MaA 7 Trigonometriska funktioner

1. Riktad vinkel

I MaA 3 arbetade vi med vinklar och geometri. Vi börjar nu denna kurs med att fördjupa oss i vinkelbegreppet.

För att vi skall ha en vinkel skall vi ha två linjer som skär varandra eller vinkeln mellan två strålar som utgår från samma punkt. Den gemensamma punkten kallas för vinkelns spets och linjerna eller strålarna för vinkelns ben eller sidor.

Beroende på om vi vrider vinkelbenen åt medurs eller moturs får vi riktade vinklar. Vrider vi moturs får vi en positiv vinkel, vrider vi medurs är vinkeln negativ.

Nedan härleder vi fram sambandet mellan båglängd och radie för en vinkel.

Förhållandet mellan båglängden och radien för en vinkel är konstant och förhållandet berättar för oss storleken på vinkeln. Denna storlek har enheten radianer.

\( \alpha = \dfrac{b}{r} \)

Exempel 1 Bestäm storleken av vinkeln i figuren.

Lösning

Vi får vinkeln som \( \alpha=\dfrac{b}{r}=\dfrac{1,5}{2} \text{ rad} = 0,75 \text{ rad} \).

Exempel 2 Bestäm storleken av en rak vinkel i radianer.

Lösning

En rak vinkel har storleken \( 180^{\circ} \). Det är också vinkeln för en halv cirkel. Vi utgår från den och får \( \dfrac{\dfrac{2\pi r}{2}}{r} = \dfrac{2\pi r}{2r} = \pi \text{ radianer} \)

Vi har följande samband mellan radianer och grader, \( \pi \text{ rad}=180^{\circ} \)

Exempel 3 Hur många radianer är en vinkel som är \( 140^{\circ} \)

Lösning

Eftersom \( \pi \text{ rad} = 180^{\circ} \) så bildar vi förhållandet \( \dfrac{x}{\pi} = \dfrac{140^{\circ}}{180^{\circ}} \) som ger \( x = \dfrac{140^{\circ}}{180^{\circ}}\cdot \pi = 2,44 \) rad.

Exempel 4 Bestäm storleken av vinkeln 2 radianer som grader.

Lösning

Vi bildar förhållandet\( \dfrac{x}{180^{\circ}}=\dfrac{2 \text{ rad}}{\pi \text{ rad}} \) som ger\( \dfrac{2 \text{ rad}}{\pi \text{ rad}}\cdot 180^{\circ} = 144,59 \approx 144,6^{\circ} \).

Uppgifter

  1. Är följande vinklar positiva eller negativa?

    De som öppnar sig moturs är positiva, de som öppnar sig medurs negativa.

    1. Positiv
    2. Negativ
    3. Negativ
    4. Positiv
    5. Negativ
  2. Bestäm storleken av vinkeln i figuren i radianer.

    1. \( \alpha = \dfrac{b}{r}=\dfrac{4}{5}= 0,8 \text{ rad} \).

    2. \( \alpha = \dfrac{b}{r}=\dfrac{5}{2}= 2,5 \text{ rad} \).

  3. Bestäm storleken av vinkeln i figuren i grader genom att först bestämma storleken i radianer.

    \( \alpha=\dfrac{2\pi}{4} \text{ radianer}=\dfrac{\pi}{2} \text{ radianer} = 90^{\circ} \).

  4. Kombinera storleken av vinkel i grader med storleken av vinkeln i radianer.

    Vinkeln i grader:

    \( 270^{\circ} \)
    \( 90^{\circ} \)
    \( 0^{\circ} \)
    \( 180^{\circ} \)
    \( 360^{\circ} \)

    Vinkeln i radianer:

    \( 0 \) radianer
    \( \dfrac{\pi}{2} \) radianer
    \( \pi \) radianer
    \( \dfrac{3\pi}{2} \) radianer
    \( 2\pi \) radianer

    \( 0^{\circ} = 0 \text{ radianer} \)

    \( 90^{\circ} =\dfrac{\pi}{2} \text{ radianer} \)

    \( 180^{\circ} =\pi \text{ radianer} \)

    \(270^{\circ} =\dfrac{3\pi}{2} \text{ radianer}\)

    \( 360^{\circ} =2\pi \text{ radianer} \)

  5. Kombinera storleken av vinkel i grader med storleken av vinkeln i radianer.

    Vinkeln i grader:

    \( 30^{\circ} \)
    \( 90^{\circ} \)
    \( 450^{\circ} \)
    \( 180^{\circ} \)
    \( 45^{\circ} \)
    \( 540^{\circ} \)
    \( 60^{\circ} \)

    Vinkeln i radianer:

    \( \dfrac{\pi}{6} \) radianer
    \( \dfrac{\pi}{3} \) radianer
    \( \dfrac{\pi}{2} \) radianer
    \( \pi \) radianer
    \( \dfrac{\pi}{4} \) radianer
    \( \dfrac{5\pi}{2} \) radianer
    \( 3\pi \) radianer

