MaA 15 Repetition inför studentskrivningarna

11. Logaritmer och summor

Inledande uppgifter

  1. Uppgift
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  2. Uppgift
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  3. Uppgift

    Lösningen

  4. Uppgift

    Lösningen

  5. Lite mera krävande uppgift

    Lösningen

    6. Utan räknare

    1. Bestäm basen \( x \) då \( \log_x 8 = \dfrac{3}{2} \).
    2. Förenkla uttrycket \( e^{2\ln x}-2x^2 \). [V07, 2c]

    Lös ekvationerna

    1. \( 4\log_2 x = \log_2 4x+4 \)
    2. \( (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) \) då \( f(x)=\ln x \) och \( g(x)=x-1 \)

    Formler för logarimer:

    • \( \log_a x=y \iff a^y = x \) (\( a = \) bas, \( a > 0 \not=1 \) och \( x>0 \))
    • \( \log xy = \log x + \log y \)
    • \( \log \dfrac{x}{y} = \log x - \log y \)
    • \( \log x^r = r \log x \)
    • \( \log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a} \)

    1. Bestäm \( n \) då \( \sum_{k=1}^n \lg \dfrac{k+1}{k} = 5 \).
    2. Beräkna \( \lim_{n \to \infty} a_n \) då \( a_n=\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[8]{5}\cdot \ldots \cdot\sqrt[2^n]{5} \).
  6. Förenkla följande uttryck.
    1. \( \lg (xy^2) - 2\log y \). [V06, 2]

      \( \log x \)

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  7. Lös ekvationen \( 2\log_2 (x+1)=\log_2(x+5)+1 \).

    latex]x=3 \)

  8. En talföljds tre första termer är \( 1, 2x+1 \) och \( 8x \). Bestäm \( x \) och talföljdens tionde term om talföljden är
    1. aritmetisk

      \( x=\dfrac{1}{4} \), \( a_{10}=5\dfrac{1}{2} \)

    2. geometrisk

      \( x=\dfrac{1}{2} \), \( a_{10}=512 \)

  9. Användningen av binär logaritm \( \mathrm{lb\,} x = \log_2 x \) har blivit vanlig som en följd av olika digitala tillämpningar. [H16, 3]
    1. Lös ekvationen \( \mathrm{lb\,}(x+1) - \mathrm{lb\,}(4x)=1 \).

      Vi får att

      \( \begin{array}{rcl} \mathrm{lb\,}(x+1)-\mathrm{lb\,}(4x)&=&1 \\ \\ \mathrm{lb\,}\dfrac{x+1}{4x} &=&1 \\ \\ \dfrac{x+1}{4x} &=&2^1 \\ x+1 &=& 4x \cdot 2 \\ x+1 &=& 8x \\ -7x &=& -1 \\ x &=& \dfrac{1}{7} \end{array} \)

    2. För vilka värden \( n=1,2,3, \ldots \) gäller det att \( 2 \leq \mathrm{lb\,} n \leq 3 \)?

      Funktionen \( f(x)=\mathrm{lb\,} x \) är strängt växande.

      Vi har att \( \mathrm{lb\,} 4 =2 \) och \( \mathrm{lb\,} 8 =3 \).

      Alltså duger värdena \( n=4,5,6,7 \) och \( 8 \).

  10. Talföljden \( (a_n) \) är given i rekursiv form på följande sätt: \( a_1 = 2 \) och \( a_n=a_{n-1} +(\dfrac{1}{2})^{n-1}, (n=2,3,4, \ldots) \). Bestäm den allmänna termen \( a_o \) i formen \( a_n=f(n) \) samt beräkna \( \lim_{n \to \infty} a_n \).

    \( a_n=3-(\dfrac{1}{2})^{n-1}, n=1,2,3,\ldots \). \( \lim_{n \to \infty} a_n =3 \).

    11. Med räknare

    1. Beräkna summan av alla positiva tresiffriga tal som är delbara med 11.
    2. Man beräknar att jordens kända oljefyndigheter med nuvarande förbrukning räcker i 40 år. Hur lång tid räcker oljan om man varje år kunde minska förbrukningen med 1,5 %?
  11. Uppgift
    1. Vinklarna i en triangel bildar en geometrisk talföljd och storleken av en vinkel är 103o. Bestäm vinklarnas storlek i grader.

      Vi betecknar vinklarna med \( a \), \( a+d \) och \( a+2d \). Vinklarnas summa är 180o, alltså \( a+a+d+a+2d = 3a+3d = 180^{\circ} \). (1 poäng).

      Största vinkeln är \( a+2d = 103^{\circ} \).

      Vi får ekvationssystemet

      \( \left\{ \begin{array}{rcl} 3a + 3d &=& 180^{\circ} \\ 2 + 2d &=& 103^{\circ} \\ \end{array} \right. \) (1 poäng)

      Räknaren ger att \( a=17^{\circ} \) och \( b=43^{\circ} \).

      Vinklarna är 17o, 60o och 103o. (1 poäng)

    2. Vinklarna i en triangel bilar en geometrisk talföljd och storleken av en vinkel är \( \dfrac{\pi}{7} \) radianer. Bestäm vinklarnas storlek i radianer.

      Vi betecknar vinklarna \( x \), \( qx \) och \( q^2x \). Den minsta vinkeln är \( x=\dfrac{\pi}{7} \). (1 poäng)

      Vinklarnas summa är \( x + qx + q^2x = x(1 + q+q^2)=\dfrac{\pi}{7}(1 + q + q^2)=\pi \).

      Det ger oss att \( q^2+q-6=0 \). Räknaren eller rotformeln ger \( q=2 \) eller \( q=-3 \) (duger inte). (1 poäng)

      Vinklarnas storlek är \( \dfrac{\pi}{7}, \dfrac{2\pi}{7} \) och \( \dfrac{4\pi}{7} \). (1 poäng)