9. Beräkning med logaritmer

När vi räknar med logaritmer använder vi oss av följande formler:

\( \log_a x^r = r\cdot \log_a x \)

Motivering

Vi antar att \( s=\log_a x \). Enligt definitionen på logaritmer gäller då att \( x=a^s \).

Då gäller att \( x^r= (a^s)^r=a^{rs} \).

Alltså logaritmen med basen \( a \) av talet \( x^r \) är \( rs \).

Med andra ord \( \log_a x^r = r\log_a x \).

På motsvarande sätt kan vi genom att utnyttja potensregler som \( a^r\cdot a^s=a^{r+s} \) och att \( \dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s} \) bestämma produkten och kvoter för logaritmer.

För följande räkneregler gäller att \( x, y > 0 \).

\( \log_a xy = \log_a x + \log_a y \)

\( \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \)

Motivering

Vi har att \( \log_a x =r \) och att \( \log_a y =s \). Per definition betyder det att \( x=a^r \) och att \( y=a^s \).

Med andra ord, \( xy=a^r\cdot a^s = a^{r+s} \).

Alltså logaritmen med basen \( a \) för talet \( xy \) är \( r+s \).

Med andra ord, \( \log_a xy = \log_a x + \log_a y \).

Och för kvoten gäller att \( \dfrac{x}{y}=\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s} \).

Logaritmen med basen \( a \) för talet \( \dfrac{x}{y} \) är \( r-s \).

Med andra ord, \( \log_a \dfrac{x}{y}=\log_a x - \log_a y \).

Exempel 1 Bestäm \( \log_3 12 - \log_3 8 + \log_3 6 \).

Lösning

\( \log_3 12 - \log_3 8 + \log_3 6 = \log_3 (\dfrac{12}{8}) + \log_3 6 = \log_3 (\dfrac{12\cdot6}{8}) =\log_3 9= \log_3 3^2 = 2\log_3 3 = 2\cdot 1=2 \).

Exempel 2 Lös ekvationen \( 2\lg 2x - \lg(x+5)=1 \) .

Lösning

Logaritmerna är definierade då \( 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0 \) och då \( x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -5 \).

\( 2\lg 2x - \lg(x+5)=1 \Leftrightarrow \lg (2x)^2 -\lg(x+5) = 1 \Leftrightarrow \lg\dfrac{(2x)^2}{x+5} = 1 \Leftrightarrow \lg\dfrac{4x^2}{x+5} = \lg 10^1 \) som ger oss att \( \dfrac{4x^2}{x+5} = 10 \) som har rötterna \( x=-\dfrac{5}{2} \) och \( x=5 \) .

Den rot som duger är \( x=5 \).

Exempel 3 Förenkla \( \log \dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{2}\log b \)

Lösning

Beteckningen \( \log \) betyder att basen kan ha vilket värde som helst bara den är positiv och olika ett.

\( \log \dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{2}\log b = \log a -\log \sqrt{b} + \log b^{\frac{1}{2}} = \log a - \log b^{\frac{1}{2}} + \log b^{\frac{1}{2}} = \log a \).

Sammanfattningsvis har vi följande regler

\( \log_a x^r = r\cdot \log_a x \)
\( \log_a xy = \log_a x + \log_a y \)
\( \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \)

Uppgifter

Bestäm
1. \( \log_2 6 -\log_2 3 + \log_2 2 \)
  
  \( \begin{array}{rcl} \log_2 6 -\log_2 3 +\log_2 2 & = & \log_2 \dfrac{6}{3} + \log_2 2 \\ & = & \log_2 (\dfrac{6\cdot 2}{3}) \\ & = & \log_2 4 \\ & = & \log_2 2^2 \\ & = & 2\log_2 2 \\ & = & 2\cdot 1 \\ & = & 2 \\ \end{array} \)
2. \( \log_3 2 - \dfrac{1}{2} \log_3 36 \)
  
  \( \begin{array}{rcl} \log_3 2 - \dfrac{1}{2} \log_3 36 & = & \log_3 2 - \log_3 36^{\frac{1}{2}} \\ & = & \log_3 2 - \log_3 6 \\ & = & \log_3 \dfrac{2}{6} \\ & = & \log_3 \dfrac{1}{3} \\ & = & \log_3 3^{-1} \\ & = & -1 \log_3 3 \\ & = & -1 \end{array} \)
3. \( \log_6 60 - \log_6 5 + \log_6 3 \)
  
