10. Betingad sannolikhet

Om du inte är bekant med mängdlära från tex kurs 11 så rekommenderas att du börjar med kapitel 11 om Mängdlära.

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel grubblar igen. De skall resa på solsemester och funderar på sannolikheten att det kommer att regna väl framme under en slumpmässigt vald dag.

För semesterorten gäller att sannolikheten för lågtryck är 0,1, ostadigt 0,2 och sannolikheten för högtryck är 0,7.

Vi skiver sannolikheterna som

P(lågryck) = 0,1

P(ostadigt) = 0,2

P(högtryck) = 0,7

Vidare inför vi en sannolikhet för regn. Om det regnar är beroende av vädertypen, vi talar om betingad sannolikhet.

P(regn | lågtryck)= 0,6

P(regn | ostadigt)= 0,3

P(regn | högtryck)= 0,1

Vi tolkar raderna så att sannolikheten för regn då det är lågtryck är 0,6, regn då det är ostadigt är 0,3 och regn då det är högtryck 0,1.

För att bestämma sannolikheten för att det regnar på en slumpmässig dag gör vi en tabell.

Vädertyp	Lågtryck (0,1)		Ostadigt (0,2)		Högtryck (0,7)
	Ej regn (0,4)	Regn (0,6)	Ej regn (0,7)	Regn (0,3)	Ej regn (0,9)	Regn (0,1)
Sannolikheter:		\( 0,1 \cdot 0,6 \)		\( 0,2\cdot 0,3 \)		\( 0,7 \cdot 0,1 \)

Vår sökta sannolikhet blir den totala sannolikheten för regn: \( 0,1 \cdot 0,6+0,2\cdot 0,3 +0,7 \cdot 0,1= 0,19 \).

Matematiskt betecknar vi betingade sannolikheter som P(A|B) = \( \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \). Vi är intresserade av att veta hur stor andel A utgör av B.

I exemplet ovan kan vi gå uppifrån ner och lösa problemet. Oftast är livet inte så lätt och inom sannolikhetsläran utnyttjar vi Bayes sats för att lösa sannolikhets problem där vi vill gå baklänges.

Exempel 1 Antag att Anna, Bertil, Cecilia och Daniel är på sin semesterort. En morgon vaknar de till att det regnar. Vilken är sannolikheten att det är högtryck ute?

Lösning

Vi använder oss av samma beteckningar som ovan. Nu är vi intresserade av P(högtryck|regn).

Vi kan skriva P(högtryck|regn) = \( \dfrac{\textrm{P(högtryck och regn)}}{\textrm{P(regn)}} \\ = \dfrac{\textrm{P(regn och högtryck)}}{\textrm{P(regn och lågtryck)}+\textrm{P(regn och ostadigt)}+\textrm{P(regn och högtryck)}} \).

Den sökta sannolikheten är \( \dfrac{0,7\cdot0,1}{0,1\cdot0,6 + 0,2\cdot 0,3 + 0,7\cdot 0,1} = 0,3684 \)

Sannolikheten att det är högtryck ute är 0,37.

Uppgifter

12,6 % av alla män och 9,9 % av alla kvinnor är vänsterhänta. Vi studerar en population som består av 45 % män och 55 % kvinnor. Från populationen väljs slumpmässigt en person. Bestäm sannolikheten för att personen är
1. en vänsterhänt kvinna
  
  \( P(\text{Vänsterhänt kvinna}) = P(\text{Kvinna och vänsterhänt}) \\ = 0,55\cdot 0,099 = 0,05445 \).
2. vänsterhänt
  
  \( P(\text{Vänsterhänt}) = P(\text{Vänsterhänt man}) \text{ eller }P(\text{Vänsterhänt kvinna}) \\ = 0,45\cdot 0,126 + 0,55 \cdot 0,099 = 0,11115 \).
3. en kvinna om vi vet att personen är vänsterhänt.
  
  Vi får att \( P(\text{Kvinna} \mid \text{Vänsterhänt}) = \dfrac{P(\text{Kvinna och vänsterhänt})}{P(\text{Man och vänsterhänt})+P(\text{Kvinna och vänsterhänt})} \\ = \dfrac{0,55 \cdot 0,099}{0,45\cdot 0,126 + 0,55 \cdot 0,099} = 0,48987 \).
I en fabrik där man tillverkar lampor finns det tre produktionslinjer. Linje 1 producerar 35 %, linje 2 producerar 40 % och linje 3 producerar 25 % av alla lampor. Av lamporna som produceras vid linje 1 är 3 % defekta. För linje 2 gäller 4 % och linje 3 är 6 % defekta. Bestäm sannolikheten för att
1. en slumpmässigt vald lampa är defekt?
  
  \( P(\text{Defekt}) = 0,35\cdot 0,03 + 0,40\cdot 0,04 + \cdot 0,25\cdot 0,06 = 0,0415 \).
2. en lampa som är defekt kommer från linje 1.
  
  \( P(\text{Linje 1} \mid \text{Defekt}) \\ = \dfrac{0,03\cdot 0,35}{0,03\cdot 0,35 + 0,04\cdot 0,4 + 0,06\cdot 0,25} \\ =0,25301 \)
Sannolikheten för att en korgbollspelare gör korg i första straffkastet är 60 %, sannolikheten för korg i det andra är 70 % om det blivit korg i det första kastet, och sannolikheten för korg i det tredje kastet är 80 % om det blivit korg i de båda föregående kasten. Vad är sannolikheten att korgbollspelaren gör korg i de två första straffkasten och missar i det tredje.

