MaA 6 Derivata

15. Undersökning av rationella funktioner

Sedan har vi kvar det svåraste. Att undersöka rationella funktioner. Egentligen är det inte svårt, det tar bara tid och det är några saker du måste komma ihåg att beakta.

Exempel 1 Bestäm när funktionen f(x)=xx2+1f(x)=xx2+1 avtar och växer.

Exempel 2 Bestäm extremvärden, största och minsta värden, för funktionen f(x)=2x2−1f(x)=2x2−1.

När vi undersöker rationella funktioner gör vi följande:

  1. Bestäm för vilka tal som funktionen inte är definierad.
  2. Derivera funktionen.
  3. Sök nollställen för derivatans täljare och nämnare.
  4. Bilda ett teckenschema där du kombinerar tecknen för täljaren och nämnaren.
  5. Svara på frågan.

Uppgifter

  1. Grafen av funktionen ff:s derivatafunktion f′f′ är ritad på bilden.

    Bestäm utgående från bilden följande:

    1. Den punkt där funktionen ff byter rikting.

      I x=0x=0 (den punkt där derivatan har värdet 0).

    2. Funktionen ff är avtagande då

      derivatafunktionen är negativ, −∞<x<0−∞<x<0.

    3. Fuktionen ff är växande då

      derivatafunktionen är positiv, 0<x<∞0<x<∞.

  2. Grafen av funktionen gg:s derivatafunktion g′g′ är ritad på bilden.

    Bestäm utgående från bilden följande:

    1. Den punkt där funktionen gg byter rikting.

      I de punkter som g′(x)g′(x) får värdet 0. Alltså i x=−1x=−1 och x=1x=1.

    2. Funktionen gg är avtagande då

      Funktionen gg är avtagande då g′g′ är negativ.

      Alltså då x<−1x<−1 och då x>1x>1.

    3. Fuktionen gg är växande då

      Funktionen gg är växande då g′g′ är positiv.

      Alltså då −1<x<1−1<x<1.

  3. I bilden är grafen av funktionen ff ritad.

    Berätta hur grafen av derivatafunktionen f′f′ beter sig.

    • ff byter riktning då x=0x=0 , alltså har f′f′ ett nollställe i x=0x=0.
    • ff avtar då x<0x<0, alltså är f′f′ negativ.
    • ff växer då x>0x>0, alltså är f′f′ positiv.

    Grafen av f′f′ ser ut som

  4. Grafen av funktionen f(x)f(x):s derivatafunktion f′(x)f′(x) är uppritad på bilden.

    Berätta om hur funktionen f(x)f(x) beter sig.

    • f′(x)f′(x) saknar nollställen, betyder att ff inte byter riktning.
    • f′(x)f′(x) är positiv, betyder att ff är växande.
    • Alltså är ff strängt växande.
    • Eftersom f′(x)f′(x) inte är definerad då x=1x=1 är ff inte heller definierad då x=1x=1.

    Grafen av ff kan vara följande:

  5. Bestäm extremvärden för funktionen f(x)=−1x2−1f(x)=−1x2−1.

    Funktionen ff är definierad då x≠±1x≠±1.

    Derivatafunktionen ser ut som f′(x)=2x(x2−1)2f′(x)=2x(x2−1)2. För att kunna bestämma extremvärden måste vi veta täljaren och nämnarens nollställen och bilda ett teckenschema.

    Täljaren 2x=02x=0 har nollstället x=0x=0 och nämnaren (x2−1)2=0⇔x2−1=0⇔x=±1(x2−1)2=0⇔x2−1=0⇔x=±1.

    Vi bildar ett teckenschema:

    −101täljaren, 2x−−−0+++nämnaren, (x2−1)2+0+++0+kvoten, f′(x)−|−0+|+f(x)↘|↘↗|↗−101täljaren, 2x−−−0+++nämnaren, (x2−1)2+0+++0+kvoten, f′(x)−|−0+|+f(x)↘|↘↗|↗

    Vi har ett lokalt minsta värde i x=0x=0, f(0)=−102−1=1f(0)=−102−1=1. Funktionen saknar andra lokala extremvärden.

  6. Av rostfritt stål tillverkas ett cirkelformat cylinderformat mått utan lock vars volym är 1 liter. Planera dimensionerna, höjden och diametern för bottnet, så att det behövs så lite material som möjligt.

    Vi betecknar höjden med hh och radien för bottnet med rr. Den totala arean för materialet är A=πr2+2πrhA=πr2+2πrh.

    Eftersom volymen skall vara 1 liter gäller att 1=πr2h1=πr2h, där 1 är dm3. Då får vi längden i dm. Vi får att h=1πr2h=1πr2.

    Alltså gäller att A(r)=πr2+2πr⋅1πr2=πr2+2rA(r)=πr2+2πr⋅1πr2=πr2+2r.

    Derivera och sök derivatans nollställe. Kom fram till r=3√1πr=3√1π.

    Visa med hjälp av teckenschema att vi har ett minsta värde.

    Alltså är diametern 13,7 cm och höjden 6,8 cm.

