1. Begrepp

I sannolikhet talar vi om utfall, saker som sker. Vi delar in den i sådana som vi vill att skall ske, gynnsamma utfall, och totala utfall. Den slumpmässiga händelsen kallas också för stokastisk variabel.

Om vi har två svarta och tre vita kulor i en urna och drar slumpmässigt en kula är sannolikheten för att få en svart \( \dfrac{\textrm{gynnsamma}}{\textrm{totala utfall}}=\dfrac{2}{5} = 0,40 \). För de vita gäller igen \( \dfrac{\textrm{gynnsamma}}{\textrm{totala utfall}}=\dfrac{3}{5} = 0,60 \).

Vi kan antingen tala om sannolikheten som \( \dfrac{2}{5} \), av fem kulor är två svarta, eller som \( 0,40 \), av 100 kulor är 40 svarta.

Vi märker att summan av sannolikheterna är ett, \( 0,40 + 0,60 =1,00 \). Sannolikheten för en händelse rör sig mellan noll och ett. Är sannolikheten lika med noll kommer den inte att ske och är sannolikheten ett kommer den med säkerhet att ske.

Vi talar om att sannolikheten och komplementet för sannolikheten alltid har summan 1.

Sannolikheten för händelsen A, den stokastiksa variabeln A, är \( P(A) = \dfrac{\text{antalet gynsamma fall}}{\text{totala antalet utfall}} \).

För det motsatta talar vi om komplementet, \( \overline{A} \). Sannolikheten för komplementet är \( 1 - P(A) = P(\overline{A}) \).

Med andra ord gäller att \( P(A) + P(\overline{A}) = 1 \).

Exempel 1 Vi singlar slant tre gånger. Bestäm sannolikheten att vi

får två gånger klave,
får högst två gånger klave.

Lösning

Det är ingen skillnad om vi singlar tre slantar samtidigt eller om vi signar en slant tre gånger efter varann. Vi tar och skriver upp alla möjliga fall i en tabell.

	Kast 1	Kast 2	Kast 3
3 gånger klave	klave	klave	klave
2 gånger klave	klave	klave	krona
	klave	krona	klave
	krona	klave	klave
1 gång klave	klave	krona	krona
	krona	klave	krona
	krona	krona	klave
ingen klave	krona	krona	krona

Vi märker att vi kan få två stycken klavar på tre olika sätt. Totalt finns det åtta fall, sannolikheten för två gånger klave \( \dfrac{3}{8} \).

Om vi skall ha högst två stycken klavar skall vi ha noll, ett eller två stycken. Vi har totalt 1 + 3 + 3 olika sätt och sannolikheten är \( \dfrac{1+3+3}{8} =\dfrac{7}{8} \).

Vi kan också arbeta med komplementsannolikheten, det att vi skall ha mer än tre stycken klavar. Sannolikheten för tre klavar är \( \dfrac{1}{8} \) och vi vill ha komplementet för det, \( 1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8} \).

Exempel 2 Koefficienterna för ett polynom av första graden, \( f(x)=ax+b \), bestäms med tärning. Bestäm sannolikheten att

\( f(3)=12 \)
\( f(3) < 12 \)

Lösning

\( f(3)=12 \) betyder för vår del att \( f(3)=a\cdot 3 + b = 12 \). Vi bildar en tabell över olika värden som tärningarna ger vår funktion.

Vi har två fall som ger summan 12. Sannolikheten är \( \dfrac{2}{36} = 0,06 \).

För mindre än 12 har vi 13 fall. Sannolikheten är \( \dfrac{13}{36}=0,36 \).

Uppgifter

Vi kastar en vanlig sexsidig tärning. Kryssa för rätt uttryck för den stokastiska variablen A med rätt sannolikhet.

Påstående, A	1/6	2/6	3/6	4/6	5/6	6/6
Sannolikheten att få en trea är
Sannolikheten att få ett jämt tal är
Sannolikheten att få en femma är
Sannolikheten att få ett tal som är mindre än tre är
Sannolikheten att få ett tal som är större eller lika med fyra är

Påstående	1/6	2/6	3/6	4/6	5/6	6/6
Sannolikheten att få en trea är
Sannolikheten att få ett jämt tal är
Sannolikheten att få en femma är
Sannolikheten att få ett tal som är mindre än tre är
Sannolikheten att få ett tal som är större eller lika med fyra är

Från en kortpacke dras ett kort. Bestäm sannolikheten att kortet är
1. ett ess.
  
  Vi har \( P = \dfrac{\text{gynnsamma}}{\text{totala}} = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} = 0,0769\ldots \approx 0,077 \).
2. färgen spader.
  
  Vi har \( P= \dfrac{\text{gynnsamma}}{\text{totala}} = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4} = 0,25 \).
3. kulören rött.
  
  Vi har \( P= \dfrac{\text{gynnsamma}}{\text{totala}} = \dfrac{2\cdot 13}{52} = \dfrac{1}{2} = 0,50 \).
4. ett ess eller färgen spader.
  
  Vi måste beakta att vi har spader ess som vi inte får räkna dubbelt.
  
