10. Parabeln - grafen av en andragradsfunktion
Grundformen för en andragradsfunktion ser ut som f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. aa, bb och cc påverkar olika på hur funktionen ser ut. Vi kallar grafen av en andragradsfunktion för en parabel.
Testa själv genom att ändra på värdet för aa, bb och cc. Vad märker du?
- aa inverkar på hur brant funktionen öppnar sig. Är a>0a>0 öppnar sig parabeln uppåt. Är a<0a<0 öppnar sig parabeln nedåt.
- bb flyttar parabeln i sidled och
- cc flyttar parabeln i höjdled.
Lösning
Funktionsvärdet får vi genom att sätta in värdet i funktionen.
f(−2)=−2(−2)2−3(−2)−1=−3f(−2)=−2(−2)2−3(−2)−1=−3.
Lösning
Vi löser nollställena: −x2+6x−5=0−x2+6x−5=0.
x=−6±√62−4(−1)(−5)2⋅(−1)x=−6±√16−2x=−6−4−2=5 eller x=−6+4−2=1x=−6±√62−4(−1)(−5)2⋅(−1)x=−6±√16−2x=−6−4−2=5 eller x=−6+4−2=1
Nollställena är i x1=1x1=1 och x2=5x2=5.
Toppen finner vi mitt emellan nollställena: 5−12=35−12=3.
Y-koordinaten är: f(3)=−32+6⋅3−5=4f(3)=−32+6⋅3−5=4.
Toppens koordinater är (3,4)(3,4).
Toppen är den punkt där parabeln byter riktning. Toppen för en parabel finns mitt mellan nollställena.
Vill du räkna ut xx-koordinaten räknar du ut den via −b−√b2−4ac2a+−b+√b2−4ac2a2=−b2a−b−√b2−4ac2a+−b+√b2−4ac2a2=−b2a.

För att bestämma funktionen gör du följande.
- Importera bilden i GeoGebra.
- Markera några punkter på kurvan som du vill ha. Ingen panik, man kan alltid flytta på punkterna.
- I Inmatningsfältet eller CAS använder du dig av RegressionPoly({A,B,C},2), eller FitPoly för att bestämma funktionen.
Uppgifter
Kombinera rätt funktion med rätt graf.
Försök att fundera dig fram till rätt lösning. Fundera hur koefficienterna aa, bb och cc påverkar grafen av parabeln, y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c.
Vilken koefficient ändrar på hur brett parabeln öppnar sig? Vilken koefficeint flyttar parabeln i sidled? Vilken koefficient flyttar på parabeln uppåt och nedåt?
Välj bland följande:
f(x)f(x)g(x)g(x)h(x)h(x)i(x)i(x)Funktion Uttryck x2+4xx2+4x −x2+4−x2+4 −12x2+4−12x2+4 x2−x−1x2−x−1 Funktion Uttryck f(x)f(x) x2+4xx2+4x g(x)g(x) −x2+4−x2+4 h(x)h(x) −12x2+4−12x2+4 i(x)i(x) x2−x−1x2−x−1 - Bestäm funktionsvärdena f(−1)f(−1) och f(2)f(2) för f(x)=−x2−3x+1f(x)=−x2−3x+1.
Vi får f(−1)=−(−1)2−3(−1)+1=3f(−1)=−(−1)2−3(−1)+1=3 och f(2)=−22−3⋅2+1=−9f(2)=−22−3⋅2+1=−9.
- Bestäm för följande funktioner om grafen är funktionen är en parabel. Om det är en parabel så bestäm om den öppnar sig uppåt eller nedåt.
Funktion Parabel Inte parabel Öppnar sig uppåt Öppnar sig nedåt f(x)=x2−3xf(x)=x2−3x f(x)=−3x2+2f(x)=−3x2+2 f(x)=x3+x2f(x)=x3+x2 f(x)=x(x−1)+3f(x)=x(x−1)+3 f(x)=3(4−x2)f(x)=3(4−x2) f(x)=x2(x+2)f(x)=x2(x+2) Vi får följande
Funktion Parabel Inte parabel Öppnar sig uppåt Öppnar sig nedåt f(x)=x2−3xf(x)=x2−3x f(x)=−3x2+2f(x)=−3x2+2 f(x)=x3+x2f(x)=x3+x2 f(x)=x(x−1)+3f(x)=x(x−1)+3 f(x)=3(4−x2)f(x)=3(4−x2) f(x)=x2(x+2)f(x)=x2(x+2) - Bestäm nollställen för följande funktioner.
- f(x)=x2−4x−5f(x)=x2−4x−5
Ekvationen f(x)=x2−4x−5=0f(x)=x2−4x−5=0 ger x1=−1x1=−1 och x2=5x2=5.
- g(x)=x2−4xg(x)=x2−4x
Ekvationen g(x)=x2−4x=0g(x)=x2−4x=0 ger x1=0x1=0 och x2=4x2=4.
- h(x)=x2+4x+3h(x)=x2+4x+3
Ekvationen h(x)=x2+4x+3h(x)=x2+4x+3 ger x1=−3x1=−3 och x2=−1x2=−1.