  \( \begin{array}{rcl} \log_6 60 - \log_6 5 + \log_6 3 & = & \log_6 (\dfrac{60}{5}) + \log_6 3 \\ & = & \log_6 (\dfrac{60 \cdot 3}{5}) \\ & = & \log_6 36 \\ & = & \log_6 6^2 \\ & = & 2\log_6 6 \\ & = & 2 \cdot 1 \\ & = & 2 \\ \end{array} \)
Bestäm
1. \( \log_2 (5+\sqrt{17}) + \log_2 (5-\sqrt{17}) \)
  
  \( \begin{array}{rcl} \log_2 (5+\sqrt{17}) + \log_2 (5-\sqrt{17}) & = & \log_2 ((5+\sqrt{17})(5-\sqrt{17})) \\ & = & \log_2 (5^2-\sqrt{17})^2) \\ & = & \log_2 (25-17) \\ & = & \log_2 8 \\ & = & \log_2 2^3 \\ & = & 3 \log_2 2\\ & = & 3 \cdot 1 \\ & = & 3 \\ \end{array} \)
2. \( \log_3 (\sqrt{10}-1) + \log_3 (\sqrt{10}+1) \)
  
  \( \begin{array}{rcl} \log_3 (\sqrt{10}-1) + \log_3 (\sqrt{10}+1) & = & \log_3 [(\sqrt{10}-1)(\sqrt{10}+1)] \\ & = & \log_3 (\sqrt{10}^2-1^2) \\ & = & \log_3 (10-1) \\ & = & \log_3 9 \\ & = & \log_3 3^2 \\ & = & 2\log_3 3 \\ & = & 2 \cdot 1 \\ & = & 2 \\ \end{array} \)

Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningen är logisk och korrekt.

Välj bland följande uttryck:

\( =1 \)

\( =\log_4 16 -\log_4 (16)^{\frac{1}{2}} \)

\( =2-1 \)

\( =\log_4 16 -\log_4 4 \)

Uttryck	Ordning
\( \log_4 16 -\dfrac{1}{2}\log_4 (16) \)	(1.)
	(2.)
	(3.)
	(4.)
	(5.)

Uttryck	Ordning
\( \log_4 16 -\dfrac{1}{2}\log_4 (16) \)	(1.)
\( =\log_4 16 -\log_4 (16)^{\frac{1}{2}} \)	(2.)
\( =\log_4 16 -\log_4 4 \)	(3.)
\( =2-1 \)	(4.)
\( =1 \)	(5.)

Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningen är logisk och korrekt.

Välj bland följande uttryck:

\( =\log_2 (8\cdot 4) \)

\( =\log_2 32 \)

\( \log_2 8 + \log_2 4 \)

\( =5 \)

Uttryck	Ordning
	(1.)
	(2.)
	(3.)
	(4.)

Uttryck	Ordning
\( \log_2 8 + \log_2 4 \)	(1.)
\( =\log_2 (8\cdot 4) \)	(2.)
\( =\log_2 32 \)	(3.)
\( =5 \)	(4.)

Lös ekvationen \( \log_2 x + \log_2 x = 2 \).

Logaritmerna är definierade då \( x > 0 \).

\( \log_2 x + \log_2 x = 2 \Leftrightarrow \log_2 x^2 = 2 \) som betyder att \( x^2 =2^2 \) som har rötterna \( x=\pm2 \).

Den rot som duger är \( x=2 \).
Bestäm \( \log\dfrac{a^2}{b}-2\log a \). Beteckningen \( \log \) betyder att basen kan vara vad som helst så att basen är positiv och olika ett.

\( \log\dfrac{a^2}{b}-2\log a = \log a^2 -\log b -2\log a = 2\log a -\log b -2\log a = -\log b \).
Lös ekvationen \( \log_3(x-1)+\log_3 (x-3) =1 \).

Logaritmerna är definierade då \( x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1 \) och då \( x-3 > 0 \Leftrightarrow x > 3 \). Det strängare kriteriet är att \( x > 3 \).

\( \log_3(x-1)+\log_3 (x-3) =1 \Leftrightarrow \log_3 [(x-1)(x-3)] = 1 \Leftrightarrow \log_3 [(x-1)(x-3)] = \log_3 3^1 \) som betyder att \( (x-1)(x-3)=3 \) som har rötterna \( x=0 \) och \( x=4 \).

Den rot som duger är \( x=4 \).
Lös ekvationen \( \log_2(4+x)+\log_2(2x)=3 \).

Vi har att \( 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0 \).

\( \log_2(4+x)+\log_2(2x)=3 \Leftrightarrow \log_2[(4+x)2x]=3 \Leftrightarrow \log_2 [2x(4+x)]=\log_2 2^3 \).

