16. Repetition
Det var det innehållet som gällde för denna kurs. Sedan är det bara att repetera.
Uppgifter
- Förenkla
- \((a-b)^2+2ab\)
\((a-b)^2+2ab=a^2 -2ab+b^2 +2ab=a^2 + b^2\)
- \(a(a+b)-(a-b)(a+b)\)
\(\begin{array}{rcl} a(a+b)-(a-b)(a+b) & = & a^2+ab-(a^2-b^2) \\ & = & a^2+ab-a^2+b^2 \\ & = & b^2+ab \\ \end{array}\)
- \(m(m+n)^2 -n(m^2-m)\)
\(\begin{array}{rcl} m(m+n)^2 -n(m^2-m) & = & m(m^2+2mn+n^2)-m^2n+mn \\ & = & m^3+2m^2n+mn^2-m^2n+mn \\ & = & m^3+m^2n +mn^2 +mn \\ \end{array}\)
- \((a-b)^2+2ab\)
- Lös ekvationerna
- \(x^2-x-2=0\)
Rotformeln ger oss att \(x=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 (-2)}}{2\cdot 1}\) som ger att \(x=2\) eller \(x=-1\).
- \(x^2-2x = -1\)
Rotformeln ger \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\) ger \(x=1\).
Eller sedan som \(x^2-2x +1= 0 \Leftrightarrow (x-1)^2=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\).
- \(-x^2-4x-4=0\)
Rotformeln ger oss att \(x=\dfrac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4(-1)(-4)}}{2(-1)}\) som betyder att \(x=-2\).
Vi kan även lösa den som \(-x^2-4x-4=0 \Leftrightarrow x^2+4x+4=0 \Leftrightarrow (x+2)^2=0 \Leftrightarrow x+2=0 \Leftrightarrow x=-2\).
- \(x^2-x-2=0\)
| Påstående | Noll rötter. | En rot. | Två rötter. |
|---|---|---|---|
| \(x^2+4x+3 = 0\) | |||
| \(x^2-6x+9=0\) | |||
| \(x^2-2x=-2\) |
| Påstående | Noll rötter. | En rot. | Två rötter. |
|---|---|---|---|
| \(x^2+4x+3 = 0\) | |||
| \(x^2-6x+9=0\) | |||
| \(x^2-2x=-2\) |
- \(f(x)=3x-6\)
- \(g(x)=2x^2-8\)
- \(h(x)=3x^2-6x\)
- \(i(x)=x^2-3x+2\)
Lös tillsammans nollställena för funktionerna.
- \(f(x)=3x-6\) genom att lösa \( 3x-6=0 \) som har lösningen \( x = 2 \).
- \(g(x)=2x^2-8\) genom att lösa \( 2x^2-8=0 \) som har lösningen \( x = \pm 2 \).
- \(h(x)=3x^2-6x\) genom att lösa \( 3x^2-6x=0 \) som har lösningarna \( x_1 = 0 \) och \( x_2 = 2 \).
- \(i(x)=x^2-3x+2\) genom att lösa \( x^2-3x+2=0 \) som har lösningarna \( x_1 = 1 \) och \( x_2 = 2 \).
- \(-3x-1 < -5x\)
\(\begin{array}{rcl} -3x-1 & < & -5x \\ -3x+5x & < & 1 \\ 2x & < & 1 \\ x & < & \dfrac{1}{2}\\ \end{array}\)
- \(x(3-x) > 2\)
\(x(3-x) > 2 \Leftrightarrow -x^2+3x-2 > 0\). Ekvationen \(-x^2+3x-2 =0\) har lösningarna \(x=1\) och \(x=2\).
Skiss av parabeln eller teckenschema ger att \(1 < x < 2\).
- \((x-1)^2 < 2(1-x)\)
\((x-1)^2 < 2(1-x) \Leftrightarrow x^2-2x+1 < 2-2x \Leftrightarrow x^2 < 1\) som sker då \(-1 < x < 1\).
- \(2x-3 < 3-2x\)
\(2x-3 < 3-2x \Leftrightarrow 4x < 6 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}\)
- \((x+1)^2 \leq 1\)
\((x+1)^2 \leq 1 \Leftrightarrow x^2+2x+1 \leq 1 \Leftrightarrow x^2+2x \leq 0\). Ekvationen \(x^2+2x=0\) har lösningarna \(x=0\) och \(x=-2\).
Då vi skissar upp parabeln får vi att \(-2\leq x \leq 0\).
- \(x^3 < x^2\)
\(x^3 < x^2 \Leftrightarrow x^3-x^2 < 0\). Ekvationen \(x^3-x^2=0 \Leftrightarrow x^2(x-1)=0\) har lösningarna \(x=0\) och \(x=1\).
