14. Derivatan av logaritmfunktioner
Vi tar och härleder en deriveringsformel för logaritmfunktionen med basen ee, lnxlnx, då x∈]0,∞[x∈]0,∞[.
Härledning
Då x>0x>0 gäller att elnx=xelnx=x. Funktionerna elnxelnx och xx har samma derivatafunktioner, eftersom det är fråga om samma funktion. Vi deriverar bägge.
elnx=xDerivatan av bägge led.Delnx=DxDef(x)=ef(x)⋅f′(x)elnxDlnx=1elnx=xxDlnx=1Dlnx=1x
Derivatan av funktionen lnx är 1x där x>0.
Derivatan av funktionen lnx är 1x där x>0.
Exempel 1 Derivera 4lnx. Har derivatafunktionen nollställen?
Lösning
Funktionen är definierad då x>0.
Derivatan är D4lnx=4⋅1x=4x.
Vi söker nollställen för derivatafunktionen, f′(x)=4x. 4x kan aldrig få värdet noll eftersom täljaren alltid har värdet 4. Derivatan saknar nollställen som betyder att funktionen aldrig byter riktning.
Egenskaper för funktionen lnx
- Funktionen lnx är strängt växande i sin definitionsmängd ]0,∞[.
- Funktionens värdemängd är alla reella tal.
Exempel 2 Bestäm tangenten för funktionen f(x)=lnx i punkten x=2.
Lösning
Tangenten går genom punkten x=2 och y=ln2. Riktningskoefficienten får vi genom derivatans värde i punkten 2.
f′(x)=1x och f′(2)=12.
En linjes ekvation ser ut som y−y0=k(x−x0), vi får y−ln2=12(x−2)⇔y=x2−1+ln2.
Vi tar och härleder en deriveringsformel för funktioner som är av typen lnf(x) där f(x)>0.
Vi har en sammansatt funktion där den yttre funktionen är lnx och den inre är f(x). För sammansatta funktioner gäller Df(g)=f′(g)g′.
Vi får att Dln(f(x))=1f(x)⋅f′(x)=f′(x)f(x).
Alltså då f(x)>0 och deriverbar gäller att Dlnf(x)=1f(x)⋅f′(x)=f′(x)f(x).
Exempel 3 Bestäm definitionsmängd och derivera funktionen ln(ex−2).
Lösning
Funktionen är definierad då ex−2>0⇔ex>2 som betyder att x>ln2.
Dln(ex−2)=exex−2.
Uppgifter
- Derivera
- 3ln(x) då x>0
D3lnx=3x
- 3ln(x)−1 då x>0.
D(3lnx−1)=3x
- 3ln(x−1) då x>1.
Vi har en sammansatt funktion. D3ln(x−1)=3⋅1x−1⋅1=3x−1.
- ln(1−x2) då −1<x<1.
Dln(1−x2)=11−x2⋅(−2x)=−2x1−x2.
- 3ln(x) då x>0
- Bestäm definitionsmängderna för
- ln(ex−1).
Funktionen är definierad då ex−1>0⇔ex>1⇔x>ln1=0.
- ln(2x2−1).
Funktionen är definierad då 2x2−1>0⇔2x2>1⇔x2>12 som betyder att x<−√12 och x>√12 som vi skriver som x<−1√2 och x>1√2.
- 1lnx.
lnx är definierad då x>0.
Divisionen är definierad då nämnaren inte får värdet 0. lnx=0 då x=1. Alltså är definitionsmängden x>0 så att x≠1.
- ln(ex−1).
- Bestäm nollställena för fuktionernas derivatafunktioner.
- f(x)=x2lnx.
Derivatafunktionen är f′(x)=2xln(x)+x
Derivatafunktionens nollställe är x=1√e. Märk att eftersom x>0 så har vi endast en rot.
Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
- g(x)=lnxx2.
Derivatafunktionen är g′(x)=−2ln(x)+1x3
Derivatafunktionens nollställe är x=√e.
Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
- h(x)=x+xlnx.
Derivatafunktionen är h′(x)=ln(x)+2
Derivatafunktionens nollställe är x=1e2.
Se till att du kan lösa dessa för hand och inte bara på dator.
- f(x)=x2lnx.
- Bestäm minsta värde för ln(ex−x) då x∈R.
Derivatafunktionen är f′(x)=1ex−x⋅(ex−1)=ex−1ex−x.
Funktionen byter riktning i de punkter där f′(x)=0, ex−1ex−x=0⇔ex−1=0 eftersom en kvot kan endast få värdet 0 då täljaren har värdet 0. Vi får att ex=1⇔x=ln1=0.
Vi gör ett teckenschema,
f(−1)=e(−1)−1e(−1)−(−1)<0.
f(1)=e1−1e1−1=1>0.
0f′(x)−0+f(x)↘↗
Vi har ett minsta värde i x=0, funktionens minsta värde är f(0)=ln(e0+0)=ln(1+0)=0.
Funktionens minsta värde är 0.
- Bestäm minsta värde för ln(e2+x).
Funktionen är definierad då e2+x>0⇔x>−e2.
Derivatafunktionen är f′(x)=1e2+x⋅(1)=1e2+x.
Nollställen för derivatan är: f′(x)=0⇔1e2+x=0. Eftersom en kvot endast kan få värdet 0 då täljaren har värdet noll saknar derivatafunktionen nollställen.