- f(x)=x2−4x−5f(x)=x2−4x−5
- Bestäm
ekvationen för parabeln som beskriver vattenstrålen från dricksfontänen. Bild
Lite beroende på hur man väljer men något i stil med
ekvationen för parabeln som beskriver brospannet för Xiangxi bron i Xiangxizhen, Hubei, Kina.Bild
Lite beroende på hur man väljer men något i stil med
ekvationen för parabeln som beskriver Eero Saarinens konstverk Gateway Arch i Saint Louis, USA. Bild
Lite beroende på hur man väljer men något i stil med
ekvationen för parabeln som beskriver hålet i Doulbe O Arch i Arches National Pari, Utah, USA. Bild
Lite beroende på hur man väljer men något i stil med
- Bestäm toppens koordinat för
Toppen hittar du mitt mellan nollställena. Gå via nollställena eller så direkt med formel.
- f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x
Nollställena är x2−2x=0⇔x=0x2−2x=0⇔x=0 och x=2x=2. Toppen finns mitt emellan dessa, alltså då x=1x=1.
yy-koordinaten är f(1)=12−2⋅1=−1f(1)=12−2⋅1=−1.
Toppens koordinat är (1,−1)(1,−1).
- g(x)=x2−2x−8g(x)=x2−2x−8
g(x)=x2−2x−8=0g(x)=x2−2x−8=0 då x=−2x=−2 och x=4x=4.
Toppens xx-koordinat hittar vi mitt emellan −2+42=1−2+42=1.
yy-koordinaten är f(1)=12−2⋅1−8=−9f(1)=12−2⋅1−8=−9.
Toppens koorinat är (1,−9)(1,−9).
- h(x)=−x2+6x+7h(x)=−x2+6x+7
h(x)=−x2+6x+7=0h(x)=−x2+6x+7=0 då x=−1x=−1 och x=7x=7.
Toppens xx-koordinat hittar vi i −1+72=3−1+72=3.
yy-koordinaten är f(3)=−32+6⋅3+7=16f(3)=−32+6⋅3+7=16.
Toppen koordinat är i (3,16)(3,16).
- f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x
- För vilket värde på variablen tt gäller att funktionsvärdena för f(t)=4t2−t−5f(t)=4t2−t−5 och g(t)=t2−t+7g(t)=t2−t+7 är samma. Vilka är dessa funktionsvärden?
Vi skall lösa ekvationen f(t)=g(t)f(t)=g(t).
Alltså 4t2−t−5=t2−t+74t2−t−5=t2−t+7. Vi löser med rotformlen och får lösningarna t1=−2t1=−2 och t=2t=2.
Då t=−2t=−2 har bägge funktionerna funktionsvärdet f(−2)=13f(−2)=13, och då t=2t=2 har bägge funktionerna funktionsvärdet f(2)=9f(2)=9.
- I vilka punkter skär f(x)=−x2−x+6f(x)=−x2−x+6 xx-axeln?
xx-koordinaterna för skärningspunkterna hittar vi genom att bestämma nollställena. Alltså −x2−x+6=0−x2−x+6=0 som har lösningarna x=2x=2 och x=−3x=−3.
För skärningspunkterna gäller att yy-koordinaten har värdet 0.
Skärningspunkterna är (2,0)(2,0) och (−3,0)(−3,0).
- I vilka punkter skär f(x)=x2+2x−3f(x)=x2+2x−3 xx-axeln?
xx-koordinaterna för skärningspunkterna hittar vi genom att bestämma nollställena. Alltså x2+2x−3=0x2+2x−3=0 som har lösningarna x1=−3x1=−3 och x=1x=1.
För skärningspunkterna gäller att yy-koordinaten har värdet 0.
Skärningspunkterna är (−3,0)(−3,0) och (1,0)(1,0).
- I vilken punkt skär f(x)=x2−4x−5f(x)=x2−4x−5 yy-axeln?
Då funktionen skär yy-axeln gäller det att xx-koordinaten har värdet 0. Vi får att f(0)=−5f(0)=−5.
Punkten är (0,−5)(0,−5).
- I vilken punkt skär f(x)=x2−7x+6f(x)=x2−7x+6 yy-axeln?
Då funktionen skär yy-axeln gäller det att xx-koordinaten har värdet 0. Vi får att f(0)=6f(0)=6.
Punkten är (0,6)(0,6).
- En parabel går genom punkterna (−1,0)(−1,0), (0,−5)(0,−5) och (2,−9)(2,−9). Bestäm uttrycket för funktionen.
Lös uppgiften utan att använda dig av räknare eller räknarprogram. Du kan kolla lösningen på räknare eller räknarprogram. Ekvationssystemet kan du lösa på räknare om du vill.
En andragradsfunktion ser ut som f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. Bilda ett ekvationssystem och lös det.Vi får ekvationssystemet
{a(−1)2+b(−1)+c=0a⋅0+b⋅0+c=5a⋅22+b⋅2+c=−9⎧⎪⎨⎪⎩a(−1)2+b(−1)+c=0a⋅0+b⋅0+c=5a⋅22+b⋅2+c=−9
Som har lösningarna a=1a=1, b=−4b=−4 och c=−5c=−5.
Funktionen är f(x)=x2−4x−5f(x)=x2−4x−5.