5. Ekvationer med cosinus

Ekvationen $\cos \alpha = a$

För ekvationen $\cos \alpha =a$ utgår vi på samma sätt som för ekvationen $\sin \alpha = a$ . Vi börjar med en enhetscirkel och kommer ihåg att cosinus ger periferipunktens x-koordinat.

Vi får att

På bilden gäller att $\beta = -\alpha$ . Vi får att ekvationen $\cos \alpha =a$ har två lösningar, vinklarna $\alpha$ och $-\alpha$ . När vi går hela varv kommer vi tillbaka till samma periferipunkter.

Lösningarna för ekvationen $\cos \alpha =a$ där $\alpha_0$ är en lösning kan vi skriva som

$\alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 360^{\circ}$ där n är ett heltal, eller som

$\alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 2\pi$ där n är ett heltal.

Exempel 1 Lös ekvationen

$2\cos \alpha +1=0$

Lösning

Vi får

$\begin{array}{rcl} 2 \cos \alpha +1 & = & 0 \\ 2 \cos \alpha & = & =-1 \\ \cos \alpha & = & = -\dfrac{1}{2} \\ \end{array}$

En vinkel som uppfyller villkoret är $\alpha = 120^{\circ} = \dfrac{2\pi}{3}$ .

(Vissa exakta värden för vinklar för sinus och cosinus hittar du i MAOL:s tabeller.)

Vi får alltså $\alpha = \pm \dfrac{2\pi}{3} +n\cdot 2\pi$ , där $n \in \mathbb{Z}$ .

Exempel 2 Bestäm de vinklar som uppfyller ekvationen

$\cos \alpha = \cos 3\alpha$ .

Lösning

Vi får $\alpha =\pm 3\alpha +n\cdot 2\pi$ som vi måste dela upp i två olika fall.

Fall 1

$\begin{array}{rcll} \alpha & = & 3\alpha +n\cdot 2\pi \\ -2 \alpha & = & n\cdot 2\pi & | /(-2)\\ \alpha & = & -n\cdot \pi & \end{array}$

som är samma som $\alpha = n\cdot \pi$ eftersomn är ett heltal.

Fall 2

$\begin{array}{rcll} \alpha & = & -3\alpha +n\cdot 2\pi \\ 4 \alpha & = & n\cdot 2\pi & | /4\\ \alpha & = & n\cdot \dfrac{\pi}{2} & \end{array}$

Lösningarna kan vi skriva som $\alpha = n\cdot \dfrac{\pi}{2}$ , där n är ett heltal.

För ekvationer med cosinus gäller följande

$\cos \alpha = a$

$\alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 360^{\circ}$ där n är ett heltal

eller som

$\alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 2\pi$ där n är ett heltal.

Uppgifter

Lös följande ekvationer med en tiondels grads noggrannhet.
1. $\cos \alpha = 0,76$
  
  Räknaren ger oss $40,5^{\circ}$ .
  
  Alla vinklar är $\alpha = \pm 40,5^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$ där $n$ är ett heltal.
2. $\cos \alpha = 0,15$
  
  Räknaren ger oss $81,4^{\circ}$ .
  
  Alla vinklar är $\alpha = \pm 81,4^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$ där $n$ är ett heltal.
3. $\cos \alpha = -0,76$
  
  Räknaren ger oss $139,5^{\circ}$ .
  
  Alla vinklar är $\alpha = \pm 139,5^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$ där $n$ är ett heltal.
  
  Vi kan inte förenkla vinkeln, men vi kan tänka att cosinus av vinklarna som har värdena 0,76 och -0,76 hänger ihop som så att $180^{\circ} - 40,5^{\circ} = 139,5^{\circ}$ .
Lös följande ekvationer med en tiondels grads noggrannhet.
1. $\cos \alpha = 0,42$
  
  Räknaren ger oss $65,17^{\circ}$ .
  
  Alla vinklar är $\alpha = \pm 65,2^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$ där $n$ är ett heltal.
2. $\cos \alpha = -0,50$
  
  Räknaren ger oss $120^{\circ}$ .
  
  Alla vinklar är $\alpha = \pm 120^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$ där $n$ är ett heltal.
  
  Vi kan inte förenkla vinkeln, men vi kan tänka att cosinus av vinklarna som har värdena 0,50 och -0,50 hänger ihop som så att $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ .
3. $\cos \alpha = -0,88$
  
  Räknaren ger oss $151,64^{\circ}$ .
  
