MaA 8 Rot- och logaritmfunktioner

14. Derivatan av logaritmfunktioner

Vi tar och härleder en deriveringsformel för logaritmfunktionen med basen ee, lnxlnx, då x]0,[x]0,[.

Härledning

x>0x>0 gäller att elnx=xelnx=x. Funktionerna elnxelnx och xx har samma derivatafunktioner, eftersom det är fråga om samma funktion. Vi deriverar bägge.

elnx=xDerivatan av bägge led.Delnx=DxDef(x)=ef(x)f(x)elnxDlnx=1elnx=xxDlnx=1Dlnx=1x

Derivatan av funktionen lnx är 1x där x>0.

Derivatan av funktionen lnx är 1x där x>0.

Exempel 1 Derivera 4lnx. Har derivatafunktionen nollställen?

Lösning

Funktionen är definierad då x>0.

Derivatan är D4lnx=41x=4x.

Vi söker nollställen för derivatafunktionen, f(x)=4x. 4x kan aldrig få värdet noll eftersom täljaren alltid har värdet 4. Derivatan saknar nollställen som betyder att funktionen aldrig byter riktning.

Egenskaper för funktionen lnx

  • Funktionen lnx är strängt växande i sin definitionsmängd ]0,[.
  • Funktionens värdemängd är alla reella tal.

Exempel 2 Bestäm tangenten för funktionen f(x)=lnx i punkten x=2.

Lösning

Tangenten går genom punkten x=2 och y=ln2. Riktningskoefficienten får vi genom derivatans värde i punkten 2.

f(x)=1x och f(2)=12.

En linjes ekvation ser ut som yy0=k(xx0), vi får yln2=12(x2)y=x21+ln2.

Vi tar och härleder en deriveringsformel för funktioner som är av typen lnf(x) där f(x)>0.

Vi har en sammansatt funktion där den yttre funktionen är lnx och den inre är f(x). För sammansatta funktioner gäller Df(g)=f(g)g.

Vi får att Dln(f(x))=1f(x)f(x)=f(x)f(x).

Alltså då f(x)>0 och deriverbar gäller att Dlnf(x)=1f(x)f(x)=f(x)f(x).

Exempel 3 Bestäm definitionsmängd och derivera funktionen ln(ex2).

Lösning

Funktionen är definierad då ex2>0ex>2 som betyder att x>ln2.

Dln(ex2)=exex2.

Uppgifter

  1. Derivera
    1. 3ln(x)x>0

      D3lnx=3x

    2. 3ln(x)1x>0.

      D(3lnx1)=3x

    3. 3ln(x1)x>1.

      Vi har en sammansatt funktion. D3ln(x1)=31x11=3x1.

    4. ln(1x2)1<x<1.

      Dln(1x2)=11x2(2x)=2x1x2.

  2. Bestäm definitionsmängderna för
    1. ln(ex1).

      Funktionen är definierad då ex1>0ex>1x>ln1=0.

    2. ln(2x21).

      Funktionen är definierad då 2x21>02x2>1x2>12 som betyder att x<12 och x>12 som vi skriver som x<12 och x>12.

    3. 1lnx.

      lnx är definierad då x>0.

      Divisionen är definierad då nämnaren inte får värdet 0. lnx=0x=1. Alltså är definitionsmängden x>0 så att x1.

  3. Bestäm nollställena för fuktionernas derivatafunktioner.
    1. f(x)=x2lnx.

      Derivatafunktionen är f(x)=2xln(x)+x

      Derivatafunktionens nollställe är x=1e. Märk att eftersom x>0 så har vi endast en rot.

      Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.

    2. g(x)=lnxx2.

      Derivatafunktionen är g(x)=2ln(x)+1x3

      Derivatafunktionens nollställe är x=e.

      Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.

    3. h(x)=x+xlnx.

      Derivatafunktionen är h(x)=ln(x)+2

      Derivatafunktionens nollställe är x=1e2.

      Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.

  4. Bestäm minsta värde för ln(exx)xR.

    Derivatafunktionen är f(x)=1exx(ex1)=ex1exx.

    Funktionen byter riktning i de punkter där f(x)=0, ex1exx=0ex1=0 eftersom en kvot kan endast få värdet 0 då täljaren har värdet 0. Vi får att ex=1x=ln1=0.

    Vi gör ett teckenschema,

    f(1)=e(1)1e(1)(1)<0.

    f(1)=e11e11=1>0.

    0f(x)0+f(x)

    Vi har ett minsta värde i x=0, funktionens minsta värde är f(0)=ln(e0+0)=ln(1+0)=0.

    Funktionens minsta värde är 0.

  5. Bestäm minsta värde för ln(e2+x).

    Funktionen är definierad då e2+x>0x>e2.

    Derivatafunktionen är f(x)=1e2+x(1)=1e2+x.

    Nollställen för derivatan är: f(x)=01e2+x=0. Eftersom en kvot endast kan få värdet 0 då täljaren har värdet noll saknar derivatafunktionen nollställen.

    Vi tar en punkt i definitionsmängden och testar hur funktionen beter sig. f(1)=1e2+1>0. Funktionen f är då växande.