Vi söker sannolikheten för att 1:a lyckas, 2:a lyckas och 3:e misslyckas.

Vi får sannolikheten \( P(\text{1:a lyckas} \cdot P(\text{2:a lyckas}) \cdot P(\text{3:e misslyckas}) = \\ 0,60 \cdot 0,70 \cdot (1-0,80) = 0,084 \)

Alltså 0,08.
För en bergsby gäller följande observationer
- om det är uppehåll en dag så regnar det följande dag med sannolikheten \( \dfrac{1}{3} \).
- om det regnar en dag så regnar det följade dag med sannolikheten \( \dfrac{3}{5} \).
Med vilken sannolikhet är det uppehåll i övermorgon om det regnar i dag?

Vi får \( P(\text{uppehåll i övermorgon | regnar idag}) = \\ P(\text{"regn i morgon och uppehåll i övermorgon" eller "uppehåll i morgon och uppehåll i övermorgon" | regn idag}) \\ P(\text{regn i morgon och uppehåll i övermorgon | regn idag}) + \\ P(\text{uppehåll i morgon och uppehåll i övermorgon | regn idag}) = \\ P(\text{regn i morgon | regn idag}) \cdot P(\text{uppehåll i övermorgon | regn idag och regn i morgon}) + \\ P(\text{uppehåll i morgon | regn idag}) \cdot P(\text{uppehåll i övermorgon | regn idag och uppehåll i morgon}) = \\ P(\text{regn i morgon | regn idag}) \cdot P(\text{uppehåll i övermorgon | regn i morgon}) + \\ P(\text{uppehåll i morgon | regn idag}) \cdot P(\text{uppehåll i övermorgon | uppehåll i morgon}) = \\ \dfrac{3}{5}\cdot (1-\dfrac{3}{5})+(1-\dfrac{3}{5})\cdot(1-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{38}{75} \approx 0,50666\ldots \)

Alltså 0,51.
I låda A finns 6 mässingsskruvar och 4 mässingsspikar och i låda B finns 5 zinkskruvar och 10 zinkspikar. Vi väljer slumpmässigt en låda och drar ur lådan slumpmässigt en spik eller en skruv.
1. Bestäm sannolikheten att vi får en skruv.
  
  Vi får sannolikheten \( P(\text{skruv}) = P(\text{låda A}) \cdot P(\text{skruv från låda A}) + P(\text{låda B}) \cdot P(\text{skruv från låda B}) \).
  
  Alltså \( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{10} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{15} = \dfrac{7}{15} = 0,4666\ldots \approx 0,47 \).
2. Bestäm sannolikheten att materialet är mässing då vi märker att vi fått en skruv.
  
  Vi får sannolikheten \( \dfrac{P(\text{mässing och skruv})}{P(\text{skruv})} = \dfrac{\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{10}}{\frac{7}{15}} = \dfrac{9}{14} = 0,6428\ldots \approx 0,643 \).
På ett cigarettpaket läser vi följande: "Nio av tio strupcancerpatienter är rökare". Anta att detta påstående är korrekt samt att i befolkningen är 10 % rökare och att 0,1 % av hela befolkningen drabbas av strupcancer. Vad är sannolikheten att en rökare drabbas av strupcancer?

Sannolikheten är \( P(\text{Strupcancer} \mid \text{ Rökare}) \\= \dfrac{P(\text{Strupcancer och rökare})}{P(\text{Rökare})} \\= \dfrac{0,001 \cdot 0,90}{0,10} = 0,009 \).

Av hela befolkningen drabbas 0,1 % av strupcancer, alltså 0,001.

Detta betyder att strupcancer är 9 gånger vanligare hos rökare än ickerökare.
I en fruktkorg finns röda och gröna äpplen. Vi tar slumpmässigt två äpplen ur korgen och får två röda äpplen med sannolikheten \( \dfrac{6}{11} \). Hur många röda äpplen finns det i korgen då antalet gröna äpplen är 3?

Vi betecknar antalet röda äpplen med \( x \).

Då kan vi bilda sannolikheten \( P(\text{det första och andra äpplet är rött}) = \dfrac{6}{11} \).

Alltså \( P(\text{första är rött}) \cdot P(\text{det andra rött | det första rött}) = \dfrac{6}{11} \).

Vi får ekvationen \( \dfrac{x}{x+3} \cdot \dfrac{x-1}{x+2} = \dfrac{6}{11} \). Då vi löser ekvationen får vi rötterna \( x_1 = 9 \) och \( x_2 = -0,8 \).

Alltså 9 st.
Låt oss anta att 0,40 % av befolkningen drabbas av en form av cancer. Ett diagnostiskt test ger positivt resultat i 99,5 % av fallen om en individ har cancer och ger positivt resultat i 1 % av fallen om en individ inte har cancer. Då vi plockar på måfå en vuxen individ ur en stor population ger testet ett positivt resultat, vad är sannolikheten för att individen har den aktuella formen av cancer?

Sannolikheten är \( P(\text{Cancer} \mid \text{Positivt resultat}) = \dfrac{P(\text{Positivt resultat} \mid \text{Cancer})}{P(\text{Positivt resultat} \mid \text{Cancer}) + P(\text{Positivt resultat} \mid \text{Inte cancer})} \).
\( = \dfrac{0,995 \cdot 0,004}{0,995 \cdot 0,004 + 0,01 \cdot 0,996} = 0,2855 \).