MaA 8 Rot- och logaritmfunktioner

1. Potenser

Vi börjar resan mot kvadratrötter, logaritmer och exponentialfunktioner genom att repetera potenser.

Vi bestämmer tillsammans

  1. \( (-4)^2 \)
  2. \( -4^2 \).

Exempel 1 Förenkla

  1. \( (3a)^3 \)
  2. \( \left(\dfrac{2}{a}\right)^2 \)
  3. \( a^2 \cdot a^4 \)
  4. \( \dfrac{y}{y^3} \)
  5. \( \left(a^2\right)^3 \).

Lösning

  1. \( (3a)^3 =(3a)(3a)(3a)=3^3a^3 = 27a^3 \)
  2. \( (\dfrac{2}{a})^2 =\dfrac{2}{a}\cdot \dfrac{2}{a}=\dfrac{4}{a^2} \)
  3. \( a^2 \cdot a^4 = a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a =a^6 \)
  4. \( \dfrac{y}{y^3} =\dfrac{1}{y^2} \)
  5. \( (a^2)^3 = (a^2)(a^2)(a^2)=a^6 \)

När vi förenklar potenser brukar vi inte skriva ut alla mellansteg, utan vi använder oss av följande formler:

\( \begin{array}{ll} & \textrm{exempel} \\ (ab)^n = a^n b^n & 3^2\cdot 4^2 = (3\cdot 4)^2 = 12^2 \\ (\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n} & (\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1^2}{2^2}=\dfrac{1}{4}\\ a^m a^n = a^{m+n} & 3^2\cdot 3^4 = 3^6 \\ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, a\not=0 & \dfrac{4^5}{4^2}=4^{5-2}=4^3 \\ (a^m)^n=a^{mn} =(a^n)^m & (2^3)^2=2^{3\cdot 2} = 2^6 \\ \end{array} \)

Exempel 2 Förenkla

  1. \( (-3a)^4 \)
  2. \( 2^2 \cdot 4^3 \).

Lösning

  1. \( (-3a)^4 =(-3)^4\cdot a^4=81a^4 \)
  2. \( 2^2 \cdot 4^3= 2^2\cdot (2^2)^3 = 2^2 \cdot 2^6 = 2^8 \)

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \( -1^{2014} \)

      \( -1^{2014}=-1 \), vi har ingen parentes. Jämför med \( (-1)^{2014}=-1 \).

    2. \( -2014^1 \)

      \( -2014^1=-2014 \)

    3. \( (-1)^{2014} \)

      \( (-1)^{2014}=1 \), vi har en jämn exponent.

  2. Bestäm värdet av uttrycket
    1. \( (-3-7)^2 \)

      \( (-3-7)^2 =(-10)^2=100 \)

    2. \( (-3)^2-7^2 \)

      \( (-3)^2-7^2 =9-49=-40 \)

    3. \( -3^2-7^2 \)

      \( -3^2-7^2 =-9-49=-58 \)

    4. \( (-3)^2 \cdot (-7)^2 \)

      \( (-3)^2 \cdot (-7)^2=9\cdot 49=441 \)

    5. \( (-3)^2-(-7)^2 \)

      \( (-3)^2-(-7)^2=9-49=-40 \)

  3. Skriv som potenser och förenkla
    1. \( a \cdot aaa \)

      \( a \cdot aaa=a \cdot a^3 = a^4 \)

    2. \( \dfrac{xxxxx}{xx} \)

      \( \dfrac{xxxxx}{xx}=\dfrac{x^5}{x^2} = x^3 \) \)

    3. \( \dfrac{bb}{bbbbbb} \)

      \( \dfrac{bb}{bbbbbb}=\dfrac{b^2}{b^6} = \dfrac{1}{b^4} = b^{-4} \)

    4. \( nnnnnn \cdot \dfrac{1}{nnn} \)

      \( nnnnnn \cdot \dfrac{1}{nnn}=n^6 \cdot \dfrac{1}{n^3} = n^3 \)

  4. Bestäm
    1. \( \left(-1 \dfrac{2}{3}\right)^3 \)

      \( \left(-1 \dfrac{2}{3}\right)^3=(-\dfrac{5}{3})^3=-\dfrac{125}{27} \)

    2. \( 3\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^4 \)

      \( 3\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^4=3\cdot\dfrac{2^4}{3^4}=\dfrac{3\cdot 2^4}{3^4}=\dfrac{2^4}{3^3}=\dfrac{16}{27} \)

    3. \( 3 \cdot \dfrac{2}{3^4} \)

      \( 3 \cdot \dfrac{2}{3^4}=\dfrac{2}{3^3}=\dfrac{2}{27} \)

  5. Om \( x^3 \) har värdet 12. Vilket värde har
    1. \( x^6 \)

      Vi får \( x^6 = (x^3)^2 = 12^2 = 144 \).

    2. \( x^{12} \)

      Vi får \( x^{12} = (x^3)^4 = 12^4 = 20 736 \).

    3. \( x^{15} \)

      Vi får \( x^{15} = (x^3)^5 = 12^5 = 248 832 \).

  6. Om \( a^{10} = 32768 \) och \( a^2 = 8\). Vilket värde har
    1. \( a^8 \)

      Vi får \( a^8 = (a^2)^4 = 8^4 = 4 096 \).

    2. \( a^{4} \)

      Vi får \( a^{4} = (a^2)^2 = 8^2 = 64 \).

  7. Bestäm värdet av
    1. \( 2 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \)

      \( 2 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^2=2\cdot \dfrac{9}{16}=\dfrac{9}{8} \)

    2. \( 8^{10} \cdot 32^7 \)

      \( 8^{10} \cdot 32^7=2^{30}\cdot 2^{35}=2^{65} \)

    3. \( \dfrac{100^{14}}{10^{27}} \)

      \( \dfrac{100^{14}}{10^{27}}=\dfrac{10^{28}}{10^{27}}=10 \)

  8. Förenkla
    1. \( a^n \cdot a^n \)

      \( a^n \cdot a^n=(a^n)^2=a^{2n} \)

    2. \( \dfrac{a^{2n+1}}{a^n a^n} \)

      \( \dfrac{a^{2n+1}}{a^n a^n}=\dfrac{a^{2n+1}}{a^{2n}}=a^{(2n+1)-2n}=a \)

    3. \( \dfrac{a^n a^n}{a^n + a^n} \)

      \( \dfrac{a^n a^n}{a^n + a^n} = \dfrac{a^{2n}}{2a^n} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a^{2n}}{a^n} = \dfrac{1}{2}a^{2n-n} = \dfrac{1}{2}a^n \)