MaA 8 Rot- och logaritmfunktioner

6. Derivatan av rotfunktionen

Derivering av rotfunktionen baserar sig på användningen av rationella exponenter och derivering av potensen av en funktion.

Rationella exponenter handlade om att vi kan uttrycka

  • \( \sqrt[n]{x} \) som \( x^{\frac{1}{n}} \),
  • \( \sqrt[n]{x^m} \) som \( x^{\frac{m}{n}} \) och
  • \( (\sqrt[n]{x})^m \) som \( x^{\frac{m}{n}} \).

Vidare har vi från algebran att \( x^{-n} =\dfrac{1}{x^n} \).

När vi deriverade potensfunktioner fick vi att \( Df^n = n \cdot f^{n-1}\cdot f' \).

När vi Deriverar rotfunktioner använder vi oss av allt detta.

Exempel 1 Derivera \( \sqrt{2x} \).

Lösning

Vi skriver \( \sqrt{2x} \) som \( (2x)^{\frac{1}{2}} \).

\( D(2x)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} \cdot (2x)^{\frac{1}{2}-1}\cdot 2 = 1\cdot (2x)^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x}} \).

Exempel 2 Derivera funktionen \( x\sqrt{x} \).

Lösning

Vi skriver \( x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}} \).

Vi får att \( Dx^{\frac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}\cdot 1 = \dfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{2} \sqrt{x} \).

Exempel 3 Derivera funktionen \( \dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \).

Lösning

Vi skriver \( \dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \) som \( \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x\sqrt{x}} =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x\cdot x^{\frac{1}{2}}} =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \).

Vi får att \( D\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{2}(-\dfrac{3}{2})x^{-\frac{3}{2}-1}\cdot 1 = -\dfrac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}} = -\dfrac{3}{4x^{\frac{5}{2}}} = -\dfrac{3}{4\sqrt{x^5}} = -\dfrac{3}{4x^2\sqrt{x}} \).

Exempel 4 Derivera funktionen \( \sqrt{5-x^2} \).

Lösning

Vi skall bestämma \( D\sqrt{5-x^2} = D(5-x^2)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}(5-x^2)^{\frac{1}{2}-1}\cdot(-2x) = -x(5-x^2)^{-\frac{1}{2}}=-\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}} \).

Exempel 5 Bestäm för funktionen \( f(x)=\sqrt{x+1} \) tangenten då \( x=1 \).

Lösning

Vi börjar med att derivera, \( D\sqrt{x+1} = D(x+1)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1}\cdot 1 = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \).

Riktningskoefficienten har värdet, \( f'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+1}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \).

Tangenten går genom punkten \( 1 \) och \( f(1)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \).

Ekvationen för en linje är, \( y-y_0=k(x-x_0) \). Tangentens ekvation är

\( \begin{array}{rll} y-\sqrt{2}= & \dfrac{1}{2\sqrt{2}}(x-1)\\ \\ y= & \dfrac{1}{2\sqrt{2}}x-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+^{2\sqrt{2})}\sqrt{2} \\ \\ = & \dfrac{1}{2\sqrt{2}}x+\dfrac{-1+4}{2\sqrt{2}} \\ \\ = & \dfrac{x}{2\sqrt{2}}+\dfrac{3}{2\sqrt{2}} & \text{ eller som }\\ \\ = & \dfrac{1}{2\sqrt{2}}(x+3).\\ \end{array} \)

Tangentens ekvation är \( y=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(x+3) \).

Exempel 6 Bestäm största och minsta värde för funktionen \( f(x)=\sqrt{4-x^2}+x \).

Lösning

Vi börjar med att bestämma då \( f \) är definierad då \( 4-x^2\geq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq 4 \Leftrightarrow -2\leq x \leq 2 \).

Sedan tar vi och skriver om \( f(x)=\sqrt{4-x^2}+x=(4-x^2)^{\frac{1}{2}}+x \).

Derivatafunktionen är \( f'(x)=\dfrac{1}{2}(4-x^2)^{\frac{1}{2}-1}(-2x)+1=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}+1 \).

