MaA 8 Rot- och logaritmfunktioner

2. Negativa exponenter och exponenten noll

Vi undersöker vad följande uttryck betyder och hur vi kan uttrycka dem:

  1. \( a^{-4} \)
  2. \( a^0 \).

Exempel 1Vi bestämmer tillsammans

  1. \( (-5)^0 \)
  2. \( 3^{-3} \)
  3. \( 3^{-1} \)
  4. \( \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} \)
  5. \( \left(\dfrac{a}{2}\right)^{-3} \).

Lösning

  1. \( (-5)^0=1 \)
  2. \( 3^{-3}=\dfrac{1}{3^3}=\dfrac{1}{27} \)
  3. \( 3^{-1}=\dfrac{1}{3} \)
  4. \( (\dfrac{2}{3})^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2} \)
  5. \( (\dfrac{a}{2})^{-3}=\dfrac{1}{(\dfrac{a}{2})^3}=\dfrac{1}{\dfrac{a^3}{2^3}}=\dfrac{8}{a^3} \)

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \( 9 \cdot 3^{-3} \)

      \( 9 \cdot 3^{-3}=9\cdot \dfrac{1}{3^3}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3} \)

    2. \( a(2a)^{-2} \)

      \( a(2a)^{-2}=a\cdot\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{1}{4a} \)

    3. \( \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1} \)

      \( \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{3} \)

  2. Förenkla
    1. \( (x+2)^0 \)

      \( (x+2)^0=1 \)

    2. \( (x+2)^1 \)

      \( (x+2)^1=x+2 \)

    3. \( (x+2)^{-1} \)

      \( (x+2)^{-1}=\dfrac{1}{x+2} \)

  3. Bestäm värdet av
    1. \( 3^{-2} - 3^0 + 3^1 \)

      \( 3^{-2} - 3^0 + 3^1= \dfrac{1}{9}-1+3= 2\dfrac{1}{9} \)

    2. \( 3^{-2} \cdot 3^0 / 3^1 \)

      \( 3^{-2} \cdot 3^0 / 3^1=\dfrac{1}{9}\cdot 1 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27} \)

    3. \( 3^{-2} + ( 3^0 / 3^{-1}) \)

      \( 3^{-2} + ( 3^0 / 3^{-1})=\dfrac{1}{9}+(1/\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{9}+3=3\dfrac{1}{9} \)

  4. Bestäm det exakta värdet av
    1. \( 3^{-17} + 3^{-17} + 3^{-17} \)

      \( \begin{array}{rcl} 3^{-17} + 3^{-17} + 3^{-17} & = & 3\cdot 3^{-17} \\ & = & 3^{1-17} \\ & = & 3^{-16} \\ \end{array} \)

    2. \( 7\cdot 3^{-9} + 2\cdot 3^{-9} \)

      \( \begin{array}{rcl} 7\cdot 3^{-9} + 2\cdot 3^{-9} & = & \dfrac{7}{3^9} + \dfrac{2}{3^9} \\ & = & \dfrac{9}{3^9} \\ & = & \dfrac{3^2}{3^9} \\ & = & 3^{2-9} \\ & = & 3^{-7} \\ & = & \dfrac{1}{2187} \\ \end{array} \)

    3. \( 7\cdot 10^4 + 3\cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-4} \)

      \( \begin{array}{rcl} 7\cdot 10^4 + 3\cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-4} & = & 7\cdot 10000 + 3\cdot 1 + 1\cdot \dfrac{1}{10} + 5\cdot \dfrac{1}{10000} \\ & = & 70000 + 3 + 0,1 + 0,0005 \\ & = & 70003,1005 \\ \end{array} \)

    4. Uttryck talet 503,706 som en summa på motsvarande sätt som ovan.

      \( \begin{array}{rcl} 503,706 & = & 500 + 3 + 0,7 + 0,006 \\ & = & 5 \cdot 100 + 3 \cdot 1 + 7 \cdot \dfrac{1}{10} + 6 \cdot \dfrac{1}{1000} \\ & = & 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-3} \\ \end{array} \)

  5. Förenkla
    1. \( b^9 \cdot b^{-4} \)

      \( b^9 \cdot b^{-4}=b^9\cdot\dfrac{1}{b^4}=b^5 \)

