MaA 15 Repetition inför studentskrivningarna

4. Polynom och rationella uppgifter

Diskutera med din bänkkamrat över följande

  • Vad krävs för att vi kan bryta ut?
  • Vad fattas från följande uttryck \( 2(\underline{\quad}) = 2x^2+4 \)?
  • Hur löser vi en ekvation?
  • Vad krävs för att vi skall kunna förkorta ett kvot?
  • På vilket värden på \( a \) kan \( \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-a} \) förkortas?

Inledande uppgifter

  1. Fyll i det som saknas
    1. \( 3x-6= \underline{\quad}(x-2) \)

      \( 3x-6= \underline{3}(x-2) \)

    2. \( 4x^2-x =\underline{\quad}(4x-1) \)

      \( 4x^2-x =\underline{x}(4x-1) \)

  2. Lös följande ekvationer
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  3. För vilket värde på \( a \) kan det rationella uttrycket förkortas?
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  4. Förkorta följande rationella uttryck
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

    5. Utan räknare

    Exempel 1 Bestäm konstanten \( a \) så att polynomet \( P(x)=x^3 + ax^2 + 2ax + 8 \) har faktorn \( (x-2) \). Lös därefter olikheten \( P(x)\leq 0 \).

    Lösning

    \( P(x)=x^3+ax^2+2ax+8 \). Faktor \( x-2 \) betyder nollställe i \( x=2 \).

    Alltså \( P(2)=2^3+ax^2+2a\cdot 2+8 = 0 \).

    \( \begin{array}{rcl} 8+4a+4a+8 & = & 0 \\ 8a & = & -16 \\ a & = & -2 \\ \end{array} \)

    Alltså \( P(x)= x^3-2x^2-4x+8 \)

    Eftersom \( (x-2) \) är faktor i \( P(x) \) dividerar vi med \( (x-2) \) för att faktorisera.

    Division, på räknare, ger \( P(x)=(x-2)(x-4)=(x-2)(x-2)(x+2)=(x-2)^2(x+2) \)

    \( P(x) \leq 0: \) då kvadraten \( (x-2)^2 = 0 \) eller då \( (x+2) \)

    \( \begin{array}{rrcll} & (x-2)^2\leq 0 & \textrm{då } & x=2 & \\ & (x+2)\leq 0 & \textrm{då } & x\leq -2 & \\ \textrm{Alltså }x\leq -2 \textrm{ eller }x=2 \\ \end{array} \)

    2-1.png

    Visa att \( a^2+b > ab + a \) då \( a > b > 1 \).

    2-2.png

    1. Förenkla uttrycket \( (1-\dfrac{2ab}{a^2+b^2})/(\dfrac{2a^2}{a^2+b^2}-1) \).
    2. Lös olikheten \( x-\dfrac{2}{x} \leq 1 \).
    3. Lös ekvationen \( \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{x}{2x-2} = \dfrac{x-2}{x^2-1} \).

    Visa att olikheten \( (1-x)^8 \geq 1-8x \) gäller för alla reella värden på \( x \). [H08, 10]

    Lösning

  5. Förenkla uttrycken
    1. \( \dfrac{1}{a-1}(a-\dfrac{1}{a}) \) [V03, 1c]

      Lösningen

    2. \( \dfrac{x}{1-x}+\dfrac{x}{1+x} \) [V05, 1a]

      Lösningen

    3. \( \dfrac{a+1}{a} \)

      Lösningen

    4. \( \dfrac{2x}{(1-x)(1+x)} \)

      Lösningen

  6. Lös ekvationen \( \dfrac{5x+3}{x^2-9} - \dfrac{3}{x-3} = 1 \)

    \( x=-1 \)

  7. Lös olikheten \( x^3+x^2-x-1 < 0 \)

    \( x < 1 \wedge x\not=-1 \)

  8. Lös olikheten \( \dfrac{x^2+7x+2}{x-3} > 1 \)[V07, 6]

    \( -5 < x < -1 \vee x>3 \)

    9. Med räknare

    Bestäm eventuella lokala extremvärden för funktionen \( f(x)=(2x-1)^3(x+3)^4 \).

    Lösning

    Bestäm konstanterna \( A \) och \( B \) så att funktionen \( F(x)=A \ln (2+x) + B \ln (x-3) \) är en primitiv funktion (integral funktion) till funktionen \( f(x)=\dfrac{4x+2}{x^2-x-6} \) då \( x > 3 \).

    Lösning

  9. Bestäm det minsta värde av funktionen \( f(x)=(x+1)(x-3)^3 \).

    Lösningen

  10. Visa att värdet av integralen \( \displaystyle\int^{2a}_a \dfrac{\textrm{d}x}{2x+a} \) är oberoende av värdet på \( a \) då \( a>0 \).

    Lösningen