Extremvärden hittar vi då \( f'(x)=0 \):

\( \begin{array}{rcll} \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}+1 & = & 0 \\ \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}} & = & -1 & \mid \cdot \sqrt{4-x^2}\\ -x & = & -\sqrt{4-x^2} \\ x & = & \sqrt{4-x^2} & \mid (\quad)^2 \\ x^2 & = & 4-x^2 \\ 2x^2 & = & 4 \\ x^2 & = & 2 \\ x & = & \pm\sqrt{2}\\ \end{array} \)

Eftersom vi har kvadrerat, testar vi rötterna: \( \dfrac{-\sqrt{2}}{\sqrt{4-(\sqrt{2})^2}}+1 = \dfrac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1 = 0 \) och \( \dfrac{-(-\sqrt{2})}{\sqrt{4-(-\sqrt{2})^2}}+1 = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1 =2 \not=0 \).

Alltså \( f'(x)=0 \) då \( x=\sqrt{2} \).

Vi finner största och minsta värdet för funktionen då \( f'(x)=0 \) eller i intervallets ändpunkter.

\( f(-2)= \sqrt{4-(-2)^2}-2 = -2 \)

\( f(\sqrt{2})= \sqrt{4-(\sqrt{2})^2}+\sqrt{2} = \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \)

\( f(2)= \sqrt{4-2^2}+2 = 2 \).

Största värdet är \( 2\sqrt{2} \).

Uppgifter

  1. Kombinera rätt rot med rätt sätt att skriva som allmän potens.

    Välj bland följande rötter:

    \( \sqrt{x} \)
    \( \sqrt[2]{x^3} \)
    \( \sqrt[3]{x} \)
    \( \sqrt[3]{x^2} \)
    \( (\sqrt[3]{x})^4 \)
    \( \sqrt[4]{x} \)
    \( \sqrt[4]{x^3} \)

    RotuttryckAllmän potens
    \( =x^{\frac{1}{2}} \)
    \( =x^{\frac{1}{3}} \)
    \( =x^{\frac{1}{4}} \)
    \( =x^{\frac{3}{2}} \)
    \( =x^{\frac{2}{3}} \)
    \( =x^{\frac{3}{4}} \)
    \( =x^{\frac{4}{3}} \)

    RotuttryckAllmän potens
    \( \sqrt{x} \)\( =x^{\frac{1}{2}} \)
    \( \sqrt[3]{x} \)\( =x^{\frac{1}{3}} \)
    \( \sqrt[4]{x} \)\( =x^{\frac{1}{4}} \)
    \( \sqrt[2]{x^3} \)\( =x^{\frac{3}{2}} \)
    \( \sqrt[3]{x^2} \)\( =x^{\frac{2}{3}} \)
    \( \sqrt[4]{x^3} \) \( =x^{\frac{3}{4}} \)
    \( (\sqrt[3]{x})^4 \) \( =x^{\frac{4}{3}} \)
  2. Derivera \( \sqrt{5x} \).

    \( D\sqrt{5x}=D(5x)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}(5x)^{\frac{1}{2}-1}\cdot 5 = \dfrac{5}{2\sqrt{5x}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}} \).

  3. Derivera \( \sqrt{x^2-3} \).

    \( D\sqrt{x^2-3}=D(x^2-3)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}(x^2-3)^{\frac{1}{2}-1}(2x) = x(x^2-3)^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-3}} \).

  4. Derivera \( \sqrt{2x^2-1} \).

    \( D\sqrt{2x^2-1}=D(2x^2-1)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}(2x^2-1)^{\frac{1}{2}-1}(4x) = 2x(2x^2-1)^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{2x}{\sqrt{2x^2-1}} \).

  5. Derivera \( \sqrt{3x^3+x^2-1} \).

    \( D\sqrt{3x^3+x^2-1}=D(3x^3+x^2-1)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}(3x^3+x^2-1)^{-\frac{1}{2}}(9x^2+2x) = \dfrac{9x^2+2x}{2\sqrt{3x^3+x^2-1}} \).

