3. Tiopotenser

Inom naturvetenskaperna använder man sig oftast av enormt stora eller väldigt små tal. T.ex. avståndet mellan jorden och solen är 1 496 000 000 000 m och diametern för en kolatom 0,000 000 000 14 m. Då är det lättare att få en bild av storleken på talet och lättare att göra uträkningar om vi skriver talen med hjälp av tiopotenser.

Uttryck avstånden 1 496 000 000 000 m och 0,000 000 000 14 m som tiopotenser.

Exempel 1 Bestäm förhållandet mellan avståndet mellan jorden och solen och diametern för en kolatom.

Lösning

Förhållandet är $\dfrac{1,496 \cdot 10^{12} \textrm{ m}}{1,4 \cdot10^{-10} \textrm{ m}} = 1,0685\ldots \cdot 10^{12-(-10)} = 1,069 \cdot 10^{22}$ .

Storleksskillnaden är alltså ca $10^{22}$ .

För tiopotenser strävar vi till att fördelen har ett värde mellan 0 och 10. Ibland stöter vi ändå på tal som är större än 10, det beror helt på sammanhanget.

Uppgifter

Skriv följande tal som potenser.
1. $2000$
  
  $2000=2 \cdot 10^3$
2. $0,0002$
  
  $0,0002=2 \cdot 10^{-4}$ eller $0,2 \cdot 10^{-3}$
3. $-0,000045$
  
  $-0,000045=-4,5 \cdot 10^{-5}$ eller $-0,45 \cdot 10^{-4}$
Skriv som heltal eller decimaltal
1. $2 \cdot 10^7$
  
  $2 \cdot 10^7=20 000 000$
2. $1,6 \cdot 10^{-5}$
  
  $1,6 \cdot 10^{-5}=0,000 016$
3. $-7,543 \cdot 10^{-4}$
  
  $-7,543 \cdot 10^{-4}=-0,000 754 3$
Utför följande beräkningar. Försök att klara dig utan räknare.
1. $2,2 \cdot 10^{-27} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 5,0 \cdot 10^{20}$
  
  $2,2 \cdot 10^{-27} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 5,0 \cdot 10^{20}=5,5 \cdot 10^{-7}$
2. $\dfrac{3,0 \cdot 10^5 \cdot 6,00 \cdot 10^8}{4,0 \cdot 10^{-7}}$
  
  $\dfrac{3,0 \cdot 10^5 \cdot 6,00 \cdot 10^8}{4,0 \cdot 10^{-7}}=4,5 \cdot 10^{20}$
Hur många lager av kopieringspapper behövs för att få en stapel som når från jorden till månen, då avståndet mellan månen och jorden i medeltal är 382 000 km och ett papper är ca 0,1 mm tjockt?

$3,82 \cdot 10^{12}$ st
En mol betyder $6,022 \cdot 10^{23}$ atomer och 55,8 gram järn innehåller en mol atomer. Hur många atomer finns det i 1,0 kg järn?

Cirka $1,079 \cdot 10^{25}$ st atomer.
En googol motsvaras av en etta följd av 100 nollor, $10^{100}$ . Hur många nollor finns i följande tal?
På Wikipedia kan du läsa mera om googol.
1. $10^{\text{googol}}$ , en googolplex.
  
  Vi har $10^{10^{100}} = 10^{10 \cdot 100} = 10^{1000}$ .
  
  Alltså 1000 nollor.
2. $10^{\text{googolpex}}$ , en googolplexian
  
  Vi har $10^{10^{10^{100}}} = 10^{10^{1000}} = 10^{10\cdot 10000} = 10^{100000}$
  
  Alltså 10000 nollor.
3. $\text{googol} \cdot \text{googol}$
  
  Vi har $10^{100} \cdot 10^{100} = 10^{100 + 100} = 10^{200}$
  
  Alltså 200 nollor.
4. $\text{googol}^{10}$
  
  Vi har $10^{100^{10}} = 10^{100 \cdot 10} = 10^{1000}$ .
  
  Alltså 1000 nollor.
5. $\text{googol}^{\text{googol}}$
  
  Vi har $10^{100^{10^{100}}} = 10^{100^{1000}} =10^{100 \cdot 1000} = 10^{100000}$
  
  Alltså 100000 stycken nollor.
6. Hur många år är en googol sekund?
  
  Ett år är $365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 31536000 = 3,1536 \cdot 10^{7}$ sekunder.
  
  Antal år är $\dfrac{10^{100}}{3,1536 \cdot 10^{7}} = \dfrac{10 \cdot 10^{99}}{3,1536 \cdot 10^{7}} = 3,17\ldots \cdot 10^{92}$ år.
  
  Universums ålder är 13,8 miljarder år, alltså $13,8 \cdot 10^9$ . Det betyder att universums ålder är ca en tiondel av en googol sekund.