2. Negativa exponenter och exponenten noll

Vi undersöker vad följande uttryck betyder och hur vi kan uttrycka dem:

$a^{-4}$
$a^0$ .

Exempel 1Vi bestämmer tillsammans

$(-5)^0$
$3^{-3}$
$3^{-1}$
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}$
$\left(\dfrac{a}{2}\right)^{-3}$ .

Lösning

$(-5)^0=1$
$3^{-3}=\dfrac{1}{3^3}=\dfrac{1}{27}$
$3^{-1}=\dfrac{1}{3}$
$(\dfrac{2}{3})^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}$
$(\dfrac{a}{2})^{-3}=\dfrac{1}{(\dfrac{a}{2})^3}=\dfrac{1}{\dfrac{a^3}{2^3}}=\dfrac{8}{a^3}$

Uppgifter

Bestäm
1. $9 \cdot 3^{-3}$
  
  $9 \cdot 3^{-3}=9\cdot \dfrac{1}{3^3}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$
2. $a(2a)^{-2}$
  
  $a(2a)^{-2}=a\cdot\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{1}{4a}$
3. $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1}$
  
  $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{3}$
Förenkla
1. $(x+2)^0$
  
  $(x+2)^0=1$
2. $(x+2)^1$
  
  $(x+2)^1=x+2$
3. $(x+2)^{-1}$
  
  $(x+2)^{-1}=\dfrac{1}{x+2}$
Bestäm värdet av
1. $3^{-2} - 3^0 + 3^1$
  
  $3^{-2} - 3^0 + 3^1= \dfrac{1}{9}-1+3= 2\dfrac{1}{9}$
2. $3^{-2} \cdot 3^0 / 3^1$
  
  $3^{-2} \cdot 3^0 / 3^1=\dfrac{1}{9}\cdot 1 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}$
3. $3^{-2} + ( 3^0 / 3^{-1})$
  
  $3^{-2} + ( 3^0 / 3^{-1})=\dfrac{1}{9}+(1/\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{9}+3=3\dfrac{1}{9}$
Bestäm det exakta värdet av
1. $3^{-17} + 3^{-17} + 3^{-17}$
  
  $\begin{array}{rcl} 3^{-17} + 3^{-17} + 3^{-17} & = & 3\cdot 3^{-17} \\ & = & 3^{1-17} \\ & = & 3^{-16} \\ \end{array}$
2. $7\cdot 3^{-9} + 2\cdot 3^{-9}$
  
  $\begin{array}{rcl} 7\cdot 3^{-9} + 2\cdot 3^{-9} & = & \dfrac{7}{3^9} + \dfrac{2}{3^9} \\ & = & \dfrac{9}{3^9} \\ & = & \dfrac{3^2}{3^9} \\ & = & 3^{2-9} \\ & = & 3^{-7} \\ & = & \dfrac{1}{2187} \\ \end{array}$
3. $7\cdot 10^4 + 3\cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-4}$
  
  $\begin{array}{rcl} 7\cdot 10^4 + 3\cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-4} & = & 7\cdot 10000 + 3\cdot 1 + 1\cdot \dfrac{1}{10} + 5\cdot \dfrac{1}{10000} \\ & = & 70000 + 3 + 0,1 + 0,0005 \\ & = & 70003,1005 \\ \end{array}$
4. Uttryck talet 503,706 som en summa på motsvarande sätt som ovan.
  