Vi har alltså att \( 8x+2x^2=8 \) som har rötterna \( -2\pm2\sqrt{2} \). Eftersom \( x > 0 \) så gäller att \( x=-2+2\sqrt{2} \).
Lös ekvationen \( \dfrac{1}{2}\log_3 (8-x)=\log_3 (x+2)+1 \).

Logaritmerna är definierade då \( 8-x > 0 \Leftrightarrow x < 8 \) och \( x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -2 \). Logaritmerna är alltså definierade då \( -2 < x < 8 \).

\( \dfrac{1}{2}\log_3 (8-x)=\log_3 (x+2)+1 \Leftrightarrow \log_3 (8-x)^{\frac{1}{2}}-\log_3 (x+2)=1 \Leftrightarrow \log_3 \dfrac{(8-x)^{\frac{1}{2}}}{x+2} =1 \) som ger oss att \( \dfrac{(8-x)^{\frac{1}{2}}}{x+2}=3 \) som har rötterna \( x=\dfrac{-9-\sqrt{11}}{5} \approx -2,46\ldots \) och \( x=\dfrac{-9+\sqrt{11}}{5} \approx -1,14\ldots \).

Den rot som duger är \( x=\dfrac{-9-\sqrt{11}}{5} \).

Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningen är logisk och korrekt.

För vilka värden på \( x \) gäller att \( \lg x +\lg (x-3) =1 \).

Välj bland följande uttryck:

Alltså \( x^2-3x=10^1 \)

Definitionsmängderna är \( x > 0 \) och \( x > 3 \). Alltså \( x > 3 \) duger som rötter.

\( \lg (x^2-3x) =1 \)

\( \lg x +\lg (x-3) =1 \)

Rotformeln ger \( x=-2 \) och \( x=5 \)

Svar \( x=5 \).

Uttryck	Ordning
	(1.)
	(2.)
	(3.)
	(4.)
	(5.)
	(6.)

Uttryck	Ordning
\( \lg x +\lg (x-3) =1 \)	(1.)
Definitionsmängderna är \( x > 0 \) och \( x > 3 \). Alltså \( x > 3 \) duger som rötter.	(2.)
\( \lg (x^2-3x) =1 \)	(3.)
Alltså \( x^2-3x=10^1 \)	(4.)
Rotformeln ger \( x=-2 \) och \( x=5 \).	(5.)
Svar \( x=5 \)	(6.)

Visa att \( \log(\sqrt{a+1} + \sqrt{a}) + \log(\sqrt{a+1} - \sqrt{a}) = 0 \).

Vi får

\( \begin{array}{rcll} \log(\sqrt{a+1} + \sqrt{a}) + \log(\sqrt{a+1} - \sqrt{a}) & = & \log((\sqrt{a+1})^2 - (\sqrt{a})^2) \\ & = & \log(a+1 - a) \\ & = & \log 1 & \text{ Per definition }\\ & = & 0 \\ \end{array} \)
Lös ekvationen \( \log_2 (x+1) = \log_2 (x+5) +1 \).

Logaritmerna är definierade då \( x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -1 \) och då \( x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -5 \).

\( \log_2 (x+1) = \log_2 (x+5) +1 \Leftrightarrow \log_2 (x+1)-\log_2(x+5) =1 \Leftrightarrow \log_2 \dfrac{x+1}{x+5} = 1 \Leftrightarrow \log_2 \dfrac{x+1}{x+5} = \log_2 2^1 \) som ger oss att \( \dfrac{x+1}{x+5}=2 \) som har roten \( x=-9 \).

Då \( x > -1 \) duger inte \( x=-9 \) som rot.

Ekvationen saknar rötter.
För vilket bas,\( a \), gäller att \( \log_a 2 + \log_a 5 =1 \)?

Vi har

\( \begin{array}{rcl} \log_a 2 + \log_a 5 & = & 1 \\ \log_a 2\cdot 5 & = & 1 \\ \log_a 10 & = & 1 \\ \end{array} \)

Alltså \( a=10 \).
För vilket bas,\( a \), gäller att \( \log_a 3 - \log_a 6 =\sqrt{2} \)?

Vi har

\( \begin{array}{rcl} \log_a 3 - \log_a 6 & = & \sqrt{2} \\ \log_a \dfrac{3}{6} & = & \sqrt{2} \\ \\ \log_a \dfrac{1}{2} & = & \sqrt{2} \\ \end{array} \)

Alltså \( a=2 \).