  6. Derivera \( x\sqrt{2x} \).

    \( Dx\sqrt{2x}=D(x\cdot (2x)^{\frac{1}{2}}) =D(x\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}} )= D(2^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{3}{2}})= 2^{\frac{1}{2}}Dx^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\cdot 1 = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{x}}{2}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{\dfrac{x}{2}} \).

    Eller som

    \( Dx\sqrt{2x} = D(x(2x)^{\frac{1}{2}}) \) som produkten av två funktioner.

    \( \begin{array}{rcl} D(x(2x)^{\frac{1}{2}}) & = & xD(2x)^{\frac{1}{2}}+(2x)^{\frac{1}{2}}Dx \\ & = & x \cdot \dfrac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2 + (2x)^{\frac{1}{2}} \cdot 1 \\ & = & x (2x)^{-\frac{1}{2}}+(2x)^{\frac{1}{2}} \\ & = & \dfrac{x}{\sqrt{2x}}+\sqrt{2x} \\ & = & \dfrac{x}{\sqrt{2x}}+\dfrac{2x}{\sqrt{2x}} \\ & = & \dfrac{3x}{\sqrt{2x}} \\ & = & \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \\ & = & 3\sqrt{\dfrac{x}{2}} \end{array} \)

  7. Derivera \( \dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \).

    \( D\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} = D(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x\sqrt{x}})=\dfrac{1}{2}D\dfrac{1}{x\cdot x^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{1}{2}D\dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \dfrac{1}{2}Dx^{-\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{2}(-\dfrac{3}{2})x^{-\frac{3}{2}-1}\cdot 1 =-\dfrac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}} = -\dfrac{3}{4x^2\sqrt{x}} \).

  8. Bestäm tangenten för funktionen \( f(x)=\sqrt{x-1} \) då \( x=5 \).

    \( f \) är definierad då \( x-1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1 \).

    \( f(x)=\sqrt{x-1}=(x-1)^{\frac{1}{2}} \) och \( f'(x)=\dfrac{1}{2}(x-1)^{-\frac{1}{2}}\cdot1 = \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} \).

    Tangentens riktningskoefficent har värdet \( f'(5)= \dfrac{1}{2\sqrt{5-1}}=\dfrac{1}{4} \).

    Linjen som går genom \( 5 \), \( f(5)=\sqrt{5-1}=2 \) och vars riktningskoefficent är \( \dfrac{1}{4} \) har ekvationen \( y-2=\dfrac{1}{4}(x-5) \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4} \).

  9. Bestäm tangenten för funktionen \( f(x)=x\sqrt{x} \) som har riktningskoefficienten \( 1 \).

    Funktionen \( f \) är definierad då \( x\geq 0 \).

    \( f(x)=x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}} \).

    \( f'(x)=\dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\cdot 1 = \dfrac{3\sqrt{x}}{2} \).

    Den \( x \)-koordinat där tangenten har riktningskoefficienten 1 får vi genom att lösa ekvationen \( f'(x)=1 \).

    \( \begin{array}{rcll} \dfrac{3\sqrt{x}}{2} & = & 1 & \mid \cdot \dfrac{2}{3}\\ \sqrt{x} & = & \dfrac{2}{3} & \mid (\quad)^2\\ \\ x & = & \dfrac{4}{9}.\\ \end{array} \)

    \( x \)-koordinaten är \( \dfrac{4}{9} \), \( y \)-koordinaten är \( f(\dfrac{4}{9})= \dfrac{8}{27} \) och riktningskoefficienten har värdet 1.

    Ekvationen för tangenten är \( y-\dfrac{8}{27}=1(x-\dfrac{4}{9}) \) som vi skriver som \( y=x-\dfrac{4}{27} \).

  10. Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningen är logisk och korrekt.

    Bestäm största och minsta värde för \( f(x)=\sqrt{4-x^2} \).

    Välj bland följande uträkningar:

    Definitionsmängden är \( 4-x^2\geq 0 \).

    Alltså \( -2\leq x \leq 2 \).

    Derivatafunktionen är \( f’(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \).
    En funktion får sina största och minsta värden då \( f’(x)=0 \) eller i intervallets ändpunkter.

