14. Derivatan av logaritmfunktioner

Vi tar och härleder en deriveringsformel för logaritmfunktionen med basen $e$ , $\ln x$ , då $x\in ]0, \infty[$ .

Härledning

Då $x > 0$ gäller att $e^{\ln x} =x$ . Funktionerna $e^{\ln x}$ och $x$ har samma derivatafunktioner, eftersom det är fråga om samma funktion. Vi deriverar bägge.

$\begin{array}{rcll} e^{\ln x} & = & x & \text{Derivatan av bägge led.}\\ De^{\ln x} & = & Dx & De^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f'(x)\\ e^{\ln x}D\ln x & = & 1 & e^{\ln x}= x\\ x D\ln x & = & 1 \\ D \ln x & = & \dfrac{1}{x}\\ \end{array}$

Derivatan av funktionen $\ln x$ är $\dfrac{1}{x}$ där $x > 0$ .

Exempel 1 Derivera $4\ln x$ . Har derivatafunktionen nollställen?

Lösning

Funktionen är definierad då $x > 0$ .

Derivatan är $D4\ln x = 4\cdot\dfrac{1}{x} =\dfrac{4}{x}$ .

Vi söker nollställen för derivatafunktionen, $f'(x)=\dfrac{4}{x}$ . $\dfrac{4}{x}$ kan aldrig få värdet noll eftersom täljaren alltid har värdet 4. Derivatan saknar nollställen som betyder att funktionen aldrig byter riktning.

Egenskaper för funktionen $\ln x$

Funktionen $\ln x$ är strängt växande i sin definitionsmängd $]0,\infty[$ .
Funktionens värdemängd är alla reella tal.

Exempel 2 Bestäm tangenten för funktionen $f(x)=\ln x$ i punkten $x=2$ .

Lösning

Tangenten går genom punkten $x=2$ och $y=\ln 2$ . Riktningskoefficienten får vi genom derivatans värde i punkten 2.

$f'(x)= \dfrac{1}{x}$ och $f'(2)=\dfrac{1}{2}$ .

En linjes ekvation ser ut som $y-y_0=k(x-x_0)$ , vi får $y-\ln2 =\dfrac{1}{2}(x-2) \Leftrightarrow y=\dfrac{x}{2}-1+\ln2$ .

Vi tar och härleder en deriveringsformel för funktioner som är av typen $\ln f(x)$ där $f(x) > 0$ .

Vi har en sammansatt funktion där den yttre funktionen är $\ln x$ och den inre är $f(x)$ . För sammansatta funktioner gäller $Df(g) = f'(g)g'$ .

Vi får att $D\ln(f(x))=\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ .

Alltså då $f(x) > 0$ och deriverbar gäller att $D\ln f(x)=\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ .

Exempel 3 Bestäm definitionsmängd och derivera funktionen $\ln(e^x-2)$ .

Lösning

Funktionen är definierad då $e^x-2 > 0 \Leftrightarrow e^x > 2$ som betyder att $x > \ln 2$ .

$D\ln(e^x-2) = \dfrac{e^x}{e^x-2}$ .

Uppgifter

Derivera
1. $3\ln (x)$ då $x > 0$
  
  $D3\ln x =\dfrac{3}{x}$
2. $3\ln (x) -1$ då $x > 0$ .
  
  $D(3\ln x-1) =\dfrac{3}{x}$
3. $3\ln (x-1)$ då $x > 1$ .
  
  Vi har en sammansatt funktion. $D3\ln(x-1)=3\cdot \dfrac{1}{x-1}\cdot 1 = \dfrac{3}{x-1}$ .
4. $\ln(1-x^2)$ då $-1 < x < 1$ .
  
  $D\ln(1-x^2)=\dfrac{1}{1-x^2}\cdot(-2x) = \dfrac{-2x}{1-x^2}$ .
Bestäm definitionsmängderna för
1. $\ln(e^x-1)$ .
  
  Funktionen är definierad då $e^x-1 > 0 \Leftrightarrow e^x > 1 \Leftrightarrow x > \ln 1 = 0$ .
2. $\ln(2x^2-1)$ .
  
  Funktionen är definierad då $2x^2-1 > 0 \Leftrightarrow 2x^2 > 1 \Leftrightarrow x^2 > \dfrac{1}{2}$ som betyder att $x < -\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ och $x > \sqrt{\dfrac{1}{2}}$ som vi skriver som $x < -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ och $x > \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .
3. $\dfrac{1}{\ln x}$ .
  
  $\ln x$ är definierad då $x > 0$ .
  
  Divisionen är definierad då nämnaren inte får värdet 0. $ln x = 0$ då $x = 1$ . Alltså är definitionsmängden $x > 0$ så att $x \not= 1$ .
Bestäm nollställena för fuktionernas derivatafunktioner.
1. $f(x) = x^2 \ln x$ .
  
