdot 1 = \dfrac{1}{3} \)
\( f(\ln 3)=\dfrac{1}{3}e^{\ln 3} -\ln 3 =\dfrac{1}{3}\cdot 3-\ln 3 =1-\ln 3 \approx -0,10 \)
\( f(2)=\dfrac{1}{3}e^2 -2 \approx 0,46 \)
Minsta värdet är \( \dfrac{1}{3}e^{\ln 3} -\ln 3 =1-\ln 3 \).
och största värdet är \( \dfrac{1}{3}e^2 -2 \).
Beroende på räknare så förenklar de olika.
- Bestäm skärningspunkterna för \( y = (x^2+2x-1)e^x \) och \( y = -e^x \). Visa att i den ena skärningspunkten skär funktionerna varandra vinkelrätt.
Skärningspunkterna är \( x = -2 \) och \( x = 0 \).
Derivatafunktionerna är \( f'(x) = e^x(1+4x+x^2) \) och \( g(x)= -e^x \).
Att funktionerna skär varandra vinkelrätt betyder att produkten av tangeterna är -1.
\( f'(-2) \cdot g'(-2) = \dfrac{3}{e^4} \) och \( f'(0) \cdot g'(0) = -1 \).
Alltså skär funktionerna varandra vinkelrätt i \( x = 0 \).
- Visa att funktionerna \( f(x)=e^x \) och \( g(x) = \sqrt{3-2x} \) har en gemensam punkt och att i denna punkt skär funktionerna varandra vinkelrätt.
Här fungerar det inte att söka gemensamma skärningspunkter. Du får tyvärr inget vettigt.
Skärningspunkterna är nollställena av \( h(x)=e^x - \sqrt{3-2x} \).
Eftersom derivatafunktionen \( h'(x) = e^x + \dfrac{1}{\sqrt{3-2x}} \) är positiv i definitionsmängden \( ]-\infty , \dfrac{3}{2} ] \), är funktionen \( h \) strängt växande.
Nollställen finns högst 1 st.
Eftersom \( h(0) = 1-\sqrt{3} < 0 \) och \( h(1)=e-1 > 0 \), har vi ett nollställe i \( ]0,1[ \).
Då har vi ett nollställe, en skärningspunkt.
Vi låter \( x_0 \) var skärningspunkten. Då gäller att \( f(x_0) = g(x_0) \).
Eftersom \( f'(x) = e^x \) och \( g(x)= -\dfrac{1}{\sqrt{3-2x}} \) får vi att \( f'(x_0)g(x_0) = e^{x_0} \cdot -\dfrac{1}{\sqrt{3-2x_0}} = -\dfrac{e^{x_0}}{\sqrt{3-2x_0}} = -\dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} = -1 \).
Alltså skär funktionerna varandra vinkelrätt.