12. Areor och rotationskroppar

Inledande uppgifter

Antag att $ f(x)=\dfrac{x^2}{4}, x \geq 0 $. Kurvorna $ y=f(x) $ och $ y=f^{-1}(x) $ begränsar ett område.

Beräkna områdets area.
Detta område roterar kring x-axeln. Bestäm den uppkomna rotationskroppens volym.

Kurvan $ y=e^x $ begränsar tillsammans med x-axeln, linjen $ x=-1 $ och linjen $ x=t (t>0) $ ett område.

Bestäm konstanten $ t $ då områdets area är 4.
Detta område (med arean 4) roterar kring y-axeln. Bestäm den uppkomna rotationskroppens volym.

Kurvan $ y=\mid\sin 2x\mid $ och linjen $ y=1 $ begränsar ett område då $ \dfrac{\pi}{4} \geq x \geq \dfrac{3\pi}{4} $. Bestäm arean av detta område. [H07, 10]

$ \dfrac{1}{2}\pi-1 $

Då kurvan $ y=2\ln(x+1), 0 \geq x \geq e-1 $, roterar kring y-axeln uppstår ett trattformat kärl. Bestäm volymen av detta kärl. Ge exakt värde och ett närmevärde med två decimaler. [V06, 9]

Vrid situationen 90 grader.

$ \pi(e^2-4e+5) \approx 4,76 $
En kurva K i planet bildas av de punkter $ (x,y) $ vilkas avstånd till origo är lika stort som avståndet till linjen $ y=2 $. [H 16, 7]
1. Härled ekvationen för kurvan $ K $ i formen $ y=f(x) $.
  
  Villkoret för avståndet ger ekvationen $\sqrt{x^2+y^2} = \mid 2-x\mid. (1 poäng)
  
  Genom att kvadrera bägge leden får vi $ x^2+y^2 = 4-4y+y^2 $. (1 poäng)
  
  Kurvan $ K $ är parabeln $ y=\dfrac{1}{4}x^2+1 $. (1 poäng)
2. Beräkna arean av det begränsade planområde som ligger mellan kurvan $ K $ och $ x $-axeln.
  
  Kurvan skär $ x $-axlen då $ f(x)=0 $, alltså $ -\dfrac{1}{4}x^2+1 $. Ekvationen $ - \dfrac{1}{4}x^2+1=0 $ har lösningarna $ x=\pm 2 $. (1 poäng)
  
  Arean är $ \displaystyle\int_{-2}^2 -\dfrac{1}{4}x^2+1 \mathrm{\,d}x = \dfrac{8}{3} $.