MaA 10 Sannolikhet och statistik

7. Multiplikationsprincipen

Vi har hittils tittat på enskilda händelser och deras sannolikhet. Till nästa tar vi och börjar kombinera olika händelser och deras sannolikheter. Vi börjar med att se på hur vi tolkar händelserna "eller" och "och".

Hittils har vi redan räknat med komplementet, det motsatta att en händelse sker.

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel har gjort följande tabell över sina egenskaper:

Könhöger/vänsterhäntögonfärg
Annaflickahögerhäntblåa ögon
Bertilpojkehögerhäntbruna ögon
Ceciliaflickavänsterhäntblåa ögon
Danielpojkehögerhäntblåa ögon

De funderar på följande:

Vad är sannolikheten av att av oss 4 väljs slumpmässigt först en pojke och sedan en person med blå ögon då personen som valdes först är med i den andra dragningen?

Sannolikheten för en pojke är \( \dfrac{2}{4} \) och sannolikheten för en person med blåa ögon är \( \dfrac{3}{4} \). Vi söker efter sannolikheten att vi först väljer en pojke och sedan en person med blåa ögon. Den sökta sannolikheten är \( \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{16} \).

Två händelser, A och B, är oberoende av varandra om valet av A inte påverkar på valet av B och valet av B inte påverkar valet av A. Då A och B är oberoende av varandra gäller att sannolikheten P(A och B) = P(A) \( \cdot \) P(B).

Exempel 1 Människor hör till någon av fyra blodgrupper, A, B, AB och O. I Finland är andelen som hör till respekitive grupp följande

https://fi.wikipedia.org/wiki/Veriryhmä
BlodgruppAndel
A44 %
B17 %
AB8 %
O31 %

Dessutom har 87 % av den finska befolkningen Rhesusfaktor, Rh+, medan resten är utan. Om en person har Rhesusfaktor är helt oberoende vilken blodgrupp som personen hör till. Bestäm sannolikheten att en person hör till blodgruppen

  1. A+
  2. O-
  3. AB-

Lösning

Beteckningen A+ betyder blodgrupp A och Rhesusfaktor +.

  1. Sannolikheten för blodgrupp A är 0,44 och Rh+ är 0,87. Sannolikheten för A+ är \( P(A+) = P(A) \cdot P(Rh+) = 0,44 \cdot 0,87 = 0,3828 \approx 0,383 \).
  2. Sannolikheten för blodgrupp O är 0,31 och Rh- är 1 - 0,87 = 0,13. Sannolikheten för O- är \( P(O-)=P(O) \cdot P(Rh-) = 0,31 \cdot 0,13 = 0,0403 \approx 0,040 \). Denna grupp av människor kan donera blod till vem som helst.
  3. Sannolikheten för blodgrupp AB är 0,08 och Rh- är 0,13. Sannolikheten för AB- är \( P(AB-)= P(AB) \cdot (Rh-)= 0,08 \cdot 0,13 = 0,0104 \approx 0,010 \).

Exempel 2 I Europa är kör 3,5 % av bilisterna påverkade av alkohol. I ett blåstest blåser 200 bilister. Bestäm sannolikheten att i alla fall en rattfyllerist åker fast.

Lösning

Då 3,5 % kör påverkade av alkohol är andelen som inte är påverkade 100 - 3,5 = 96,5 %.

Händelsen att ingen av 200 personer är påverkad av alkohol kan vi uttrycka som "första är inte, andra är inte, tredje är inte, ..., den 200 är inte påverkade".

Eftersom bilisterna väljs slumpmässigt är händelserna oberoende av varandra.

Sannolikheten får vi som P(ingen av 200 bilister) = \( 0,965 \cdot 0,965 \cdot \ldots \cdot 0,965 = 0,965^{200} \).

Den sökta sannolikheten är P(i alla fall 1) = 1 - P(ingen) = \( 1-0,965^{200} = 0,999195 \).