    Eftersom derivatafunktionen saknar nollställen och funktionen är växande saknar funktionen ett entydigt minsta värde. Vi talar om att funktionens minsta värde är minus oändligheten, .

  6. Bestäm största värde för funktionen f(x)=lnx+ln(3x).

    lnx är definierad då x>0. ln(3x) är definierad då 3x>0, alltså x<3. När vi kombinerar dessa får vi definitionsmängden för f, 0<x<3.

    Derivatafunktionen är f(x)=2x3x23x. Se till att du bestämmer den!

    Derivatans nollställe är f(x)=0x=32.

    Tecknet för derivatafunktionen är

    f(1)=12>0. f växande.

    f(2)=12<0. f avtagande.

    Alltså har vi ett största värde i x=32.

    Största värdet är f(32)=2ln(32).

  7. Bestäm tangenten för funktionen f(x)=ln(x+1) i punkten x=0.

    Derivatafunktionen är f(x)=1x+1. Tangentens riktningskoefficient har värdet f(0)=10+1=1. Tangenten går genom punkten x=0 och y=ln(0+1)=0.

    Tangentens ekvation är, yy0=k(xx0) alltså y0=1(x0)y=x.

  8. Bestäm tangenten för funktionen f(x)=lnx2 i punkten x=1.

    Derivatafunktionen är f(x)=2x. Tangentens riktningskoefficient har värdet f(1)=21=2. Tangenten går genom punkten x=1 och y=ln12=0.

    Tangentens ekvation är, yy0=k(xx0) alltså y0=2(x1)y=2x2.

  9. Hur många rötter har ekvationen ln(x1)=3lnx3?

    Tanken är att vi inför en funktion, undersöker hur den växer och avtar och hur många gånger den skär x-axeln.

    Vi inför en funktion f(x)=ln(x1)3lnx+3.

    Definitionsmängden är x>1. Se till att du bestämmer den!

    Derivatafunktionen är f(x)=2x+3x2x. Se till att du bestämmer denna!

    Derivatans nollställe är f(x)=0x=32. Se till att du bestämmer denna!

    Tecknet för derivatafunktionen

    f(1.1)=8011. f är växande. (1,1 för att funktionen inte är definierad i x=1.)

    f(2)=12. f är avtagande.

    Största värdet är f(32)=ln23ln(32)+31,09 . OBS! Positivt värde.

    Detta betyder att funktionen växer fram till x=32. Sedan avtar den. För att ännu veta om funktionen skär x-axlen. sätter vi in värden i funktionen och undersöker om värdena är negativa.

    f(1,01)=1,64.

    f(5)=0,44.

    Då vet vi att funktien skär x-axeln 2 gånger. Alltså har ekvationen 2 rötter.

    Vill vi närmare intervallet för rötterna så får söka närmare intervall.

  10. Hur många rötter har ekvationen 5x+ln(x2)=0?

    Tanken är att vi inför en funktion, undersöker hur den växer och avtar och hur många gånger den skär x-axeln.

    Vi inför en funktion f(x)=5x+ln(x2).

    Definitionsmängden är x>2. Se till att du bestämmer den!

    Derivatafunktionen är f(x)=5+1x2=5x9x2. Se till att du bestämmer denna!

    Derivatans nollställe är f(x)=0x=95. Se till att du bestämmer denna! Men eftersom definitionsmängden är x>2 är f strängt monotom.

    Tecknet för derivatafunktionen

    f(3)=6. f är växande.

    f(2,00001)=1,5128.

    f(3)=15.

    Då vet vi att funktionen är strängt monotom och skär x-axlen en gång mellan ]2,3[.

    Alltså har ekvationen 1 rot, roten är i intervallet ]2,3[.

    Vill vi närmare intervallet för rötterna så får söka närmare intervall.

  11. Visa att funktionerna f(x)=12x2 och g(x)=lnx skär varandra vinkelrätt.

    g(x) är definierad då x>0.

    Den gemensamma x-koordinaten är x=0,75308. Lös denna, men inse att du klarar endast av att lösa den numeriskt.

    Derivatafunktionerna är f(x)=x och g(x)=1x.

    Då två linjer är vinkelräta gäller att k1k2=1.

    Då vi bildar riktningskoefficienten för tangenterna får vi att produkten har värdet -1.

    Alternativ märker vi följande. För derivatafunktionerna gäller att f(x)g(x)=x1x=1. Det betyder att alla tanger som vi bildar för funktionerna f och g är ortogonala, vinkelräta.

  12. Bestäm definitionsmängden för funktionen f(x)=ln4x24+x2. Derivera f.

    Logaritmen är definierad då 4x24+x2. Eftersom nämnaren alltid är positiv gäller att 4x2>0, alltså då 2<x<2.

    f(x)=ln4x24+x2=ln(4x2)ln(4+x2).

    f(x)=2x4x22x4+x2

  13. Bilda deriveringsformeln för funktionerna av typ logaxa>0 och a1.

    Följ det så som vi deriverade lnx genom att uttrycka loga som en exponent.

    Vi kan skriva x=alogax. Derivatan av x är 1.

    Då vi deriverar

    Dlogax=Dalogax=alogaxlnaDlogax=xlnaDlogax=1

    Vi får att Dlogax=1xlna.