Vi tar en punkt i definitionsmängden och testar hur funktionen beter sig. f′(1)=1e2+1>0. Funktionen f är då växande.
Eftersom derivatafunktionen saknar nollställen och funktionen är växande saknar funktionen ett entydigt minsta värde. Vi talar om att funktionens minsta värde är minus oändligheten, −∞.
- Bestäm största värde för funktionen f(x)=lnx+ln(3−x).
lnx är definierad då x>0. ln(3−x) är definierad då 3−x>0, alltså x<3. När vi kombinerar dessa får vi definitionsmängden för f, 0<x<3.
Derivatafunktionen är f′(x)=2x−3x2−3x. Se till att du bestämmer den!
Derivatans nollställe är f′(x)=0 då x=32.
Tecknet för derivatafunktionen är
f′(1)=12>0. f växande.
f′(2)=−12<0. f avtagande.
Alltså har vi ett största värde i x=32.
Största värdet är f(32)=2ln(32).
- Bestäm tangenten för funktionen f(x)=ln(x+1) i punkten x=0.
Derivatafunktionen är f′(x)=1x+1. Tangentens riktningskoefficient har värdet f′(0)=10+1=1. Tangenten går genom punkten x=0 och y=ln(0+1)=0.
Tangentens ekvation är, y−y0=k(x−x0) alltså y−0=1(x−0)⇔y=x.
- Bestäm tangenten för funktionen f(x)=lnx2 i punkten x=1.
Derivatafunktionen är f′(x)=2x. Tangentens riktningskoefficient har värdet f′(1)=21=2. Tangenten går genom punkten x=1 och y=ln12=0.
Tangentens ekvation är, y−y0=k(x−x0) alltså y−0=2(x−1)⇔y=2x−2.
- Hur många rötter har ekvationen ln(x−1)=3lnx−3?
Tanken är att vi inför en funktion, undersöker hur den växer och avtar och hur många gånger den skär x-axeln.
Vi inför en funktion f(x)=ln(x−1)−3lnx+3.
Definitionsmängden är x>1. Se till att du bestämmer den!
Derivatafunktionen är f′(x)=−2x+3x2−x. Se till att du bestämmer denna!
Derivatans nollställe är f′(x)=0 då x=32. Se till att du bestämmer denna!
Tecknet för derivatafunktionen
f′(1.1)=8011. f är växande. (1,1 för att funktionen inte är definierad i x=1.)
f′(2)=−12. f är avtagande.
Största värdet är f(32)=−ln2−3ln(32)+3≈1,09… . OBS! Positivt värde.
Detta betyder att funktionen växer fram till x=32. Sedan avtar den. För att ännu veta om funktionen skär x-axlen. sätter vi in värden i funktionen och undersöker om värdena är negativa.
f(1,01)=−1,64.
f(5)=−0,44.
Då vet vi att funktien skär x-axeln 2 gånger. Alltså har ekvationen 2 rötter.
Vill vi närmare intervallet för rötterna så får söka närmare intervall.
- Hur många rötter har ekvationen 5x+ln(x−2)=0?
Tanken är att vi inför en funktion, undersöker hur den växer och avtar och hur många gånger den skär x-axeln.
Vi inför en funktion f(x)=5x+ln(x−2).
Definitionsmängden är x>2. Se till att du bestämmer den!
Derivatafunktionen är f′(x)=5+1x−2=5x−9x−2. Se till att du bestämmer denna!
Derivatans nollställe är f′(x)=0 då x=95. Se till att du bestämmer denna! Men eftersom definitionsmängden är x>2 är f strängt monotom.
Tecknet för derivatafunktionen
f′(3)=6. f är växande.
f(2,00001)=−1,5128….
f(3)=15.
Då vet vi att funktionen är strängt monotom och skär x-axlen en gång mellan ]2,3[.
Alltså har ekvationen 1 rot, roten är i intervallet ]2,3[.
Vill vi närmare intervallet för rötterna så får söka närmare intervall.
- Visa att funktionerna f(x)=−12x2 och g(x)=lnx skär varandra vinkelrätt.
g(x) är definierad då x>0.
Den gemensamma x-koordinaten är x=0,75308. Lös denna, men inse att du klarar endast av att lösa den numeriskt.
Derivatafunktionerna är f′(x)=−x och g′(x)=1x.
Då två linjer är vinkelräta gäller att k1⋅k2=−1.
Då vi bildar riktningskoefficienten för tangenterna får vi att produkten har värdet -1.
Alternativ märker vi följande. För derivatafunktionerna gäller att f′(x)⋅g′(x)=−x⋅1x=−1. Det betyder att alla tanger som vi bildar för funktionerna f och g är ortogonala, vinkelräta.
- Bestäm definitionsmängden för funktionen f(x)=ln4−x24+x2. Derivera f.
Logaritmen är definierad då 4−x24+x2. Eftersom nämnaren alltid är positiv gäller att 4−x2>0, alltså då −2<x<2.
f(x)=ln4−x24+x2=ln(4−x2)−ln(4+x2).
f′(x)=−2x4−x2−2x4+x2
- Bilda deriveringsformeln för funktionerna av typ logax då a>0 och a≠1.
Följ det så som vi deriverade lnx genom att uttrycka loga som en exponent.
Vi kan skriva x=alogax. Derivatan av x är 1.
Då vi deriverar
Dlogax=Dalogax=alogaxlnaDlogax=x⋅lnaDlogax=1
Vi får att Dlogax=1xlna.