MaA 15 Repetition inför studentskrivningarna

8. Trigonometriska funktioner

Inledande uppgifter

  1. Uppgift
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  2. Uppgift
    1. Deluppgit a

      Lösningen

    2. Deluppgit b

      Lösningen

    3. Deluppgit c

      Lösningen

  3. Uppgift

    Lösningen

  4. Uppgift

    Lösningen

  5. Lite mera krävande uppgift

    Lösningen

    6. Utan räknare

    Beräkna det exakta värdet av \( \sin 2x \) då \( \sin x =\dfrac{8}{17} \) och \( \dfrac{\pi}{2} < x < \pi \).

    En triangels vinklar \( \alpha, \beta \) och \( \gamma \) satisfierar ekvationen \( \sin \alpha \sin \beta = \cos \gamma \). Visa att triangeln är rätvinklig. [V03, 6]

    Lös ekvationerna:

    1. \( 2\sin 3x - \sqrt{3} =0 \)
    2. \( 2\cos (x+\dfrac{\pi}{3})=-1 \)
    3. \( \tan \dfrac{3x}{2}=-1 \)
    4. \( \sin 2x = \cos x \)
    5. \( \cos x = -\cos 5x \)
    6. \( 4\sin x - 5\cos x =0 \) (svar med noggrannheten 0,1o)
    7. \( 2\sin^2x - 5\cos x +1=0 \)

    Antag att \( f(x)=2\sin x - \cos^2x \). Bestäm funktionens största och minsta värde.

  6. Antag att vi har \( \sin x =-\dfrac{1}{\sqrt{5}} \) och \( 180^{\circ} < x < 270^{\circ} \). Bestäm \( \cos x \) och \( \tan x \). (exakta värden!) [V05, 2]

    \( \dfrac{1}{2} \)

  7. För vilka värden på konstanten \( a \) har ekvationen \( \sin 3x = \dfrac{a-2}{2} \) lösningar? Lös ekvationen då \( a=1 \).

    \( 0 \leq a\leq 4 \) och \( x=-10^{\circ} + n\cdot 120^{\circ} \vee x=70^{\circ} +n\cdot 120^{\circ} \).

  8. Lös följande ekvationer.
    1. \( 2 \cos \dfrac{x}{2} +1 =0 \)

      \( x=\pm 240^{\circ} + n\cdot 720^{\circ} \)

    2. \( \cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\sin x \)

      \( x=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\pi \)

  9. Beräkna och förenkla \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x +\cos x) \mathrm{\,d}x \). [H16, 1c)]

    \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x +\cos x) \mathrm{\,d}x & = & \bigg/_0^{\frac{\pi}{2}} -\cos x + \sin x \\ & = & -\cos \dfrac{\pi}{2} +\sin \dfrac{\pi}{2} -(-\cos 0 + \sin 0)\\ & = & 0+1-(-1+0) \\ & = & 1+1 =2 \end{array} \)

  10. Lös ekvationen \( 3\sin x -2 \cos^2 x =0 \)

    \( x=30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ} \vee x=150^{\circ} + n\cdot 360 ^{\circ} \)

  11. Bestäm det största och det minsta värdet av funktionen \( f(x)=\sqrt{3}\sin x +\cos x \).

    Största är 2, minsta är -2.

  12. Visa att funktionen \( f(x)=x+\sin^2x \) alltid växer.

    Visa att \( f'(x)\geq 0 \).

  13. Visa att värdet av uttrycket \( \sin^4x + \cos^4x + \dfrac{1}{2}\sin^2 2x \) är oberoende av värdet på x.

    Utnyttja dig av trigonometriska formler och kvadratkomplettering så blir det bra.

    Uttrycket =1, oberoende av \( x \).

    14. Med räknare

    Temperaturen (oC) under ett dygn i oktober i Helsingfors kan räknas med formeln \( f(t)=4,5 - 8,5 \sin(\dfrac{\pi t}{12}) \) där \( t \) är tiden i timmar räknat från midnatt.

    1. Ange den högsta och lägsta temperaturen under dygnet.
    2. Hur snabbt stiger eller sjunker temperaturen kl 16.00 (ge svaret med noggranheten 0,1oC/h).
    3. Vid vilket klockslag är temperaturstegringen möjligast stor?