  Alla vinklar är $\alpha = \pm 151,6^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$ där $n$ är ett heltal.
  
  Vi kan inte förenkla vinkeln, men vi kan tänka att cosinus av vinklarna som har värdena 0,88 och -0,88 hänger ihop som så att $180^{\circ} - 151,6^{\circ} = 28,4^{\circ}$ .

Bestäm de exakta värdena av cosinus för följande vinklar

	-1	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$-\dfrac{1}{2}$	0	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos 0$
$\cos \dfrac{\pi}{6}$
$\cos \dfrac{\pi}{4}$
$\cos \dfrac{\pi}{3}$
$\cos \dfrac{\pi}{2}$
$\cos \dfrac{2\pi}{3}$
$\cos \dfrac{3\pi}{4}$
$\cos \dfrac{5\pi}{6}$
$\cos \pi$

	-1	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$-\dfrac{1}{2}$	0	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos 0$
$\cos \dfrac{\pi}{6}$
$\cos \dfrac{\pi}{4}$
$\cos \dfrac{\pi}{3}$
$\cos \dfrac{\pi}{2}$
$\cos \dfrac{2\pi}{3}$
$\cos \dfrac{3\pi}{4}$
$\cos \dfrac{5\pi}{6}$
$\cos \pi$

Lös följande ekvationer genom att använda dig av radianer.
1. $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Tabellboken ger oss $\dfrac{\pi}{4}$ .
  
  Alla vinklar är $\alpha = \pm \dfrac{\pi}{4} + n\cdot 2\pi$ där $n$ är ett heltal.
2. $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  
  Tabellboken ger oss $\dfrac{\pi}{6}$ .
  
  Alla vinklar är $\alpha = \pm \dfrac{\pi}{6} + n\cdot 2\pi$ där $n$ är ett heltal.
3. $\cos 2\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Tabellboken ger oss en vinkel $\dfrac{\pi}{4}$ .
  
  Vi får
  
  $\begin{array}{rcl} 2 \alpha & = & \pm \dfrac{\pi}{4} + n\cdot 2\pi \\ \alpha & = & \pm \dfrac{\pi}{8} + n\cdot \pi, n \in \mathbf{ Z } \\ \end{array}$
4. $\cos 3\alpha = \dfrac{1}{2}$ .
  
  Tabellboken ger oss en vinkel $\dfrac{\pi}{3}$ .
  
  Vi får
  
  $\begin{array}{rcl} 3 \alpha & = & \pm \dfrac{\pi}{3} + n\cdot 2\pi \\ \alpha & = & \pm \dfrac{\pi}{9} + n\cdot \dfrac{2\pi}{3}, n \in \mathbf{ Z } \\ \end{array}$
Bestäm $\cos 2 \alpha = 0$ .

Enhetscirkeln ger oss att $\dfrac{\pi}{2} = 0$ . För cosinus gäller att lösningen är en vinkel och dess motsatta vinkel.

Alltså

$\begin{array}{rcll} 2 \alpha & = & \pm\dfrac{\pi}{2} +n\cdot 2 \pi & | /2\\ \\ \alpha & = & \pm\dfrac{\pi}{4} +n\cdot \pi \end{array}$
där n är ett heltal.
Bestäm $\cos 4x = \dfrac{1}{2}$ .

För cosinus gäller att $\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ . Dessutom har vi vinkeln och den motsatta.

Alltså

$\begin{array}{rcll} 4 x & = & \pm \dfrac{\pi}{3} +n\cdot 2\pi & | /4 \\ \\ x & = & \pm \dfrac{\pi}{12} +n\cdot \dfrac{\pi}{2} \end{array}$

där n är ett heltal.
Lös ekvationen $2\cos \alpha -1 =0$ .

Vi får att

$\begin{array}{rcl} 2 \cos \alpha -1 & = & 0\\ 2\cos \alpha & = & 1 \\ \cos \alpha & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array}$

som har lösningen $\alpha=\dfrac{\pi}{3} + n\cdot 2\pi$ där $n\in \mathbb{Z}$ . För cosinus har vi vinkeln och dess motsatta vinkel.

