MaA 2 Polynomekvationer och -funktioner

10. Parabeln - grafen av en andragradsfunktion

Grundformen för en andragradsfunktion ser ut som f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. aa, bb och cc påverkar olika på hur funktionen ser ut. Vi kallar grafen av en andragradsfunktion för en parabel.

Testa själv genom att ändra på värdet för aa, bb och cc. Vad märker du?

  • aa inverkar på hur brant funktionen öppnar sig. Är a>0a>0 öppnar sig parabeln uppåt. Är a<0a<0 öppnar sig parabeln nedåt.
  • bb flyttar parabeln i sidled och
  • cc flyttar parabeln i höjdled.
Exempel 1 Bestäm funktionsvärdena f(2)f(2) för funktionen f(x)=2x23x1f(x)=2x23x1.

Lösning

Funktionsvärdet får vi genom att sätta in värdet i funktionen.

f(2)=2(2)23(2)1=3f(2)=2(2)23(2)1=3.

Exempel 2 Bestäm nollställena för f(x)=x2+6x5f(x)=x2+6x5. Bestäm koordinaten för toppen för parabeln.

Lösning

Vi löser nollställena: x2+6x5=0x2+6x5=0.

x=6±624(1)(5)2(1)x=6±162x=642=5 eller x=6+42=1x=6±624(1)(5)2(1)x=6±162x=642=5 eller x=6+42=1

Nollställena är i x1=1x1=1 och x2=5x2=5.

Toppen finner vi mitt emellan nollställena: 512=3512=3.

Y-koordinaten är: f(3)=32+635=4f(3)=32+635=4.

Toppens koordinater är (3,4)(3,4).

Toppen är den punkt där parabeln byter riktning. Toppen för en parabel finns mitt mellan nollställena.

Vill du räkna ut xx-koordinaten räknar du ut den via bb24ac2a+b+b24ac2a2=b2abb24ac2a+b+b24ac2a2=b2a.

Exempel 3 Bestäm på Geogebra ekvationen för vajrarna som spänner upp Golden Gate bron från San Francisco till Marin County i Kalifornien, USA .

För att bestämma funktionen gör du följande.

  • Importera bilden i GeoGebra.
  • Markera några punkter på kurvan som du vill ha. Ingen panik, man kan alltid flytta på punkterna.
  • I Inmatningsfältet eller CAS använder du dig av RegressionPoly({A,B,C},2), eller FitPoly för att bestämma funktionen.

Uppgifter

  1. Kombinera rätt funktion med rätt graf.

    Försök att fundera dig fram till rätt lösning. Fundera hur koefficienterna aa, bb och cc påverkar grafen av parabeln, y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c.

    Vilken koefficient ändrar på hur brett parabeln öppnar sig? Vilken koefficeint flyttar parabeln i sidled? Vilken koefficient flyttar på parabeln uppåt och nedåt?

    Välj bland följande:

    f(x)f(x)
    g(x)g(x)
    h(x)h(x)
    i(x)i(x)

    FunktionUttryck
    x2+4xx2+4x
    x2+4x2+4
    12x2+412x2+4
    x2x1x2x1

    FunktionUttryck
    f(x)f(x)x2+4xx2+4x
    g(x)g(x)x2+4x2+4
    h(x)h(x)12x2+412x2+4
    i(x)i(x)x2x1x2x1
  2. Bestäm funktionsvärdena f(1)f(1) och f(2)f(2) för f(x)=x23x+1f(x)=x23x+1.

    Vi får f(1)=(1)23(1)+1=3f(1)=(1)23(1)+1=3 och f(2)=2232+1=9f(2)=2232+1=9.

  3. Bestäm för följande funktioner om grafen är funktionen är en parabel. Om det är en parabel så bestäm om den öppnar sig uppåt eller nedåt.
    FunktionParabelInte parabelÖppnar sig uppåtÖppnar sig nedåt
    f(x)=x23xf(x)=x23x
    f(x)=3x2+2f(x)=3x2+2
    f(x)=x3+x2f(x)=x3+x2
    f(x)=x(x1)+3f(x)=x(x1)+3
    f(x)=3(4x2)f(x)=3(4x2)
    f(x)=x2(x+2)f(x)=x2(x+2)

    Vi får följande

    FunktionParabelInte parabelÖppnar sig uppåtÖppnar sig nedåt
    f(x)=x23xf(x)=x23x
    f(x)=3x2+2f(x)=3x2+2
    f(x)=x3+x2f(x)=x3+x2
    f(x)=x(x1)+3f(x)=x(x1)+3
    f(x)=3(4x2)f(x)=3(4x2)
    f(x)=x2(x+2)f(x)=x2(x+2)
  4. Bestäm nollställen för följande funktioner.
    1. f(x)=x24x5f(x)=x24x5

      Ekvationen f(x)=x24x5=0f(x)=x24x5=0 ger x1=1x1=1 och x2=5x2=5.