  Derivatafunktionen är $f'(x) = 2x \ln (x) + x$
  
  Derivatafunktionens nollställe är $x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ . Märk att eftersom $x > 0$ så har vi endast en rot.
  
  Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
2. $g(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$ .
  
  Derivatafunktionen är $g'(x) = \dfrac{-2 \ln ( x ) + 1}{x^{3}}$
  
  Derivatafunktionens nollställe är $x = \sqrt{e}$ .
  
  Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
3. $h(x) = x + x \ln x$ .
  
  Derivatafunktionen är $h'(x) = \ln (x) + 2$
  
  Derivatafunktionens nollställe är $x = \dfrac{1}{e^2}$ .
  
  Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
Bestäm minsta värde för $\ln(e^x-x)$ då $x\in\mathbf{R}$ .

Derivatafunktionen är $f'(x)=\dfrac{1}{e^x-x} \cdot (e^x-1) = \dfrac{e^x-1}{e^x-x}$ .

Funktionen byter riktning i de punkter där $f'(x)=0$ , $\dfrac{e^x-1}{e^x-x}=0 \Leftrightarrow e^x-1 =0$ eftersom en kvot kan endast få värdet 0 då täljaren har värdet 0. Vi får att $e^x=1 \Leftrightarrow x=\ln 1 =0$ .

Vi gör ett teckenschema,

$f(-1)=\dfrac{e^{(-1)}-1}{e^{(-1)}-(-1)} < 0$ .

$f(1)=\dfrac{e^1-1}{e^1-1} = 1 > 0$ .

$\begin{array}{r|ccc} & & 0 & \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & & \nearrow \\ \end{array}$

Vi har ett minsta värde i $x=0$ , funktionens minsta värde är $f(0)=\ln(e^0+0) = \ln (1+0) =0$ .

Funktionens minsta värde är 0.
Bestäm minsta värde för $\ln(e^2+x)$ .

Funktionen är definierad då $e^2+x > 0 \Leftrightarrow x > -e^2$ .

Derivatafunktionen är $f'(x)=\dfrac{1}{e^2+x}\cdot (1) = \dfrac{1}{e^2+x}$ .

Nollställen för derivatan är: $f'(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{e^2+x}=0$ . Eftersom en kvot endast kan få värdet 0 då täljaren har värdet noll saknar derivatafunktionen nollställen.

Vi tar en punkt i definitionsmängden och testar hur funktionen beter sig. $f'(1)=\dfrac{1}{e^2+1} > 0$ . Funktionen $f$ är då växande.

Eftersom derivatafunktionen saknar nollställen och funktionen är växande saknar funktionen ett entydigt minsta värde. Vi talar om att funktionens minsta värde är minus oändligheten, $-\infty$ .
Bestäm största värde för funktionen $f(x) = \ln x + \ln(3 - x)$ .

$\ln x$ är definierad då $x > 0$ . $\ln (3-x)$ är definierad då $3-x > 0$ , alltså $x < 3$ . När vi kombinerar dessa får vi definitionsmängden för $f$ , $0 < x < 3$ .

Derivatafunktionen är $f'(x) = \dfrac{2x - 3}{x^{2} - 3 x}$ . Se till att du bestämmer den!

Derivatans nollställe är $f'(x) = 0$ då $x = \dfrac{3}{2}$ .

Tecknet för derivatafunktionen är

$f'(1) = \dfrac{1}{2} > 0$ . $f$ växande.

$f'(2) = -\dfrac{1}{2} < 0$ . $f$ avtagande.

Alltså har vi ett största värde i $x = \dfrac{3}{2}$ .

Största värdet är $f(\dfrac{3}{2}) = 2\ln(\dfrac{3}{2})$ .
Bestäm tangenten för funktionen $f(x)=\ln (x+1)$ i punkten $x=0$ .

Derivatafunktionen är $f'(x)=\dfrac{1}{x+1}$ . Tangentens riktningskoefficient har värdet $f'(0)=\dfrac{1}{0+1}=1$ . Tangenten går genom punkten $x=0$ och $y=\ln (0+1) = 0$ .

Tangentens ekvation är, $y-y_0 =k(x-x_0)$ alltså $y-0=1(x-0) \Leftrightarrow y=x$ .
Bestäm tangenten för funktionen $f(x)=\ln x^2$ i punkten $x=1$ .

Derivatafunktionen är $f'(x)=\dfrac{2}{x}$ . Tangentens riktningskoefficient har värdet $f'(1)=\dfrac{2}{1}=2$ . Tangenten går genom punkten $x=1$ och $y=\ln 1^2 = 0$ .

Tangentens ekvation är, $y-y_0 =k(x-x_0)$ alltså $y-0=2(x-1) \Leftrightarrow y=2x-2$ .
Hur många rötter har ekvationen $\ln (x-1) = 3\ln x -3$ ?

Tanken är att vi inför en funktion, undersöker hur den växer och avtar och hur många gånger den skär x-axeln.

