6. Tangens och dess egenskaper
Hittils har vi bekantant oss med sinus och cosinus. Till nästa tar vi och lär oss om tangens. Tangens får vi genom att bilda förhållandet sinxcosxsinxcosx.
Lösning
Eftersom nämnaren inte får få värdet noll så är tangens definierad då cosα≠0cosα≠0. Alltså då α≠π2+n⋅π,n∈Zα≠π2+n⋅π,n∈Z.
Då vi kommer ihåg att sinα=motstående katethypotenusasinα=motstående katethypotenusa och cosα=närliggande katethypotenusacosα=närliggande katethypotenusa får vi att tanα=sinαcosα=motstående katethypotenusanärliggande katethypotenusa=motstående katetnärliggande katettanα=sinαcosα=motstående katethypotenusanärliggande katethypotenusa=motstående katetnärliggande katet.
I enhetscirkeln är periferipunktens x-koordinat cosαcosα och y-koordinat sinαsinα. Det betyder att tanαtanα är förhållandet mellan periferipunktens koordinater.
För att bestämma ett värde för tanαtanα ser vi förbi periferipunkten och går till skärningspunkten mellan vinlens linje och linjen x=1x=1, punkt C. Därifrån avläser vi y-koordinaten, punkt D, för att få ett värde för tanαtanα.
Vi talar om att punkten C är tangentpunkten för vinkeln αα. Koordinaterna för tangetpunkten är (1,tanα)(1,tanα).
Lösning
Vi har tanα=sinαcosα=2547=25⋅74=710tanα=sinαcosα=2547=25⋅74=710.
Periodicitet och symmetri hos tangens
Eftersom tangens är y-koordinaten för tangentpunkten märker vi att två vinklar ger samma värde, αα och π+απ+α. Vi adderar till ett halvt varv, 180o eller ππ radianer, och får samma tangetpunkt. Detta kan vi göra med perioden ππ. Perioden hos tangens är alltså ππ.
Alltså gäller tanα=tan(α+n⋅α)tanα=tan(α+n⋅α) där n∈Zn∈Z.
Vidare märker vi att
Vinklarna αα och π−απ−α ger varandras motsatta tal.
Alltså tanα=−tan(π−α)tanα=−tan(π−α).
Då vi jämför tangens för vinklarna αα och −α−α märker vi att de ger varandras motsatta tal.
Alltså tanα=−tan(−α)tanα=−tan(−α).
Tangens definieras som, tanx=sinxcosxtanx=sinxcosx.
Definitionsmängden för tangens är alla reella tal förutom α≠π2+n⋅π,n∈Zα≠π2+n⋅π,n∈Z.
Perioden för tangens är ππ.
För tangens gäller att tanα=tan(α+n⋅α)=−tan(π−α)=−tan(−α)tanα=tan(α+n⋅α)=−tan(π−α)=−tan(−α).
Uppgifter
- Bestäm tanαtanα i följande fall.
- Då sinα=23sinα=23 och cosα=56cosα=56.
tanα=sinαcosα=2356=23⋅65=45tanα=sinαcosα=2356=23⋅65=45.
- Då sinα=12sinα=12 och cosα=34cosα=34.
tanα=sinαcosα=1234=12⋅43=23tanα=sinαcosα=1234=12⋅43=23.
- Då sinα=13sinα=13 och cosα=35cosα=35.
tanα=sinαcosα=1335=13⋅53=59tanα=sinαcosα=1335=13⋅53=59.
- Då sinα=23sinα=23 och cosα=56cosα=56.
- Vi talar om att de trigonometriska funktionerna har teckenschema. Det betyder om de är positiva eller negativa i en viss kvadrant, område i koordinatsystemet. Rita ett koordniatsystem i ditt häfte och bestäm teckenschemat för tangens genom att studera teckenschemat för sinus och cosinus. Skriv plus eller minus i rätt kvadrant.
Vi får −++−
- Bestäm på Geogebra appletten tangensvärdet för följande vinklar genom att flytta på punkten A. Vissa vinklar får du inte helt exakt men jobba med det som är närmast. Svara med två decimalers noggrannhet.