  $\begin{array}{rcl} 503,706 & = & 500 + 3 + 0,7 + 0,006 \\ & = & 5 \cdot 100 + 3 \cdot 1 + 7 \cdot \dfrac{1}{10} + 6 \cdot \dfrac{1}{1000} \\ & = & 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-3} \\ \end{array}$
Förenkla
1. $b^9 \cdot b^{-4}$
  
  $b^9 \cdot b^{-4}=b^9\cdot\dfrac{1}{b^4}=b^5$
2. $m^2(mn^2)^{-2}$
  
  $m^2(mn^2)^{-2}=m^2\cdot \dfrac{1}{m^2 n^4}=\dfrac{1}{n^4}$
3. $(1+n)^{-2}$
  
  $(1+n)^{-2}=\dfrac{1}{(1+n)^2}=\dfrac{1}{n^2+2n+1}$
Förenkla följande uttryck. Vilket uttryck mostvaras av 13x5 $\frac{1}{3 x^{5}}$ ?
1. $(3x)^{-5}$
  
  $\begin{array}{rcl} (3x)^{-5} & = & \dfrac{1}{(3x)^5} \\ & = & \dfrac{1}{3^5x^5} \\ & = & \dfrac{1}{243x^5} \\ \end{array}$
  
  Inte denna.
2. $3x^{-5}$
  
  $\begin{array}{rcl} 3x^{-5} & = & \dfrac{3}{x^5} \\ \end{array}$
  
  Inte denna.
3. $\dfrac{1}{3}x^{-5}$
  
  $\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}x^{-5} & = & \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{x^{5}} \\ & = & \dfrac{1}{3x^{5}} \\ \end{array}$
  
  Denna!
4. $\dfrac{x^{-5}}{3}$
  
  $\begin{array}{rcl} \dfrac{x^{-5}}{3} & = & \dfrac{\frac{1}{x^5}}{3} \\ & = & \dfrac{1}{x^5} \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = & \dfrac{1}{3x^5} \\ \end{array}$
  
  Också denna!
Förenkla
1. $\dfrac{a^{n-1}}{a^n}$
  
  $\dfrac{a^{n-1}}{a^n}=a^{(n-1)-n}=a^{-1}=\dfrac{1}{a}$
2. $a^{n-1} \cdot a^{-(n+1)}$
  
  $a^{n-1} \cdot a^{-(n+1)}=a^{(n-1)+(-(n+1))}=a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$
I följande uppgift har du olika uträkningar som följer potensreglerna. Visa att de stämmer.
1. $(ab)^{-8} = \dfrac{1}{a^8} \cdot \dfrac{1}{b^8}$
  
  Vi har
  
  $\begin{array}{rcl} (ab)^{-8} & = & a^{-8}b^{-8} \\ & = & \dfrac{1}{a^8} \cdot \dfrac{1}{b^8} \\ \end{array}$
2. $(\dfrac{a}{b})^{-8} = \dfrac{b^8}{a^8}$
  
  Vi har
  
  $\begin{array}{rcl} (\dfrac{a}{b})^{-8} & = & \dfrac{a^{-8}}{b^{-8}} \\ & = & \dfrac{\frac{1}{a^8}}{\frac{1}{b^8}} \\ & = & \dfrac{1}{a^8} \cdot \dfrac{b^8}{1} \\ & = & \dfrac{b^8}{a^8} \\ \end{array}$
  
  Eller så jobbar du via $(\dfrac{a}{b})^{-8} = \dfrac{1}{(\frac{a}{b})^8}$ .
3. $a^{19} \cdot a^{-23} = \dfrac{1}{a^4}$
  
  Vi har
  
  $\begin{array}{rcl} a^{19} \cdot a^{-23} & = & a^{+19-23} \\ & = & a^{-4} \\ & = & \dfrac{1}{a^4} \\ \end{array}$
4. $\dfrac{a^5}{a^{-9}} = a^{14}$
  
  Vi har
  
  $\begin{array}{rcl} \dfrac{a^5}{a^{-9}} & = & a^{5-(-9)} \\ & = & a^{14} \\ \end{array}$
5. $(a^{-3})^{4} = \dfrac{1}{a^{12}}$
  
  Vi har
  
  $\begin{array}{rcl} (a^{-3})^{4} & = & a^{-3 \cdot 4} \\ & = & a^{-12} \\ & = & \dfrac{1}{a^{12}} \\ \end{array}$
  
  Eller via $(a^{-3})^{4} = (\dfrac{1}{a^3})^4$ .