MaA 15 Repetition inför studentskrivningarna

6. Tangenter och derivata

Inledande uppgifter

  1. Uppgift
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  2. Uppgift
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  3. Uppgift

    Lösningen

  4. Uppgift

    Lösningen

  5. Lite mera krävande uppgift

    Lösningen

    6. Utan räknare

    Till kurvan \( y=\ln(2x+1) \) dras en tangent

    1. i den punkt där \( x=0 \),
    2. som har riktningsvinkeln \( \dfrac{\pi}{4} \).

    Bestäm tangentens ekvation.

    4-1.png

  6. Bestäm den punkt på parabeln \( y=x^2-2x-3 \), där parabelns tangent har riktningsvinkeln \( +45^{\circ} \).

    \( (\dfrac{3}{2}, -\dfrac{15}{4}) \)

  7. I punkten \( x=-1 \) på kurvan \( y=(2x+1)^4 \) dras kurvans tangent. Bestäm tangentens ekvation.

    \( y=-8x-7 \)

  8. Beräkna derivatans värde i punkten \( x=2 \) för funktionen \( f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}+1 \).

    Vi får att \( f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}+1 = \dfrac{x}{2}+2x^{-1}+1 \).

    Vi får \( f'(x)=\dfrac{1}{2}+2(-1)x^{-2} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x^2} \).

  9. Bestäm ekvationen för de tangenter till cirkeln \( x^2 + y^2 =5 \) som är parallella med linjen \( 2x-y=0 \).

    \( y=2x \pm 5 \)

    10. Med räknare

    Tvärsnittet av en rak landsvägstunnel har formen av en parabel. Tunneln är 5,0 meter hög och i markplanet är den 10,0 meter bred. Ange med en grads noggrannhet tunnelns lutning då den är som brantast.

    4-2.png

    Från punkten \( (-3,1) \) drags tangenterna till kurvan \( y=\dfrac{1}{x} \). Bestäm tangenternas ekvationer

    Lösning

    Funktionen \( f \) är definierad i mängden av alla reella tal. I en godtycklig punkt \( (x,y) \) på grafen av \( f \) har tangenten till grafen riktningskoefficienten \( k(x)=1-e^{-2x} \). Det minsta värdet av funktionen \( f \) är 2. Bestäm \( f \). [V00, 7]

    Lösning

    Genom punkterna \( (0,1) \) dras tangenterna till cirkeln \( x^2 +y^2-4x-4y+7 =0 \). Bestäm tangenternas ekvationer.

    Lösning

  10. En boll som kastas från två meters höjd träffar på fem meters höjd stammen av ett träd som är på fem meters avstånd. Bollens flygbana är en parabel, vars topp är mellan kastaren och trädet på två meters avstånd från trädet. Beräkna kastningsvinkeln. [V91, 6]

    \( 74^{\circ} \)