- tan30∘
- tan45∘
- tan220∘
- tan140∘
Hur får du följande vinklar? Utnyttja symmetrin i tangens.
- tan30∘=0,58
- tan45∘=1,00
- tan220∘=0,85
- tan140∘=−0,84
- Bestäm värdet av tangens genom att du vet periferipunktens koordinater.
- Vinkeln 0o har periferipunkten (1,0). tan0∘ har då värdet
tan0∘=sin0∘cos0∘=01=0.
- Vinkeln 3π4 har periferipunkten (−1√2,1√2). tan3π4 har då värdet
tan3π4=sin3π4cos3π4=1√2−1√2=−1
- Vinkeln π3 har periferipunkten (12,√32). tanπ3 har då värdet
tanπ3=sinπ3cosπ3=√3212=√32⋅21=√3.
- Vinkeln 90o har periferipunkten (0,1). tan90∘ har då värdet
tan90∘=sin90∘cos90∘=10 är ej definierad.
- Vinkeln 0o har periferipunkten (1,0). tan0∘ har då värdet
- Bestäm exakta värden på cosα och tanα då sinα=−35 och π<α<3π2.
Eftersom sinα=35 så är hypotenusans längd 5 och ena kateten har längden 3. Den andra katetens längd är √52−32=√25−9=√16=4.
Eftersom π<α<3π2 så är cosα<0 och tanα>0.
Vi får att cosα=−45 och tanα=34.
- Bestäm exakta värden på cosα och sinα då tanα=−3 och −π2<α<0.
Eftersom tanα=−31 så är motstånde katets längd 3 och närliggande katets längd 1.
Hypotenusans längd är √32+12=√9+1=√10.
Eftersom −π2<α<0 så är sinα<0 och cosα>0.
Vi får att sinα=−3√10 och cosα=1√10.
- Bestäm sinusvärdet och cosinusvärdet för vinkeln α då vi vet att tanα=2120 och
- 0∘<α<90∘
Eftersom tanα=2120 gäller att i en rätvinklig triangel är motstående katet 21 och närliggande katet 20.
Pythagoras sats ger oss längden av hypotenusan, √202+212=29.
Eftersom vinkeln är i första kvadranten är sinus och cosinus positiva.
Vi får cosα=2029 och sinα=2129.
- 180∘<α<270∘
Eftersom vinkeln är i tredje kvadranten är sinus och cosinus positiva.
Vi får cosα=−2029 och sinα=−2129.
- 270∘<α<360∘
Eftersom vinkeln är i fjärde kvadranten gäller att tangens är negativ. Men tangens är angiven som positiv och då saknar uppgiften lösning.
- 0∘<α<90∘
- Vinkeln α uppfyller villkoret 6sinα+4cosα=0. Bestäm exakta värden för sinα och cosα.
6sinα+4cosα=0 ger oss att tanα=sinαcosα=−46=−23. Kateternas längder är alltså 2 och 3. Hypotenusans längd är √22+32=√13.
Alltså sinα=±2√13 och cosα=±3√13.
Eftersom tanα skall vara negativ måste vi alternera tecknena.
Vinklarna är sinα=2√13 och cosα=−3√13 eller sinα=−2√13 och cosα=3√13.
- Vinkeln α uppfyller villkoret 5sinα−2cosα=0. Bestäm exakta värden för sinα och cosα.
5sinα−2cosα=0 ger oss att tanα=sinαcosα=52=52. Kateternas längder är alltså 5 och 2. Hypotenusans längd är √52+22=√29.
Alltså sinα=±5√29 och cosα=±2√29.
Eftersom tanα skall vara positiv måste vi ha samma tecken.
Vinklarna är sinα=5√29 och cosα=2√29 eller sinα=−5√29 och cosα=−2√29.
- När vi bildade tangens utförde vi divisionen sinxcosx. Om vi utför divisionen cosxsinx får vi tangens inversa funktion, cotangens, cotx. Bestäm definitionsmängden för cotx.
Eftersom cotx=cosxsinx är cotangens definierad i alla reella tal förutom då sinx=0. Alltså då x=0+n⋅π där n∈Z.