  7. Bestäm tangentens ekvation för y=1xy=1x då x=1x=1.

    För att ha en linje behöver du en punkt på linjen och en riktningskoefficient. Hur bestämmer du en punkt som är gemensam för tangenten och kurvan?

    Derivatafunktionen är f′(x)=−1x2f′(x)=−1x2. Koordinaterna för tangenten är x=1x=1 och y=f(1)=1y=f(1)=1. Tangentens riktningskoefficient är f′(1)=−1f′(1)=−1.

    En linjes ekvation genom två punkter är y−y0=k(x−x0)y−y0=k(x−x0) som i detta fall är y+1=−1(x−1)y+1=−1(x−1). Tangentens ekvation är y=−xy=−x.

  8. Bestäm största och minsta värdet för funktionen f(x)=−3x2−9f(x)=−3x2−9 i intervallet [−1,2][−1,2].

    f′(x)=−6x(x2−9)2f′(x)=−6x(x2−9)2.

    f′(x)=0f′(x)=0 då täljaren får värdet noll, alltså då −6x=0−6x=0 som är då x=0x=0.

    Största och minsta värdet i ett intervall får vi då f′(x)=0f′(x)=0 eller i intervallers ändpunkter.

    f(−1)=−3(−1)2−9=38f(−1)=−3(−1)2−9=38.

    f(0)=−3(0)2−9=13f(0)=−3(0)2−9=13.

    f(2)=−322−9=35f(2)=−322−9=35.

    Minsta värdet är 1313 och största värdet 3535.

  9. Bestäm extremvärden för funktionen f(x)=x−1x2+2f(x)=x−1x2+2.

    Funktionen är definierad då x2+2≠0⇔x2≠−2x2+2≠0⇔x2≠−2 som aldrig uppfylls i de reella talens mängd.

    f′(x)=−x2+2x+2(2x2+2)2f′(x)=−x2+2x+2(2x2+2)2.

    Täljaren har nollställena 1±√3 och nämnarens nollställen får vi som (2x2+2)2=0 som saknar lösningar.

    Vi gör ett teckenschema:

    1−√31+√3täljaren, −x2+2x+2−0+0−nämnaren, (x2+2)2+++++kvoten, f′(x)−0+0−f(x)↘↗↘

    Största värdet får då x=1+√3 och minsta värdet då x=1−√3.

    Största värdet är 14(√3−1) och minsta värdet är 14(−√3−1).

  10. Bestäm extremvärdena för f(x)=x2x2−1.

    Funktionen är definierad då x2−1≠0, alltså då x≠±1.

    Derivatafunktionen är f′(x)=−2x(x2−1)2. Täljarens nollställe är −2x=0⇔x=0 och nämnarens nollställe är (x2−1)2=0⇔x2−1=0⇔x=±1.

    Vi gör ett teckenschema:

    −101täljaren, −2x+++0−−−nämnaren, (x2−1)2+0+++0+kvoten, f′(x)+|+0−|+f(x)↗|↗↘|↘

    Vi har ett lokalt största värde då x=0, f(0)=0202−1=0.

  11. Bestäm för funktionerna f(x)=2xx+1 och g(x)=2x−1 deras skärningspunkter och visa att i ena skärningspunkten skär funktionerna varandra vinkelrätt.

    Funktionernas gemensamma punkt är x1=−23 och x1=1.

    Derivatafunktionerna är f′(x)=2(x+1)2 och g′(x)=−2x2.

    Om funktionerna är vinkelräta så skall produkten av tangenternas riktningskoefficienter ha värdet -1.

    I x=−23 får vi f′(−23)⋅g′(−23)=−81.

    I x=1 får vi f′(1)⋅g′(1)=−1. I denna punkt skär funktionerna varandra vinkelrätt.

  12. Hur beter sig funktionen f(x)=xx2−x?

    Funktionen är inte definierad då x2−x=0, alltså då x≠0 eller x≠1.

    f′(x)=−x2(x2+x)2. För att bestämma hur funktionen beter sig söker vi nollställen för täljaren och nämnaren och bildar ett teckenschema.

    Täljaren: −x2=0 då x=0 och nämnaren: (x2+x)2=0 då x=0 eller x=1. Eftersom nämnaren är i kvadrat så är den alltid positiv.

    Teckenschema

    01täljare, −x2−0−−−nämnare, (x2+x)2+0+0+kvot, f′(x)−|−|−f(x)↘↘↘

    Funktionen är hela tiden avtagande.

  13. Visa att funktionen f(x)=2x−2 är avtagande.

    Funktionen f är definierad i alla punkter utom då x−2=0⇔x=2.

    Derivatafunktionen är f′(x)=−2(x−2)2. För att veta hur funktionen beter sig undersöker vi täljaren och nämnaren skilt. Täljaren: -2 saknar nollställe. För nämnaren (x−2)2 så har den värdet noll då x−2=0 alltså x=2. Eftersom täljaren är i kvadrat är den annars positiv.

    Vi bildar ett teckenschema:

    2täljaren, −2−−−nämnaren, (x−2)2+0+kvoten, f′(x)−|−f(x)↘↘

    Funktionen är alltså avtagande.