MaA 7 Trigonometriska funktioner

9. Sammansatt funktion

Då vi arbetar med trigonometriska funktioner får vi lätt funktioner som f(x)=sin(2x)f(x)=sin(2x), eller g(x)=cos2xg(x)=cos2x. Bägge funktionerna består av två funktioner: f av sinxsinx och 2x2x. Då vi skriver gg som (cosx)2(cosx)2 ser vi bättre att gg består av x2x2 och cosxcosx.

För att kunna undersöka denna typ av funktioner måste vi behandla och lära oss om sammansatta funktioner.

Vi arbetar med funktionerna f(x)=x2f(x)=x2 och med g(x)=2x−1g(x)=2x−1. Vi kan kombinera dessa funktioner på två olika sätt, som f(g(x))f(g(x)) och som g(f(x))g(f(x)). I f(g(x))f(g(x)) sätter vi först in värdet i funktionen gg och sedan in resultatet i ff.

För g(f(x))g(f(x)) så börjar vi med att först sätta värdet i ff och sedan sätter vi resultatet i gg.

Vi betecknar det som f(g(x))=(2x−1)2f(g(x))=(2x−1)2 och g(f(x))=2x2−1g(f(x))=2x2−1. Då vi bildar f(g(1))=(2⋅1−1)2=1 och g(f(x))=2⋅12−1=3 så märker vi att det spelar en roll hur vi bildar våra sammansatta funktioner.

För beteckningen f(g(x)) eller f(g) är f yttre funktion och g är inre funktion. Vi sätter först värdet in i den inre funktionen och sedan in i den yttre funktionen.

För beteckningen f(g(x))=f(g) brukar man skriva f∘g, som utläses "f boll g".

Exempel 1 Låt f(x)=√x−1, x>1 och g(x)=x2+1, x>0. Bilda f∘g och g∘f.

Uppgifter

  1. Identifiera funktionerna. Vilken funktion är den inre- och vilken är den yttre funktionen?
    1. (3x−1)3

      x3 är yttre, 3x−1 är inre funktion.

    2. √4x−1

      √ är yttre, 4x−1 är inre funktion.

    3. lg2x

      lg är yttre, 2x är inre funktion.

  2. Identifiera funktionerna. Vilken funktion är den inre- och vilken är den yttre funktionen?
    1. cos4x

      cosx är yttre, 4x är inre funktion.

    2. tan22x

      tan22x=(tan2x)2.

      x2 är yttre, tan2x är inre funktion.

    3. sin(cosx)

      sinx är yttre, cosx är inre funktion.

  3. Låt f(x)=√x och g(x)=x−1. Välj de rätta alternativen.
    Påståendef(g)g(f)f∘gg∘f
    √x−1
    √x−1

    Påståendef(g)g(f)f∘gg∘f
    √x−1
    √x−1

  4. Låt f(x)=3x2 och g(x)=sinx. Bilda
    1. f∘g

      f∘g=f(g)=3(sinx)2=3sin2x

    2. g∘f

      g∘f=g(f)=sin3x2

    3. g∘g

      g∘g=g(g)=sin(sinx)

      Obs! Detta är inte samma som sin2x.

  5. Låt f(x)=√x och g(x)=(x+1)2. Bilda
    1. f∘g

      f∘g=f(g)=√(x+1)2=x+1

    2. g∘f

      g∘f=g(f)=(√x+1)2

    3. f∘f

      f∘f=f(f)=√√x=4√x

  6. Beräkna värdet av f∘g för variabelvärdet -3 då
    1. f(x)=x2+2x−1 och g(x)=5x

      Vi har f∘g=(5x)2+2(5x)−1=25x2+10x−1

      Funktionsvärdet, f(g(−3))=25(−3)2+10(−3)+1=196.

    2. g(x)=3x+1 och f(x)=x2x−1

      Vi har f∘g=(3x+1)2(3x+1)−1=3x+16x+1

      Funktionsvärdet, f(g(−3))=3(−3)+16(−3)+1=817.

    3. f(x)=2x2+x och g(x)=√6−x

      Vi har f∘g=2(√6−x)2+(√6−x)=−2x+12+√6−x

      Funktionsvärdet, f(g(−3))=2(−3)+12+√6−(−3)=9.

  7. Beräkna värdet av f∘g och bestäm dess definitionsmängd.
    1. f(x)=xx+1 och g(x)=x1−x

      Vi har f∘g=(x1−x)(x1−x)+1=x

      Definitionsmängden är alla reella tal.

    2. f(x)=3x+1 och g(x)=x2x−1

      Vi har f∘g=3(x2x−1)+1=3x2x−1+1

      Definitionsmängden är då nämnaren inte får värdet 0. Alltså x≠12.

    3. f(x)=√−x och g(x)=x2−4

      Vi har f∘g=√−(x2−4)=√4−x2

      Definitionsmängden är då radikanden, det under roten är positiv. Alltså −2≤x≤2.

  8. Låt f(x)=x2. Bestäm g(x) så att
    1. f∘g=(2x−1)2

      g(x)=2x−1

    2. g∘f=x

      g(x)=√x