    \( 30^{\circ} = \dfrac{\pi}{6} \text{ radianer} \)

    \( 45^{\circ} =\dfrac{\pi}{4} \text{ radianer} \)

    \( 60^{\circ} =\dfrac{\pi}{3} \text{ radianer} \)

    \( 90^{\circ} =\dfrac{\pi}{2} \text{ radianer} \)

    \( 180^{\circ} =\pi \text{ radianer} \)

    \( 450^{\circ} =\dfrac{5\pi}{2} \text{ radianer} \)

    \( 540^{\circ} =3\pi \text{ radianer} \)

  6. Rita följande riktade vinklar \( \pm\dfrac{\pi}{2}, \pm\pi, \pm\dfrac{3\pi}{2} \) och \( \pm 2\pi \) i olika eller samma koordinatsystem. Placera ena vinkelbenet på x-axeln och vinkelspetsen i origo.

    Det kan se snurrigt it. Dina vinklar blir spegelbilder av varandra.

  7. Längden av bågen i en sektor är 12 m och radien är 4,0 m. Hur stor är sektorvinkeln i radianer och grader?

    Som radianer: \( \alpha = \dfrac{12 \text{ m}}{4 \text{ m}} = 3 \) radianer.

    Som grader: \( \dfrac{x}{180^{\circ}} = \dfrac{3 \text{ rad}}{\pi \text{ rad}} \) ger \( \alpha = 171,9^{\circ} \).

  8. Radien av en sektor är 36. Beräkna båglängden då medelpunktsvinkeln är
    1. \( \dfrac{\pi}{9} \text{ rad} \)

      Eftersom medelpunktsvinkeln är \( \dfrac{\pi}{9} \text{ rad} \) får vi sambandet \( \dfrac{\pi}{9} \text{ rad} = \dfrac{b}{36} \).

      Vi får \( b = 4\pi \) l.e.

    2. 230o

      230o motsvaras av \( \dfrac{x}{\pi \text{ rad}} = \dfrac{230^{\circ}}{180^{\circ}} \). Alltså \( \dfrac{23}{18}\pi \text{ rad} \).

      Vi får sambandet \( \dfrac{23}{18}\pi \text{ rad} = \dfrac{b}{36} \).

      Vi får \( b = 46\pi \) l.e.

  9. En matematiklektion är 75 minuter lång. Hur stor är den riktade vinkeln som följande visare vrids under en lektion? Ge svaret i radianer.
    1. Timvisaren

      Timvisaren rör sig \( \dfrac{5}{4} \) av en timme. Alltså \( \dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{48} \) av urtavlan.

      Eftersom visaren rör sig medurs är vinkeln negativ.

      Vinkeln är \( -2\pi \cdot \dfrac{5}{48} = -\dfrac{5\pi}{24} \) radianer.

    2. Minutvisaren

      Minutvisaren rör sig \( \dfrac{5}{4} \) av ett varv.

      Eftersom visaren rör sig medurs är vinkeln negativ.

      Vinkeln är \( -2\pi \cdot \dfrac{5}{4} = -\dfrac{5\pi}{2} \) radianer.

    3. Sekundvisaren

      Sekundvisare rör sig 75 varv under en lektion.

      Eftersom visaren rör sig medurs är vinkeln negativ.

      Vinkeln är \( -2\pi \cdot 75 = -150\pi \) radianer.

  10. Visa att arean för en sektor med radien \( r \) kan vi bestämma med formeln \( A = \dfrac{1}{2} \alpha r^2 \) där \( \alpha \) är medelpunktsvinkeln i radianer.

    Vinkeln i radianer är \( \alpha \), vinkeln i grader är \( \beta \).

    Arean av en sektor där medelpunktsvinkeln är \( \beta \) är \( A = \dfrac{\beta}{360^{\circ}} \pi r^2 \).

    Mellan grader och radianer har vi sambandet \( \dfrac{\beta}{180^{\circ}} = \dfrac{\alpha}{\pi \text{ rad}} \). Alltså \( \beta = 180^{\circ} \cdot \dfrac{\alpha}{\pi} \).

    Vi får \( A = \dfrac{180^{\circ} \cdot \frac{\alpha}{\pi}}{360^{\circ}} \pi r^2 =\ldots= \dfrac{1}{2}\alpha r^2 \).

    1. Bestäm arean av en sektor vars medelpunktsvinkel är 2,8 rad och cirkelns radie är 11,4 cm.

      Rakt på sak, 182 cm2.

    2. En sektors area är 12 och radien är 4. Bestäm storleken av medelpunktsvinkeln i radianer och grader. Bestäm också längden av cirkelbågen.

      Utnyttja formeln. Vinkeln är 1,5 rad eller 85,9o. Längden av cirkelbågen är 6.