9. Vektorer
Inledande uppgifter
- Uppgift
- Deluppgit a
Lösningen
- Deluppgit b
Lösningen
- Deluppgit c
Lösningen
- Deluppgit a
- Uppgift
- Deluppgit a
Lösningen
- Deluppgit b
Lösningen
- Deluppgit c
Lösningen
- Deluppgit a
- Uppgift
Lösningen
- Uppgift
Lösningen
- Lite mera krävande uppgift
Lösningen
- Bestäm slutpunkten för vektorn \( \vec a \) om dess utgångsläge är i punkten \( (-1,2) \).
- Bestäm en vektor som är parallell med \( \vec a \) och vars längd är 5.
- Skriv vektorn \( \vec a \) som summan av två vektorer så att ena komponenten är parallell med linjen \( y=x+3 \) och den andra är parallell med linjen \( y=\dfrac{1}{2}x-1 \).
- Antag att \( \overline{a} = \overline{i} + r\overline{j} \) och \( b=3\overline{i}+\overline{j} \). Bestäm talet \( r \) då vektorerna
- \( \overline{a} \) och \( \overline{b} \) är parallella
\( r=\dfrac{1}{3} \)
- \( \overline{a} + \overline{b} \) och \( \overline{a} - \overline{b} \) är vinkelräta.
\( r=\pm 3 \)
- \( \overline{a} \) och \( \overline{b} \) är parallella
- Vektorerna \( \overline{a} \) och \( \overline{b} \) har motsatt riktning. Låt \( \overline{a} = \dfrac{3}{2}\overline{i}-2\overline{j} \) och låt vektorn \( \overline{b} \) ha längden 5. Bestäm \( \overline{b} \). Var ligger slutpunkten, om \( \overline{b} \) placeras så att den startar i \( (4,3) \)? [V01, 3]
\( \overline{b} = 3 \overline{i}+4\overline{j} \) och \( (1,7) \).
- Bestäm avståndet från punkten \( (1,0,3) \) till planet \( x-y+2z-1=0 \).
\( d=\sqrt{6} \)
- Flyger planet genom punkten \( (1100, 2200, 60) \)?
- I horisontalplanet representeras ekvationen \( y=-2x+200 \) av en landsväg. På vilken höjd flyger planet över landsvägen? Koordinatsystemets längdenhet är 1 m. [V90, 10]
- vinkeln mellan vektorerna \( \overline{a} \) och \( \overline{b} \)
- längden av vektorn \( \overline{a} + \overline{b} \).
- Bestäm en riktningsvektor för den räta linje som går genom punkterna \( A=(2,3,6) \) och \( B=(4,-7-3) \) och bilda en parameterframställning för linjen. Bestäm skärningspunkten mellan linjen och \( xy \)-planet. [V07, 4]
tex \( \overline{s}=2\overline{i}-10\overline{j}-9\overline{k} \) och
\( x = 2 +2t \)
\( y = 3 -10t \)
\( z = 6 -9t \)
Skär\( xy \)-planet i \( (\dfrac{10}{3}, -\dfrac{11}{3}, 0) \)
- Antag att \( \overline{OA} = \overline{a} (\not=\overline{0}), \overline{OB} = \overline{b} (\not=\overline{0}) \) och att \( \overline{OC} = \dfrac{2}{3}\overline{a} + \dfrac{1}{3}\overline{b} \). Visa att punkterna \( A, B \) och \( C \) är belägna på samma räta linje.
Lösningen
Utan räknare
Antag att vektorerna som utgår från toppen \( D \) i en tresidig pyramid \( ABCD \) är \( \overrightarrow{DA}=\vec a, \overrightarrow{DB}=\vec b \) och \( \overrightarrow{DC}=\vec c \) samt att \( T \) är tyngdpunkten i basytan \( ABC \). Visa att vektorn \( \overrightarrow{DT}=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3} \).
Antag att \( \vec a = 2\vec i -3\vec j \).
Med räknare
Ett flygplan lyfter från punkten \( (1500, 2000, 0) \) i \( xy \)-planet som representeras av horisontalplanet och lyfter rätlinjigt i riktningen \( -20\vec i+10\vec j+3\vec k \).
Vektorerna \( \overline{a} = t\overline{i} +2\overline{j} - 3\overline{k} \) och \( \overline{b} = 2t\overline{i} -t\overline{j} +\overline{k} \) utgår från samma punkt och utgör två närliggande sidor i en parallellogram. För vilka värden på \( t \) är parallellogrammens diagonaler vinkelräta?
Antag att \( \mid\overline{a}\mid = 1, \mid\overline{b}\mid = \sqrt{2} \) och att vinkeln mellan vektorerna \( \overline{a}-\overline{b} \) och \( 3\overline{a}+2\overline{b} \) är rät. Beräkna