Vi inför en funktion $f(x) = \ln (x-1) - 3\ln x +3$ .

Definitionsmängden är $x > 1$ . Se till att du bestämmer den!

Derivatafunktionen är $f'(x) = \dfrac{-2 x + 3}{x^{2} - x}$ . Se till att du bestämmer denna!

Derivatans nollställe är $f'(x) = 0$ då $x = \dfrac{3}{2}$ . Se till att du bestämmer denna!

Tecknet för derivatafunktionen

$f'(1.1) = \dfrac{80}{11}$ . $f$ är växande. (1,1 för att funktionen inte är definierad i $x = 1$ .)

$f'(2) = -\dfrac{1}{2}$ . $f$ är avtagande.

Största värdet är $f(\dfrac{3}{2}) = -\ln 2 - 3 \ln ( \dfrac{3}{2}) + 3 \approx 1,09\ldots$ . OBS! Positivt värde.

Detta betyder att funktionen växer fram till $x = \dfrac{3}{2}$ . Sedan avtar den. För att ännu veta om funktionen skär $x$ -axlen. sätter vi in värden i funktionen och undersöker om värdena är negativa.

$f(1,01) = -1,64$ .

$f(5) = -0,44$ .

Då vet vi att funktien skär $x$ -axeln 2 gånger. Alltså har ekvationen 2 rötter.

Vill vi närmare intervallet för rötterna så får söka närmare intervall.
Hur många rötter har ekvationen $5x +\ln (x-2) = 0$ ?

Tanken är att vi inför en funktion, undersöker hur den växer och avtar och hur många gånger den skär x-axeln.

Vi inför en funktion $f(x) = 5x + \ln (x-2)$ .

Definitionsmängden är $x > 2$ . Se till att du bestämmer den!

Derivatafunktionen är $f'(x) = 5 + \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{5x -9}{x - 2}$ . Se till att du bestämmer denna!

Derivatans nollställe är $f'(x) = 0$ då $x = \dfrac{9}{5}$ . Se till att du bestämmer denna! Men eftersom definitionsmängden är $x > 2$ är $f$ strängt monotom.

Tecknet för derivatafunktionen

$f'(3) = 6$ . $f$ är växande.

$f(2,00001) = -1,5128\ldots$ .

$f(3) = 15$ .

Då vet vi att funktionen är strängt monotom och skär $x$ -axlen en gång mellan $]2,3[$ .

Alltså har ekvationen 1 rot, roten är i intervallet $]2,3[$ .

Vill vi närmare intervallet för rötterna så får söka närmare intervall.
Visa att funktionerna $f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2$ och $g(x) = \ln x$ skär varandra vinkelrätt.

$g(x)$ är definierad då $x > 0$ .

Den gemensamma $x$ -koordinaten är $x=0,75308$ . Lös denna, men inse att du klarar endast av att lösa den numeriskt.

Derivatafunktionerna är $f'(x) = -x$ och $g'(x) = \dfrac{1}{x}$ .

Då två linjer är vinkelräta gäller att $k_1 \cdot k_2 = -1$ .

Då vi bildar riktningskoefficienten för tangenterna får vi att produkten har värdet -1.

Alternativ märker vi följande. För derivatafunktionerna gäller att $f'(x) \cdot g'(x) = -x \cdot \dfrac{1}{x} = -1$ . Det betyder att alla tanger som vi bildar för funktionerna $f$ och $g$ är ortogonala, vinkelräta.
Bestäm definitionsmängden för funktionen $f(x)= \ln \dfrac{4-x^2}{4+x^2}$ . Derivera $f$ .

Logaritmen är definierad då $\dfrac{4-x^2}{4+x^2}$ . Eftersom nämnaren alltid är positiv gäller att $4-x^2 > 0$ , alltså då $-2 < x < 2$ .

$f(x)= \ln \dfrac{4-x^2}{4+x^2} = \ln(4-x^2) - \ln (4+x^2)$ .

$f'(x) = \dfrac{-2x}{4-x^2} - \dfrac{2x}{4+x^2}$
Bilda deriveringsformeln för funktionerna av typ $\log_a x$ då $a > 0$ och $a\not=1$ .
Följ det så som vi deriverade $\ln x$ genom att uttrycka $\log_a$ som en exponent.

Vi kan skriva $x=a^{\log_a x}$ . Derivatan av $x$ är 1.

Då vi deriverar

$\begin{array}{rl} D \log_a x = & Da^{\log_a x} \\ = & a^{\log_a x} \ln a D\log_a x \\ = & x\cdot \ln a D\log_a x =1 \\ \end{array}$

Vi får att $D\log_a x = \dfrac{1}{x\ln a}$ .

14. Derivatan av logaritmfunktioner

Härledning

Lösning

Egenskaper för funktionen lnx \ln x

Lösning

Lösning

Uppgifter

Egenskaper för funktionen $\ln x$