    2. \( m^2(mn^2)^{-2} \)

      \( m^2(mn^2)^{-2}=m^2\cdot \dfrac{1}{m^2 n^4}=\dfrac{1}{n^4} \)

    3. \( (1+n)^{-2} \)

      \( (1+n)^{-2}=\dfrac{1}{(1+n)^2}=\dfrac{1}{n^2+2n+1} \)

  6. Förenkla följande uttryck. Vilket uttryck mostvaras av \( \dfrac{1}{3x^5} \)?
    1. \( (3x)^{-5} \)

      \( \begin{array}{rcl} (3x)^{-5} & = & \dfrac{1}{(3x)^5} \\ & = & \dfrac{1}{3^5x^5} \\ & = & \dfrac{1}{243x^5} \\ \end{array} \)

      Inte denna.

    2. \( 3x^{-5} \)

      \( \begin{array}{rcl} 3x^{-5} & = & \dfrac{3}{x^5} \\ \end{array} \)

      Inte denna.

    3. \( \dfrac{1}{3}x^{-5} \)

      \( \begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}x^{-5} & = & \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{x^{5}} \\ & = & \dfrac{1}{3x^{5}} \\ \end{array} \)

      Denna!

    4. \( \dfrac{x^{-5}}{3} \)

      \( \begin{array}{rcl} \dfrac{x^{-5}}{3} & = & \dfrac{\frac{1}{x^5}}{3} \\ & = & \dfrac{1}{x^5} \cdot \dfrac{1}{3} \\ & = & \dfrac{1}{3x^5} \\ \end{array} \)

      Också denna!

  7. Förenkla
    1. \( \dfrac{a^{n-1}}{a^n} \)

      \( \dfrac{a^{n-1}}{a^n}=a^{(n-1)-n}=a^{-1}=\dfrac{1}{a} \)

    2. \( a^{n-1} \cdot a^{-(n+1)} \)

      \( a^{n-1} \cdot a^{-(n+1)}=a^{(n-1)+(-(n+1))}=a^{-2}=\dfrac{1}{a^2} \)

  8. I följande uppgift har du olika uträkningar som följer potensreglerna. Visa att de stämmer.
    1. \( (ab)^{-8} = \dfrac{1}{a^8} \cdot \dfrac{1}{b^8} \)

      Vi har

      \( \begin{array}{rcl} (ab)^{-8} & = & a^{-8}b^{-8} \\ & = & \dfrac{1}{a^8} \cdot \dfrac{1}{b^8} \\ \end{array} \)

    2. \( (\dfrac{a}{b})^{-8} = \dfrac{b^8}{a^8} \)

      Vi har

      \( \begin{array}{rcl} (\dfrac{a}{b})^{-8} & = & \dfrac{a^{-8}}{b^{-8}} \\ & = & \dfrac{\frac{1}{a^8}}{\frac{1}{b^8}} \\ & = & \dfrac{1}{a^8} \cdot \dfrac{b^8}{1} \\ & = & \dfrac{b^8}{a^8} \\ \end{array} \)

      Eller så jobbar du via \( (\dfrac{a}{b})^{-8} = \dfrac{1}{(\frac{a}{b})^8} \).

    3. \( a^{19} \cdot a^{-23} = \dfrac{1}{a^4} \)

      Vi har

      \( \begin{array}{rcl} a^{19} \cdot a^{-23} & = & a^{+19-23} \\ & = & a^{-4} \\ & = & \dfrac{1}{a^4} \\ \end{array} \)

    4. \( \dfrac{a^5}{a^{-9}} = a^{14} \)

      Vi har

      \( \begin{array}{rcl} \dfrac{a^5}{a^{-9}} & = & a^{5-(-9)} \\ & = & a^{14} \\ \end{array} \)

    5. \( (a^{-3})^{4} = \dfrac{1}{a^{12}} \)

      Vi har

      \( \begin{array}{rcl} (a^{-3})^{4} & = & a^{-3 \cdot 4} \\ & = & a^{-12} \\ & = & \dfrac{1}{a^{12}} \\ \end{array} \)

      Eller via \( (a^{-3})^{4} = (\dfrac{1}{a^3})^4 \).