5. Antalet reella rötter för ekvationer

Vi går från ekvationer och olikheter till funktioner.

Inledande uppgifter

För vilka värden på konstanten \( a \) har ekvationen \( x^3 +ax^2 + x =0 \) endast en reell rot?

3-1.png

Antag att \( f(x)=x^3 +ax^2 +ax +b \)

För vilka värden på konstanten \( a \) har funktionen extremvärden?
Bestäm konstanten \( a \) och \( b \) så att funktionen har extremvärdet 4 då \( x=1 \).

Lösningar

För vilka värden på konstanten \( a \) har ekvationen \( x^3-3x+a=0 \) tre olika stora reella rötter?

3-3bild.png Idé

3-3.png

För vilka värden på konstanten \( a \) är olikheten \( 3 x^2 -4x +a > 0 \) sann för alla \( x \in \mathbb{R} \)?

\( a > \dfrac{4}{3} \)
Visa att ekvationen \( x-2\ln x =0 \) saknar reella rötter. [H05, 11]

Lösningen
Visa att \( e^x \geq x+1 \) för alla värden på \( x \).

Lösningen
Visa att \( \ln(2x-3) \leq 2x -4 \) då \( x > \dfrac{3}{2} \).

Lösningen
Visa att för alla \( x \)-värden \( 0 < x < \dfrac{\pi}{3} \) är \( \tan x < 2x \). [V70, 9]

Undersök funktionen \( f(x)=\tan x -2x \), då \( 0 < x < \dfrac{\pi}{3} \).

Visa att ekvationen \( x=\cos^2 x \) har en reell rot i intervallet \( ]0,1[ \) och att denna är ekvationens enda reella rot.

3-4.png

Låt \( x\geq 1 \). Bevisa att \( x^x -e^{x-1} \geq 0 \). För vilka värden på \( x \) gäller likhet? [V04, 11]

3-5.png