    \( f(-2)=0 \)

    \( f(0)=2 \)

    \( f(2)=0 \)

    \( f’(x)=0 \) då \( x=0 \).
    \( f’(x)=0 \) då täljaren får värdet noll.

    Största värdet är 2.

    Minsta värdet är 0.

    UträkningOrdning

    Definitionsmängden är \( 4-x^2\geq 0 \).

    Alltså \( -2\leq x \leq 2 \).

    		(1.)
    Derivatafunktionen är \( f’(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \).(2.)
    \( f’(x)=0 \) då täljaren får värdet noll.(3.)
    \( f’(x)=0 \) då \( x=0 \).(4.)
    En funktion får sina största och minsta värden då \( f’(x)=0 \) eller i intervallets ändpunkter.(5.)

    \( f(-2)=0 \)

    \( f(0)=2 \)

    \( f(2)=0 \)

    		(6.)

    Största värdet är 2.

    Minsta värdet är 0.

    		(7.)
  11. Derivera funktionen \( f(x)=\sqrt[4]{x^2-x} \).

    \( D\sqrt[4]{x^2-x} = (x^2-x)^{\frac{1}{4}} = \dfrac{1}{4}(x^2-x)^{\frac{1}{4}-1}(2x-1) = \dfrac{1}{4}(x^2-x)^{-\frac{3}{4}}(2x-1) = \dfrac{2x-1}{4\sqrt[4]{(x^2-x)^3}} \).

  12. Låt \( f(x)=\sqrt{-x^2-2x} \). För vilka värden på \( x \) byter \( f \) riktning?

    \( f(x)=\sqrt{-x^2-2x} = (-x^2-2x)^{\frac{1}{2}} \).

    \( f'(x)=\dfrac{1}{2}(-x^2-2x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x-2) = \dfrac{-2x-2}{2\sqrt{-2x^2-2x}} \).

    \( f'(x)=0 \) då täljaren får värdet noll, alltså \( -2x-2 =0 \Leftrightarrow x=-1 \).

    Funktionen byter riktning då \( x=-1 \).

  13. Bestäm tangenten för funktionen \( f(x)=\sqrt{1-x^2} \) som har riktningsvinkeln \( 60^{\circ} \).

    Funktionen \( f \) är definierad då \( 1-x^2\geq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq 1 \Leftrightarrow -1\leq x \leq 1 \).

    Att riktningsvinken har värdet \( 60^{\circ} \) betyder att riktningskoefficienten har värdet \( \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \).

    Funktionen \( f \) kan vi skriva som \( f(x)=(1-x^2)^{\frac{1}{2}} \). Derivatafunktioen är \( f'(x)=\dfrac{1}{2}(1-x^2)^{\frac{1}{2}-1}(-2x) = \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \).

    Vi söker den \( x \)-koordinat där riktningskoefficienten har värdet \( \sqrt{3} \) genom att lösa ekvationen \( f'(x)=\sqrt{3} \).

    \( \begin{array}{rcll} \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}} & = & \sqrt{3} & \mid (\quad)^2\\\ \dfrac{x^2}{1-x^2} & = & 3 & \mid \cdot (1-x^2) \\ x^2 & = & 3(1-x^2) \\ x^2 & = & 3-3x^2 \\ 4x^2 & = & 3 \\ x^2 & = & \dfrac{3}{4} \\ x & = & \pm\sqrt{\dfrac{3}{4}} = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\\ \end{array} \)

    Eftersom vi har kvadrerat rötter måste vi testa rötterna, vi märker då att den enda roten som duger är \( x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

    \( x \)-koordinaten är \( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \), \( y \)-koordinaten är \( f(-\dfrac{\sqrt{3}}{2})= \dfrac{1}{2} \) och riktningskoefficienten är \( \sqrt{3} \). Tangenten har ekvationen \( y-\dfrac{1}{2}=\sqrt{3}(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}) \) som vi skriver som \( y=\sqrt{3}x+2 \).

  14. Bestäm största och minsta värdet för funktionen \( f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x-2}} \).

    Funktionen är definierad då \( x-2 > 0 \Leftrightarrow x > 2 \).