Alltså $\alpha = \pm \dfrac{\pi}{3} + n\cdot 2\pi, n \in \mathbb{Z}$ .
Bestäm de $x$ som löser ekvationen $\cos (3x +\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Enhetscirkleln eller tabellboken ger oss att $\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vi får

$\begin{array}{rcll} 3x +\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{6} +n\cdot 2\pi \\ 3x = \dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2} +n\cdot 2\pi \\ 3x = -\dfrac{\pi}{3} +n\cdot 2\pi & | /3\\ x = -\dfrac{\pi}{9} +n\cdot \dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array}$

och

$\begin{array}{rcll} 3x +\dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{6} +n\cdot 2\pi \\ 3x = -\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2} +n\cdot 2\pi \\ 3x = -\dfrac{2\pi}{3} +n\cdot 2\pi & | /3\\ x = -\dfrac{2\pi}{9} +n\cdot \dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array}$

Alltså $x = -\dfrac{\pi}{9} +n\cdot \dfrac{2\pi}{3}$ och $x = -\dfrac{2\pi}{9} +n\cdot \dfrac{2\pi}{3}$ där $n\in \mathbf{Z}$ .
Bestäm $\cos \dfrac{x}{3} =\cos \dfrac{x}{2}$ .

Vi får

$\begin{array}{rcll} \dfrac{x}{3} & = & \dfrac{x}{2} +n \cdot 2\pi \\ \dfrac{x}{3} -\dfrac{x}{2} & = & n \cdot 2\pi \\ -\dfrac{x}{6} & = & n \cdot 2\pi & |\cdot (-6) \\ x & = & -n\cdot 12 \pi \\ & = & n\cdot 12\pi\\ \end{array}$

och

$\begin{array}{rcll} \dfrac{x}{3} & = & -\dfrac{x}{2} +n \cdot 2\pi \\ \dfrac{x}{3} +\dfrac{x}{2} & = & n \cdot 2\pi \\ \dfrac{5x}{6} & = & n \cdot 2\pi & |\cdot \dfrac{6}{5} \\ x & = & n\cdot \dfrac{12 \pi}{5} \\ \end{array}$

Alltså $x=n\cdot 12\pi$ och $x =n\cdot \dfrac{12 \pi}{5}$ .
Bestäm $\cos 2x =\cos \dfrac{x}{4}$ .

Vi får

$\begin{array}{rcll} 2x & = & \dfrac{x}{4} +n \cdot 2\pi \\ 2x -\dfrac{x}{4} & = & n \cdot 2\pi \\ \dfrac{7x}{4} & = & n \cdot 2\pi & |\cdot \dfrac{4}{7} \\ x & = & n\cdot \dfrac{8\pi}{7} \\ \end{array}$

och

$\begin{array}{rcll} 2x & = & -\dfrac{x}{4} +n \cdot 2\pi \\ 2x +\dfrac{x}{4} & = & n \cdot 2\pi \\ \dfrac{9x}{4} & = & n \cdot 2\pi & |\cdot \dfrac{4}{9} \\ x & = & n\cdot \dfrac{8\pi}{9} \\ \end{array}$

Alltså $x=n\cdot \dfrac{8\pi}{7}$ och $x=n\cdot \dfrac{8\pi}{9}$ .
Lös $\cos^2 x +\cos x =2$ .

Vi substituerar $\cos x =t$ . Då får vi ekvationen $t^2 +t = 2 \Leftrightarrow t^2-t-2=0$ som har lösningarna $t_1 = 1$ och $t_2=-2$ .

Då vi substituerar tillbaka får vi $\cos x = 1$ och $\cos x =-2$ .

För $\cos x = 1$ gäller att $x= 0 +n\cdot 2\pi$ . Ekvationen $\cos x = -2$ saknar lösningar eftersom värdemängden för cosinus är mellan -1 och 1.

Alltså $x= 0 +n\cdot 2\pi$ där $n \in \mathbf{Z}$ .
Bestäm $\cos(\cos x )=1$ .

Cosinus får värdet 1 då vinkeln har värdet $0 +n\cdot 2\pi$ .

Då gäller att den inre $\cos x =0$ , alltså $x=\dfrac{\pi}{2}$ och $x=\dfrac{3\pi}{2}$ .

Som vi kan skriva som $x = \dfrac{\pi}{2} +n\cdot \pi$ .

5. Ekvationer med cosinus

Ekvationen cosα=a \cos \alpha = a

Lösning

Lösning

För ekvationer med cosinus gäller följande

Uppgifter

Ekvationen $\cos \alpha = a$