  Vi har \( P = \dfrac{\text{gynnsamma}}{\text{totala}} = \dfrac{4 + 13 - 1}{52} = \dfrac{4}{13} = 0,3076\ldots \approx 0,308 \).
5. spader ess.
  
  Vi har \( P = \dfrac{\text{gynnsamma}}{\text{totala}} = \dfrac{1}{52} = 0,0192\ldots \approx 0,019 \).
I en urna finns 10 klot. 4 är svarta, 2 är vita och resten är röda. Bestäm sannolikheten, som decimaltal, för att vi slumpmässigt drar en kula som är
1. svart
  
  \( P(\text{Svart})= \dfrac{4}{10} = 0,40 \).
2. röd
  
  Antal röda är 4 st.
  
  \( P(\text{Röd})= \dfrac{4}{10} = 0,40 \).
3. svart eller vit
  
  Totalt finns det 4+2 svarta eller vita kulor.
  
  \( P(\text{Svart eller vit})= \dfrac{4+2}{10} = 0,60 \).
4. inte vit
  
  8 kulor är inte vita.
  
  \( P(\text{Inte vit})= \dfrac{4+4}{10} = 0,80 \) eller som \( P(\text{Inte vit})= 1-\dfrac{2}{10} = 0,80 \).
Bestäm sannolikheten för händelserna då vi drar ett kort ur en normal kortpacke. Vi låter esset ha värdet 1.
1. Att kortet är spader.
  
  \( P(\text{Spader})= \dfrac{13}{52} = 0,25 \).
2. Att valören är mindre än 5.
  
  Per färg finns det 4 kort vars valör är mindre än 5; ess, 1, 2, 3 och 4. Totalt finns det fyra färger.
  
  \( P(\text{Valören mindre än 5})= \dfrac{4\cdot 4}{52} = 0,3077 \approx 0,31 \).
3. Att valören är antingen 7 eller 9.
  
  Per färg finns det två kort. Totalt har vi fyra färger.
  
  \( P(\text{7 eller 9})= \dfrac{2\cdot 4}{52} = 0,1538 \approx 0,15 \).
4. Att valören är 5 eller högre.
  
  Per färg finns det 9 kort: 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Totalt finns det 4 färger.
  
  \( P(\text{5 eller högre})= \dfrac{9\cdot 4}{52} = 0,6923 \approx 0,69 \).
Cecilia har dragit fyra kort från en kortlek. Hon har fått hjärter 5, hjärter 6, hjärter 7 och spader 7. Bestäm sannolikheten att följade kort är
1. hjärter.
  
  Vi får \( P(\text{hjärter}) = \dfrac{\text{gynsamma}}{\text{totala}} = \dfrac{13-3}{52-4} = \dfrac{10}{48} = \dfrac{5}{24} = 0,20833\ldots \approx 0,208 \).
2. valören 7.
  
  Vi får \( P(\text{valören 7}) = \dfrac{\text{gynsamma}}{\text{totala}} = \dfrac{4-2}{52-4} = \dfrac{2}{48} = \dfrac{1}{24} = 0,04166\ldots \approx 0,042 \).
3. valören 5 eller 6.
  
  Vi får \( P(\text{valören 5 eller 6}) = \dfrac{\text{gynsamma}}{\text{totala}} = \dfrac{3 + 3}{52-4} = \dfrac{6}{48} = \dfrac{1}{8} = 0,125 \).

Vi singlar slant en gång. Vilken är sannolikheten att vi får krona? Vilka av följande påståenden gäller?

Påstående	Sant	Falskt
När vi singlar slant så är var annat kast krona.
Då vi singlar slant två gånger får vi i en av kasten en krona.
Då vi singlar slant 100 gånger får vi 50 kronor.
Då vi singlar slant 100 gånger är ca 50 % av fallen kronor.

Påstående	Sant	Falskt
När vi singlar slant så är var annat kast krona.
Då vi singlar slant två gånger får vi i en av kasten en krona.
Då vi singlar slant 100 gånger får vi 50 kronor.
Då vi singlar slant 100 gånger är ca 50 % av fallen kronor.

Från statistik kan vi bilda sannolikheter. Då måste statistiken vara tillräckligt bred av sig, den skall ha tillräkligt mycket data i sig.

I tabellen nedan ser du statistik över barn födda mellan 1998-2004. Bestäm sannolikheten att det föddes en pojke och bestäm sannolikheten att det föddes en flicka.

Källa: stat.fi
år	antalet födda	antal pojkar
1998	57 039	29 085
1999	57 658	29 451
2000	56 772	29 274
2001	55 998	28 637
2002	55 546	28 560
2003	56 632	26 842
2004	57 532	29 633

För att bestämma sannolikheten för en pojke bildar sannolikheten, \( P(\text{pojke}) = \dfrac{201 482}{397177} = 0,5072 \).

Alltså 0,507.

Antingen föds det en pojke, eller en flicka. Vi får \( P(\text{flicka}) = 1 - P(\text{pojke}) = 1- 0,5072 = 0,4928 \).

Alltså 0,493.