    Vi skriver \( f \) som \( x(x-2)^{-\frac{1}{2}} \) och deriverar \( f'(x)= 1(x-2)^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}(x-2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 1 \cdot x = \dfrac{x-4}{2(x-2)^{\frac{3}{2}}} \).

    Vi undersöker täljaren och nämnaren skilt. För nämnaren gäller \( x-4=0 \Leftrightarrow x=4 \) och för nämnaren \( 2(x-2)^{\frac{3}{2}}=0 \), som sker då \( x-2=0 \Leftrightarrow x=2 \).

    För nämnaren gäller att \( 2(x-2)^{\frac{3}{2}} > 0 \) då \( x > 2 \).

    Vi gör ett teckenschema:

    \( \begin{array}{l|cccc} & 2 & & 4 & \\ \hline \textrm{täljaren: } x-4 & - & - & 0 & + \\ \textrm{nämnaren: } 2(x-2)^{\frac{3}{2}} & 0 & + & + & + \\ \textrm{kvoten: } f'(x) & | & - & 0 & + \\ f(x) & | & \searrow & & \nearrow \\ & & & \textrm{minimi} \\ \end{array} \)

    Vi har ett minsta värde i \( x=4 \), det minsta värdet för funktionen är \( f(4)= 2\sqrt{2} \). Funktionen saknar ett lokalt största värde.

  15. Visa att funktionen \( f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{x-1} \) är strängt avtagande.

    Funktionen \( f \) är definierad då \( x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq \).

    Vi skriver \( f \) som \( x^{\frac{1}{2}}-(x-1)^{\frac{1}{2}} \) och deriverar, \( f'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}(x-1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 1 = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} \).

    Vi söker punkter där funktionen byter riktning genom att lösa ekvationen \( f'(x)=0 \).

    \( \begin{array}{rcll} \dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} & = & 0\\ \dfrac{1}{2\sqrt{x}} & = & \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} \\ 2\sqrt{x-1} & = & 2\sqrt{x} & \textrm{ som betyder att, }\\ x-1 & = & x \\ 0x & = & 1 & \textrm{ som aldrig uppfylls.}\\ \end{array} \)

    \( f'(x) \) saknar nollsälle och \( f'(2)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{2-1}}=\dfrac{1}{4}(\sqrt{2}-2) < 0 \). Eftersom derivatafunktionen alltid är negativ är funktionen alltid strängt avtagande.

  16. Visa att \( \sqrt{1 + x} \geq 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} \) i intervallet \( [0, \infty [ \). För vilket värde på variabeln gäller likheten?

    Skapa ett förhållande till noll, inför en funktion och visa att funktionen alltid är positiv. Likheten kommer du åt via en ekvation.

    Eller så deriverar du två gånger och visar att andra derivatan är positiv i intervallet.

    Vi bildar förhållandet \( \sqrt{1 + x} - 1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{8} \geq 0 \).

    Vi visar att funktionen \( f(x) = \sqrt{1 + x} - 1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{8} \) är positiv.

    Derivatafunktionen \( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{x \sqrt{x + 1} - 2 \sqrt{x + 1} + 2}{\sqrt{x + 1}} \). (Förläng med den gemensamma nämnaren.)

    Derivatans nollställe, \( f'(x) = 0 \) är \( x = 0 \). Se till att du löser ekvationen.

    Då \( f'(1) = \dfrac{1}{4}(\sqrt{2}-1) \approx 0,1035\ldots \). Betyder det det att \( f(x) \) är strängt växande i intervallet.

    Eller via andra derivatan, \( f''(x) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{x + 1} (x + 1) - 1}{\sqrt{x + 1} (x + 1 )} \). Tecknet för andra derivatan är \( f''(1) = \dfrac{1}{16}(-\sqrt{2} + 4 ) \approx 0,1616\ldots \). Eftersom andra derivatan är positiv i intervallet är \( f(x) \) strängt växande.

    Likheten får du via ekvationen \( \sqrt{1 + x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} \). Då \( x = 0 \).