20. Derivatan av \( e^x \)

Exempel 1 Bestäm \( De^{2x} \).

Lösning

Vi har en sammansatt funktion. \( e^x \) är yttre och \( 2x \) är intre.

Vi får \( D e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} \).

Exempel 2 Bestäm \( De^{3x^2-1} \) .

Lösning

Vår yttre funktion är \( e^x \) och vår inre funktion är \( 3x^2-1 \). Eftersom \( f(g)=f'(g)g' \) får vi att \( De^{3x^2-1} = e^{3x^2-1}(6x) = 6xe^{3x^2-1} \).

För exponentialfunktionen \( e^x \) kan vi härleda följande formel, \( De^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f'(x) \).

Vi har en sammansatt funktion, \( Df(g)=f'(g)g' \), där den yttre funktionen är \( e^x \). Eftersom \( De^x=e^x \) så vi får att \( De^{f(x)} = e^{f(x)}f'(x) \).

Exempel 3 Derivera funktionen \( \dfrac{1}{e^{2x}} \).

Lösning

Vi skriver \( \dfrac{1}{e^{2x}} \) som \( e^{-2x} \). Derivatan är \( e^{-2x}(-2) = -2e^{-2x} =\dfrac{-2}{e^{2x}} \).

Uppgifter

Derivera följande uttryck
1. \( e^{5x} \)
  
  \( De^{5x}=e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x} \)
2. \( \dfrac{1}{2}e^{x^2} \)
  
  \( D\dfrac{1}{2}e^{x^2}=\dfrac{1}{2}e^{x^2}\cdot 2x=xe^{x^2} \)
Derivera följande uttyck
1. \( f(x)=\dfrac{e^x-2}{e^x} \)
  
  \( D\dfrac{e^x-2}{e^x} = D(\dfrac{e^x}{e^x} -\dfrac{2}{e^x}) = D(1-2e^{-x}) =D1+D(-2e^{-x}) =0 -2e^{-x}\cdot (-1) = 2e^{-x} = \dfrac{2}{e^x} \)
2. \( e^{x^3-x} \)
  
  \( De^{x^3-x} = e^{x^3-x}\cdot(3x^2-1)=(3x^2-1)e^{x^3-x} \)
Derivera \( f(x)=(1-\dfrac{1}{e^x})^2 \)

\( D(1-\dfrac{1}{e^x})^2)= D((1-e^{-x})^2) = 2(1-e^{-x})^1(-e^{-x}\cdot(-1)) = 2e^{-x}(1-e^{-x}) = \dfrac{2}{e^x}(1-\dfrac{1}{e^x}) = \dfrac{2}{e^x}-\dfrac{2}{e^{2x}} \)
Bestäm \( De^{\frac{1}{2}(3x-1)^4} \).

\( De^{\frac{1}{2}(3x-1)^4} = e^{\frac{1}{2}(3x-1)^4} (4\dfrac{1}{2}(3x-1)^3\cdot3) = 6(3x-1)^3e^{\frac{1}{2}(3x-1)^4} \)
Bestäm de punkter där \( f(x)=e^{4x^2-1} \) byter riktning.

\( f(x)=e^{4x^2-1} \), \( f'(x)=e^{4x^2-1} \cdot (8x) \).

\( f'(x)=0 \) då \( (8x)e^{4x^2-1}=0 \). En exponentialfunktion får aldrig värdet noll. Alltså \( 8x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \).

\( f \) byter riktning då \( x = 0 \).
Bestäm tangenten för \( f(x)= e^{x^3}-1 \) i punkten \( x = -1 \).

Först behöver vi derivatafunktionen, \( f'(x)=e^{x^3}\cdot 3x^2 \).

Riktningskoefficienten för tangenten är derivatans värde, \( f'(-1)=e^{-1^3} \cdot 3(-1)^2 = e^{-1} \cdot 3 = \dfrac{3}{e} \).

Vi behöver en punkt för tangenten, \( f(-1)=e^{(-1)^3}-1 = \dfrac{1}{e} - 1 \).

Tangentens ekvation är \( y-y_0 = k(x-x_0) \Leftrightarrow y - (\dfrac{1}{e}-1) = \dfrac{3}{e}(x-(-1)) \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{e}x +\dfrac{4}{e}-1 \) eller som \( y = \dfrac{3x+4-e}{e} \).
Låt \( f(x) = e^{x+2} \). Bestäm ekvationen för tangenten i \( x = -2 \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=e^{x+2} \). Bestäm denna!

Riktningskoefficienten för tangenten är \( k = f'(-2) = 1 \).

\( y \)-koordinaten är \( f(-2) = 1 \).