Cecilia och Daniel är del av ett sällskap om 4 som är ute och tältar. De har ett lite för litet tält där endst 2 personer får plats. Dessa 2 väljs slumpmässigt. Namnge de två andra i sällskapet och bilda alla kombinatier som kan bildas. Har alla par samma sannolikhet? Bestäm vidare följande sannolikheter.
1. Cecilia får plats i tältet.
  
  De två andra namnger vi med E, Elsa, och F, Frans.
  
  Alla kombinationer är CD, CE, CF, DE, DF och EF. Alla kombinationer har samma sannolikhet.
  
  Vi får \( P(\text{Cecilia får plats}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0,500 \).
2. Cecilia får plats i tältet och Daniel blir utan plats.
  
  Vi får \( P(\text{Cecilia får platso och Daniel utan plats}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} = 0,333\ldots \approx 0,333 \).
3. Cecila och Daniel får båda plats i tältet.
  
  Vi får \( P(\text{Cecilia får platso och Daniel får plats}) = \dfrac{1}{6} = 0,166\ldots \approx 0,167 \).
4. Vad är komplementet, det motsatta, till c)? Bestäm sannolikheten för komplementet.
  
  Komplementet är att varken Elsa eller Frans får plats i tältet.
  
  Vi får \( P(\text{Varken Elsa eller Frans får plats}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} = 0,833\ldots \approx 0,833 \).
Av 5 stycken som väntar på överloppsplatser på ett flygplan får 3 plats. De 3 som får plats väljs slumpmässigt. Anna och Bertil är bland de som väntar på en överloppsplats. Bestäm sannolikheten att
1. Anna får plats.
  
  Vi får \( P(\text{Anna får plats}) = \dfrac{3}{5} = 0,600 \).
2. Anna och Bertil får plats.
  
  Vi betecknar de andra resenärerna med C, D och E.
  
  Alla grupper är 10 st, ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE och CDE. Av dessa har alla grupper samma sannolikhet.
  
  Vi får \( P(\text{Anna och Bertil får plats}) = \dfrac{3}{10} = 0,300 \).
3. Anna får plats men Bertil får inte plats.
  
  Vi får \( P(\text{Anna får plats, Bertil ingen plats}) = \dfrac{3}{10} = 0,300 \).
I en undersökning om vad de gör på sin fritid svarade 299 gymnaster som följande: 102 idrottar, 89 musicerar och 108 idrottar och musicerar.
1. Hur många idrottar på sin fritid?
  
  102 idrottar + 108 idrottar och mucicerar = 210 som idrottar.
2. Hur många håller på med musik på sin fritid?
  
  89 musicerar och 108 musicerar och idrottar = 197 musicerar.
Koefficienterna för ett polynom av första graden, \( f(x)=ax+b \), bestäms med tärning. Bestäm följande sannolikheter.
Tänk efter och rita tabell över värden som funktionen kan få.
1. \( f(-1)=2 \)
  
  Eftersom \( f(-1)=2 \) får vi att \( a(-1)+b=2 \). Vi får följande tabell
  
  \( \begin{array}{c|ccccccc} b & \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1\\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2\\ 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3\\ 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4\\ 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 \\ \hline & 1& 2& 3 & 4 & 5 & 6 & a\\ \end{array} \)
  
  Vi får \( P(f(-1)=2)= \dfrac{4}{36} = 0,1111\ldots \approx 0,11 \).
2. \( f(-1)>2 \)
  
  Vi har samma tabell som ovan.
  
  \( P(f(-1)>2 ) =\dfrac{6}{36} = 0,1666\ldots \approx 0,17 \).
Bestäm sannolikheten att ett barn föds under ett veckoslut.
Vilka påståenden är sanna?
1. I en familj med sju stycken barn finns det alltid två stycken barn som är födda under ett veckoslut.
2. Om de två första barnen i familjen är födda under ett veckoslut, föds resten fem barn under veckan.
3. I en undervisningsgrupp som består av 21 studerande, är sex stycken födda under ett veckoslut.
4. Av jorden befolkning är 29 % födda under ett veckoslut.
Vi antar att sannolikheten att födas under en dag är lika stor. Vi får sannolikheten, \( P(\text{föds under veckoslut}) = \dfrac{2}{7} = 0,2857 \), alltså 29 %.

I verkligheten gäller det att födslar som startas eller kejsarsnitt sker under veckan, och då stämmer inte vårt antagande i början.

Av påståendena gäller endast d).
Koefficienterna för ekvationen för linjen \( ax+by=4 \) lottas med tärning. Bestäm sannolikheten att linjen går genom punkten \( (1,1) \).

Eftersom linjen skall gå genom punkten \( (1,1) \) gäller att \( a\cdot 1 + b\cdot 1 = 4 \)

Vi skapar en tabell

\( \begin{array}{c|ccccccc} b \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 3 &4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 3 &4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 3 &4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & a \end{array} \)

Vi har 3 st talpar som bildar summan 4. Sannolikheten är \( P(\text{Genom punkten (1,1)}) =\dfrac{3}{36} = 0,0833\ldots \approx 0,08 \).