Alltså 99,9 %.

Uppgifter

  1. De bästa spelarna i NBA kastar in frikast med sannolikheten 0,90. Det att frikasten far i korgen är oberoende av föregående kast.

    Bestäm sannolikheten för att en spelare får in

    1. 2 frikast efter varandra.

      \( 0,90 \cdot 0,90 = 0,81 \)

    2. 3 frikast efter varandra.

      \( 0,90 \cdot 0,90 \cdot 0,90 = 0,729 \)

    3. Första kastet missar och det andra går in.

      Sannolikheten för att en spelare missar är \( 1- 0,90 = 0,10 \).

      Sannolikheten är \( P(\text{första missar, andra in}) = 0,10 \cdot 0,90 = 0,09 \).

  2. Cecilia sår två frön, ett för citronträd och ett för äppelträd. Vi antar att fröen gror är oberende händelser av varandra. Sannolikheten att fröet för citronträdet gror är 0,4 och fröet för äppelträdet gror är 0,3.

    Bestäm följande sannolikheter.

    1. Att bägge frön gror.

      Händelsen är oberende av varandra.

      Sannolikheten är \( P(\text{bägge gror}) = 0,3 \cdot 0,4 = 0,12 \).

    2. Inget av fröen gror.

      Sannolikhete att citronträndet inte gror är 0,60 och sannolikheten för att äppelträdet inte gror är 0,70.

      Sannolikheten är \( P(\text{ingendera frö gror}) = 0,60 \cdot 0,70 = 0,42 \).

    3. Fröet för citronträdet gror och föret för äppelträdet gror inte.

      Sannolikheten är \( P(\text{citronfröet gror, äppel gror inte}) = 0,40 \cdot 0,70 = 0,28 \).

    4. Fröet för citronträdet gror inte och fröet för äppelträdet gror.

      Sannolikheten är \( P(\text{citron gror inte, äppel gror}) = 0,60 \cdot 0,30 = 0,18 \).

  3. Vilken är sannolikheten att vi ur en kortpacke drar en tvåa följt av en fyra efter att vi lagt tillbaka det första kortet i packen? Vi räknar med att ässet har valören 1.

    \( P(\text{2:a följt av 4:a}) = \dfrac{4}{52}\cdot \dfrac{4}{52} = 0,005917 \).

  4. Vilken är sannolikheten att vi ur en kortpacke drar två kort så att det första är spader och att det andra har valören mindre än 7 utan att lägga tillbaka korten i packen? Vi räknar med att ässet har valören 1.

    \( P(\text{Spader följt av valör mindre än 7}) = P(\text{Spader}) \cdot P(\text{Valör mindre än 7}) = \dfrac{13}{52} \cdot \dfrac{4\cdot 6}{51} = 0,117647 \).

  5. Två tal, \( x \) och \( y \), bestäms slumpmässigt ur intervallet [0,4].
    1. Bestäm sannolikheten att \( x \) och \( y \) är större än 3.

      \( P(\text{x och y större än 3})=P(x>3)\cdot P(y>3) = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} = 0,0625 \).

    2. Bestäm sannolikheten att \( x-y<2 \) och \( x<y \).

      \( P(\text{ x-y<2 och x<y}) = P(x-y<2)\cdot P(x<y) = (1-\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot 2}{4\cdot 4}) \cdot \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 4}{4\cdot 4} = \dfrac{7}{16} = 0,4375 \).

