4. Polynom och rationella uppgifter

Diskutera med din bänkkamrat över följande

Vad krävs för att vi kan bryta ut?
Vad fattas från följande uttryck $2(\underline{\quad}) = 2x^2+4$ ?
Hur löser vi en ekvation?
Vad krävs för att vi skall kunna förkorta ett kvot?
På vilket värden på $a$ kan $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-a}$ förkortas?

Inledande uppgifter

Fyll i det som saknas
1. $3x-6= \underline{\quad}(x-2)$
  
  $3x-6= \underline{3}(x-2)$
2. $4x^2-x =\underline{\quad}(4x-1)$
  
  $4x^2-x =\underline{x}(4x-1)$
Lös följande ekvationer
1. Deluppgit a
  
  Lösningen
2. Deluppgit b
  
  Lösningen
3. Deluppgit c
  
  Lösningen
För vilket värde på a kan det rationella uttrycket förkortas?
1. Deluppgit a
  
  Lösningen
2. Deluppgit b
  
  Lösningen
3. Deluppgit c
  
  Lösningen
Förkorta följande rationella uttryck
1. Deluppgit a
  
  Lösningen
2. Deluppgit b
  
  Lösningen
3. Deluppgit c
  
  Lösningen

Utan räknare

Exempel 1 Bestäm konstanten $a$ så att polynomet $P(x)=x^3 + ax^2 + 2ax + 8$ har faktorn $(x-2)$ . Lös därefter olikheten $P(x)\leq 0$ .

Lösning

$P(x)=x^3+ax^2+2ax+8$ . Faktor $x-2$ betyder nollställe i $x=2$ .

Alltså $P(2)=2^3+ax^2+2a\cdot 2+8 = 0$ .

$\begin{array}{rcl} 8+4a+4a+8 & = & 0 \\ 8a & = & -16 \\ a & = & -2 \\ \end{array}$

Alltså $P(x)= x^3-2x^2-4x+8$

Eftersom $(x-2)$ är faktor i $P(x)$ dividerar vi med $(x-2)$ för att faktorisera.

Division, på räknare, ger $P(x)=(x-2)(x-4)=(x-2)(x-2)(x+2)=(x-2)^2(x+2)$

$P(x) \leq 0:$ då kvadraten $(x-2)^2 = 0$ eller då $(x+2)$

$\begin{array}{rrcll} & (x-2)^2\leq 0 & \textrm{då } & x=2 & \\ & (x+2)\leq 0 & \textrm{då } & x\leq -2 & \\ \textrm{Alltså }x\leq -2 \textrm{ eller }x=2 \\ \end{array}$

2-1.png

Visa att $a^2+b > ab + a$ då $a > b > 1$ .

2-2.png

Förenkla uttrycket $(1-\dfrac{2ab}{a^2+b^2})/(\dfrac{2a^2}{a^2+b^2}-1)$ .
Lös olikheten $x-\dfrac{2}{x} \leq 1$ .
Lös ekvationen $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{x}{2x-2} = \dfrac{x-2}{x^2-1}$ .

Visa att olikheten $(1-x)^8 \geq 1-8x$ gäller för alla reella värden på $x$ . [H08, 10]

Lösning

Förenkla uttrycken
1. $\dfrac{1}{a-1}(a-\dfrac{1}{a})$ [V03, 1c]
  
  Lösningen
2. $\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{x}{1+x}$ [V05, 1a]
  
  Lösningen
3. $\dfrac{a+1}{a}$
  
  Lösningen
4. $\dfrac{2x}{(1-x)(1+x)}$
  
  Lösningen
Lös ekvationen $\dfrac{5x+3}{x^2-9} - \dfrac{3}{x-3} = 1$

$x=-1$
Lös olikheten $x^3+x^2-x-1 < 0$

$x < 1 \wedge x\not=-1$
Lös olikheten $\dfrac{x^2+7x+2}{x-3} > 1$ [V07, 6]

$-5 < x < -1 \vee x>3$

Med räknare

Bestäm eventuella lokala extremvärden för funktionen $f(x)=(2x-1)^3(x+3)^4$ .

Lösning

Bestäm konstanterna $A$ och $B$ så att funktionen $F(x)=A \ln (2+x) + B \ln (x-3)$ är en primitiv funktion (integral funktion) till funktionen $f(x)=\dfrac{4x+2}{x^2-x-6}$ då $x > 3$ .

Lösning

Bestäm det minsta värde av funktionen $f(x)=(x+1)(x-3)^3$ .

Lösningen
Visa att värdet av integralen $\displaystyle\int^{2a}_a \dfrac{\textrm{d}x}{2x+a}$ är oberoende av värdet på $a$ då $a>0$ .

Lösningen