Tangentens ekvation är \( y - y_0 = k(x-x_0) \), alltså \( y-1 = 1(x+2) \).

Alltså \( y = x +3 \).
Låt \( f(x) = e^{2x-1} \). Bestäm ekvationen för tangenten i \( x = 1 \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=2e^{2x-1} \). Bestäm denna!

Riktningskoefficienten för tangenten är \( k = f'(1) = 2e \).

\( y \)-koordinaten är \( f(1) = e \).

Tangentens ekvation är \( y - y_0 = k(x-x_0) \), alltså \( y-e = 2e(x-1) \).

Alltså \( y = 2ex -e \).
Låt \( f(x) = e^{x^2-1} \). Bestäm skärningspunkten för tangenterna i punkterna \( x = -1 \) och \( x = 1 \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=2xe^{x^2-1} \). Bestäm denna!

Först bestämmer vi ena tangenten.

Riktningskoefficienten för ena tangenten är \( k = f'(1) = 2 \).

\( y \)-koordinaten är \( f(1) = 1 \).

Tangentens ekvation är \( y - y_0 = k(x-x_0) \), alltså \( y-1 = 2(x-1) \).

Alltså \( y = 2x -1 \).

På motsvarande sätt får vi tangenten i \( x = -1 \). Den är \( y = -2x -1 \).

Då vi söker de gemensamma punkterna för tangeterna får vi att \( x = 0 \) och \( y = -1 \).
Låt \( f(x) = e^{x+4} \). Bestäm ekvationen för normalen i \( x = -3 \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=e^{x+4} \). Bestäm denna!

Riktningskoefficienten för tangenten är \( k = f'(-3) = e \).

Då är normalens riktningskoefficient \( -\dfrac{1}{e} \) eftersom \( e \cdot (-\dfrac{1}{e}) = -1 \).
\( y \)-koordinaten är \( f(-3) = e \).

Normalens ekvation är \( y - y_0 = k(x-x_0) \), alltså \( y-e = -\dfrac{1}{e}(x+3) \).

Alltså \( y = -\dfrac{1}{e}x -\dfrac{3}{e} +e \) eller som \( y = -\dfrac{1}{e}x +\dfrac{e^2-3}{e} \).
Bestäm de punkter där \( f(x)=x^2e^{x} \) byter riktning och funktionens extremvärden.

\( f(x)=x^2e^{2} \), \( f'(x)=(2x+x^2)e^{x} \).

\( f'(x)=0 \) då \( (2x+x^2)e^{x}=0 \). En exponentialfunktion får aldrig värdet noll. Alltså \( 2x+x^2 = 0 \) ger oss \( x = 0 \) eller \( x =-2 \).

Teckenschemat följer parabeln \( 2x+x^2 \).

\( \begin{array}{l|ccccc} & & -2 & & 0 & \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\ \end{array} \)

Vi har ett lokalt maximum i -2, \( f(-2) = 4e^{-2} \approx 0,54 \).

Vi har ett lokalt minimum i 0, \( f(0) = 0 \).
Bestäm det minsta värde som \( f(x)=e^x -3x \) får i intervallet \( [1,2] \).

\( f(x)=e^x-3x \), \( f'(x)=e^x-3 \).

\( f'(x)=0 \) då \( e^x-3=0 \). Vi får \( x = \ln 3 \approx 1,10 \).

Eftersom vi har ett intervall testar vi oss fram.

\( f(1) = e-3 \approx -0,28 \).

\( f(\ln 3) = 3-3\ln 3 \approx -0,30 \).

\( f(2) = e^2-6 \approx 1,39 \).

Alltså är det minsta värdet \( 3 - 3\ln 3 \).
Visa att \( f(x)= e^{\frac{1}{x}} \) är strängt avtagande.

Börja med att rita upp den och märk att den är disskontinuerlig i \( x=0 \).

\( f'(x)=e^{\frac{1}{x}} \cdot D(x^{-1}) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \dfrac{1}{x^2} \).

Derivatans nollställen \( f'(x)=0 \), \( e^{\frac{1}{x}} \cdot \dfrac{1}{x^2} = 0 \), alltså \( \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} = 0 \). Uttrycket får värdet noll då täljaren får värdet noll, alltså \( e^{\frac{1}{x}} = 0 \). Exponentialfunktioner får inte värdet noll. Alltså saknar derivatan nollställen.

För att visa att funktionen är avtagande så undersöker vi derivatans tecken, \( f'(1) = e^{\frac{1}{1}} \cdot \dfrac{1}{1^2} = e^1 = e \).

Eftersom derivatan alltid är positiv och derivatafunktionen saknar nollställen så är funktionen \( f \) strängt växande.