  6. I Lotto lottas av 39 nummer 7 nummer och 2 tilläggsnummer. Bestäm sannolikheterna för de olika vinstklasserna i Lotto då vinstklasserna är:
    1. 7 rätt

      \( \dfrac{{7\choose7}{2\choose 0}{30 \choose 0}}{{39 \choose 7}} = 0,000000065 \)

    2. 6+1 rätt

      \( \dfrac{{7\choose 6}{2 \choose 1}{30\choose 0}}{{39\choose 7}} = 0,00000091 \)

    3. 6 rätt

      \( \dfrac{{7\choose 6}{2 \choose 0}{30 \choose 1}}{{39\choose 7}} = 0,000000455 \)

    4. 5 rätt

      \( \dfrac{{7\choose 5}{2\choose 0}{30\choose 2}}{{39\choose 7}} = 0,000001365 \)

    5. 4 rätt

      \( \dfrac{{7\choose 4}{2\choose 0}{30\choose 3}}{{39\choose 7}} = 0,000002276 \)

    6. Ingen siffra rätt

      \( \dfrac{{7\choose 0}{2\choose 0}{30\choose 7}}{{39\choose 7}} = 0,132358646 \)

  7. Lönar det sig att slå vad att med fyra tärningskast får man i alla fall en 6:a?

    Vi arbetar via komplementet.

    Sannolikheten för att inte få en 6:a är \( \dfrac{5}{6} \).

    Vi får \( P(\text{4 kast, iaf en 6:a}) = 1 - P(\text{4 kast, ingen 6:a}) = 1 - (\dfrac{5}{6})^4 = 0,5177\ldots \).

    Eftersom sannolikheten är större än 0,5 lönar det sig.

    Uppgiften är samma som Chevalier de Méré ställde Blaise Pascal i deras brevkorrespondas och gav sannolikhetsläran en stor knuff framåt.

  8. Två tärningar kastas 24 gånger. Lönar det sig att slå vad för att det i alla fall kommer en dubbelsexa?

    Vi arbetar via komplementet.

    Sannolikheten att vi inte får en dubbelsexa är \( P(inte dubbelsexa) = \dfrac{35}{36} \).

    Vi får \( P(\text{24 kast, iaf 1 dubbelsexa}) = 1 - P(\text{24 kast, ingen dubbelsexa}) = 1 - (\dfrac{35}{36})^{24} = 0,4914\ldots \).

    Eftersom sannolikheten är mindre än 0,50 så lönar det sig inte.

    Detta är det andra problemet som de Méré ställde Pascal.

  9. Inom trafiken i Europa kör 1,9 % av bilisterna påverkade av droger. I en razzia testas 200 personer. Bestäm följande sannolikheter.
    1. Bestäm sannolikheten att i alla fal en bilist av 200 blir fast för att köra påverkad av narkotika.

      Andelen som inte är påverkade av droger: \( 1-0,019 = 0,981 \).

      P(ingen av 200) = \( 0,981 \cdot 0,981 \cdot \ldots \cdot 0,981 = 0,981^{200} \).

      P(1 bilist påverkad) = \( 1 - P(\text{ingen av 200}) = 1-0,981^{200} = 0,97843 \).

      Alltså 97,8 %.

  10. Av alla barn som föds i Finland är 51,1 % pojkar. Hur många procent av familjer som består av 7 st barn består endast av

    Källa: https://tilastokoulu.stat.fi/verkkokoulu_v2.xql?course_id=tkoulu_vaesto&lesson_id=5&subject_id=3&page_type=sisalto, 13.10.2020

    1. pojkar?

      Sannolikheten är oberende av varandra.

      Sannoliheten är \( P(\text{7 bröder}) = 0,511^7 = 0,009098\ldots \).

      Alltså 0,91 %.

    2. flickor?

      Sannolikheten för en flicka är 48,9 %.

      Sannolikheten är \( P(\text{7 systrar}) = 0,489^7 = 0,006685\ldots \).

      Alltså 0,67 %.

    3. Hur många procent flera familjer finns det som består av 7 bröder än familjer som består av 7 systrar?

      Vi får förhållandet \( \dfrac{P(\text{7 bröder})}{P(\text{7 systrar})} = \dfrac{0,009098}{0,006685} = 1,3609\ldots \).

      Alltså 36,1 % flera.