Teckenschema ger följande
\(\begin{array}{r|ccccc} & & 0 & & 1 & \\ \hline x^2 & + & 0 & + & + & + \\ x-1 & - & - & - & 0 & + \\ \hline x^3-x^2 & - & 0 & - & 0 & +\\ \end{array}\)
Vi får att \(x < 0\) eller \(0 < x < 1\).
Vi har en parabel som öppnar sig nedåt. Betyder att funktionen inte får skära \(x\)-axeln. Det sker då ekvationen \(f(x)=0\) saknar rötter.
Alltså \(-x^2+ax+a-3=0\) skall sakna rötter. Det sker då \(D=b^2-4ad = a^2-4(-1)(a-3) < 0\).
Vi får olikheten \(a^2+4a-12 < 0\) som vi löser genom att lösa ekvationen \(a^2-4a-12=0\) som har rötterna \(a=-6\) och \(a=2\).
Då vi skissar upp parabeln får vi svaret \(-6 < a < 2\).
Ekvationen \(ax^2+a=1 \Leftrightarrow ax^2+a-1=0\).
Om denna ekvation skall ha två rötter gäller det att diskriminanten skall vara positiv. \(D=b^2-4ac = a^2-4\cdot a(-1) < 0 \Leftrightarrow a^2+4a < 0\). Ekvationen \(a^2+4a=0\) har rötterna \(a=0\) och \(a=-4\).
Då vi skissar upp parabeln får vi att \(-4 < a < 0\).
\(x^2-ax+2=1\Leftrightarrow x^2-ax+1=0\). Då ekvationen skall ha endast en rot gäller det att diskriminanten skall ha värdet 0.
Alltså \(D=b^2-4ac = (-a)^2-4\cdot 1 \cdot 1 =0 \Leftrightarrow a^2-4=0\) som har lösningarna \(a=\pm 2\).
Vi betecknar längden med \( a \) och bredden med \( b \)
Från längden av staketet får vi att \( a + b = 72 \). För arean gäller att \( a\cdot b = 1260 \).
Vi sätter in den ena ekvationen i den andra, \( a = 72 - b \). Alltså \( (72-b)b = 1260 \). (Det är ingen skillnad om du utgår från \( b = 72 - a \). Du kommer till samma resultat.)
Andragradsekvationen är \( -b^2 +72b -1260 = 0 \). Ekvationen har lösningarna \( b_1 = 30 \) och \( b_2 = 42 \).
Då bredden är 30 m är längden 42 m, och då bredden är 42 m är längden 30 m.
Vi betecknar bredden av stenbeläggningen med \( a \).
Rektangel runt bassängen är \( 2a \) längre och bredare än bassängen. Vi bildar den totala arean och subraherar simbassängens area.
Alltså \( (2a + 15)(2a + 8)-15 \cdot 8 = 40 \). När vi förenklar får vi \( 4a^2 +46a - 40 = 0\). Ekvationen har lösningarna \( a_1 = -12,31\ldots \) och \( a_2 = 0,81\ldots \).
Alltså 81 cm bred blir stenbeläggningen.
Vi får att \(\dfrac{x^2+7x+2}{x-3} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+6x+5}{x-3} > 0\).
Vi undersöker täljaren och nämnaren skillt.
Täljaren: \(x^2+6x+5 =0\) då \(x=-5\) och \(x=-1\).
Nämnaren : \(x-3=0\) då \(x=3\).
Vi bildar ett teckenschema
\(\begin{array}{c|ccccccc} & & -5 & & -1 & & 3 & \\ x^2+6x+5 & + & 0 & - & 0 & + & + & + \\ x-3 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline \dfrac{x^2+6x+5}{x-3} & - & 0 & + & 0 & - & \wr & + \\ \end{array}\)
Alltså då \(-5 < x < -1\) eller \(x > 3\).
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2 \mid \cdot ab\)
\(a^2 +b^2 \geq 2ab\)
\(a^2-2ab+b^2 \geq 0\)
\((a-b)^2 \geq 0\) eftersom en kvadrat alltid är positiv. Om kvadraten skall ha värdet 0 måste \(a =b\).
- \(x^3+x^2+x+1\)
\(x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x^2+1)\)
- \(a^2-b^2-c^2+2bc\)
\(a^2-b^2-c^2+2bc = a^2-(b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c)\)
- \(a^2-b^2+ac+bc\)
\(a^2-b^2+ac+bc = (a+b)(a-b)+c(a+b) = (a+b)(a-b+c)\)