MaA 15 Repetition inför studentskrivningarna

9. Vektorer

Inledande uppgifter

  1. Uppgift
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  2. Uppgift
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  3. Uppgift

    Lösningen

  4. Uppgift

    Lösningen

  5. Lite mera krävande uppgift

    Lösningen

  6. Utan räknare

    Antag att vektorerna som utgår från toppen \( D \) i en tresidig pyramid \( ABCD \) är \( \overrightarrow{DA}=\vec a, \overrightarrow{DB}=\vec b \) och \( \overrightarrow{DC}=\vec c \) samt att \( T \) är tyngdpunkten i basytan \( ABC \). Visa att vektorn \( \overrightarrow{DT}=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3} \).

    Antag att \( \vec a = 2\vec i -3\vec j \).

    1. Bestäm slutpunkten för vektorn \( \vec a \) om dess utgångsläge är i punkten \( (-1,2) \).
    2. Bestäm en vektor som är parallell med \( \vec a \) och vars längd är 5.
    3. Skriv vektorn \( \vec a \) som summan av två vektorer så att ena komponenten är parallell med linjen \( y=x+3 \) och den andra är parallell med linjen \( y=\dfrac{1}{2}x-1 \).
  7. Antag att \( \overline{a} = \overline{i} + r\overline{j} \) och \( b=3\overline{i}+\overline{j} \). Bestäm talet \( r \) då vektorerna
    1. \( \overline{a} \) och \( \overline{b} \) är parallella

      \( r=\dfrac{1}{3} \)

    2. \( \overline{a} + \overline{b} \) och \( \overline{a} - \overline{b} \) är vinkelräta.

      \( r=\pm 3 \)

  8. Vektorerna \( \overline{a} \) och \( \overline{b} \) har motsatt riktning. Låt \( \overline{a} = \dfrac{3}{2}\overline{i}-2\overline{j} \) och låt vektorn \( \overline{b} \) ha längden 5. Bestäm \( \overline{b} \). Var ligger slutpunkten, om \( \overline{b} \) placeras så att den startar i \( (4,3) \)? [V01, 3]

    \( \overline{b} = 3 \overline{i}+4\overline{j} \) och \( (1,7) \).

  9. Bestäm avståndet från punkten \( (1,0,3) \) till planet \( x-y+2z-1=0 \).

    \( d=\sqrt{6} \)

  10. Med räknare

    Ett flygplan lyfter från punkten \( (1500, 2000, 0) \) i \( xy \)-planet som representeras av horisontalplanet och lyfter rätlinjigt i riktningen \( -20\vec i+10\vec j+3\vec k \).

    1. Flyger planet genom punkten \( (1100, 2200, 60) \)?
    2. I horisontalplanet representeras ekvationen \( y=-2x+200 \) av en landsväg. På vilken höjd flyger planet över landsvägen? Koordinatsystemets längdenhet är 1 m. [V90, 10]

    Vektorerna \( \overline{a} = t\overline{i} +2\overline{j} - 3\overline{k} \) och \( \overline{b} = 2t\overline{i} -t\overline{j} +\overline{k} \) utgår från samma punkt och utgör två närliggande sidor i en parallellogram. För vilka värden på \( t \) är parallellogrammens diagonaler vinkelräta?

    Antag att \( \mid\overline{a}\mid = 1, \mid\overline{b}\mid = \sqrt{2} \) och att vinkeln mellan vektorerna \( \overline{a}-\overline{b} \) och \( 3\overline{a}+2\overline{b} \) är rät. Beräkna

    1. vinkeln mellan vektorerna \( \overline{a} \) och \( \overline{b} \)
    2. längden av vektorn \( \overline{a} + \overline{b} \).
  11. Bestäm en riktningsvektor för den räta linje som går genom punkterna \( A=(2,3,6) \) och \( B=(4,-7-3) \) och bilda en parameterframställning för linjen. Bestäm skärningspunkten mellan linjen och \( xy \)-planet. [V07, 4]

    tex \( \overline{s}=2\overline{i}-10\overline{j}-9\overline{k} \) och

    \( x = 2 +2t \)

    \( y = 3 -10t \)

    \( z = 6 -9t \)

    Skär\( xy \)-planet i \( (\dfrac{10}{3}, -\dfrac{11}{3}, 0) \)

  12. Antag att \( \overline{OA} = \overline{a} (\not=\overline{0}), \overline{OB} = \overline{b} (\not=\overline{0}) \) och att \( \overline{OC} = \dfrac{2}{3}\overline{a} + \dfrac{1}{3}\overline{b} \). Visa att punkterna \( A, B \) och \( C \) är belägna på samma räta linje.

    Lösningen