    2. g(x)=x24xg(x)=x24x

      Ekvationen g(x)=x24x=0g(x)=x24x=0 ger x1=0x1=0 och x2=4x2=4.

    3. h(x)=x2+4x+3h(x)=x2+4x+3

      Ekvationen h(x)=x2+4x+3h(x)=x2+4x+3 ger x1=3x1=3 och x2=1x2=1.

  5. Bestäm
    1. ekvationen för parabeln som beskriver vattenstrålen från dricksfontänen. Bild

      Lite beroende på hur man väljer men något i stil med

    2. ekvationen för parabeln som beskriver brospannet för Xiangxi bron i Xiangxizhen, Hubei, Kina.Bild

      Lite beroende på hur man väljer men något i stil med

    3. ekvationen för parabeln som beskriver Eero Saarinens konstverk Gateway Arch i Saint Louis, USA. Bild

      Lite beroende på hur man väljer men något i stil med

    4. ekvationen för parabeln som beskriver hålet i Doulbe O Arch i Arches National Pari, Utah, USA. Bild

      Lite beroende på hur man väljer men något i stil med

  6. Bestäm toppens koordinat för

    Toppen hittar du mitt mellan nollställena. Gå via nollställena eller så direkt med formel.
    1. f(x)=x22xf(x)=x22x

      Nollställena är x22x=0x=0x22x=0x=0 och x=2x=2. Toppen finns mitt emellan dessa, alltså då x=1x=1.

      yy-koordinaten är f(1)=1221=1f(1)=1221=1.

      Toppens koordinat är (1,1)(1,1).

    2. g(x)=x22x8g(x)=x22x8

      g(x)=x22x8=0g(x)=x22x8=0x=2x=2 och x=4x=4.

      Toppens xx-koordinat hittar vi mitt emellan 2+42=12+42=1.

      yy-koordinaten är f(1)=12218=9f(1)=12218=9.

      Toppens koorinat är (1,9)(1,9).

    3. h(x)=x2+6x+7h(x)=x2+6x+7

      h(x)=x2+6x+7=0h(x)=x2+6x+7=0x=1x=1 och x=7x=7.

      Toppens xx-koordinat hittar vi i 1+72=31+72=3.

      yy-koordinaten är f(3)=32+63+7=16f(3)=32+63+7=16.

      Toppen koordinat är i (3,16)(3,16).

  7. För vilket värde på variablen tt gäller att funktionsvärdena för f(t)=4t2t5f(t)=4t2t5 och g(t)=t2t+7g(t)=t2t+7 är samma. Vilka är dessa funktionsvärden?

    Vi skall lösa ekvationen f(t)=g(t)f(t)=g(t).

    Alltså 4t2t5=t2t+74t2t5=t2t+7. Vi löser med rotformlen och får lösningarna t1=2t1=2 och t=2t=2.

    t=2t=2 har bägge funktionerna funktionsvärdet f(2)=13f(2)=13, och då t=2t=2 har bägge funktionerna funktionsvärdet f(2)=9f(2)=9.

  8. I vilka punkter skär f(x)=x2x+6f(x)=x2x+6 xx-axeln?

    xx-koordinaterna för skärningspunkterna hittar vi genom att bestämma nollställena. Alltså x2x+6=0x2x+6=0 som har lösningarna x=2x=2 och x=3x=3.

    För skärningspunkterna gäller att yy-koordinaten har värdet 0.

    Skärningspunkterna är (2,0)(2,0) och (3,0)(3,0).

  9. I vilka punkter skär f(x)=x2+2x3f(x)=x2+2x3 xx-axeln?

    xx-koordinaterna för skärningspunkterna hittar vi genom att bestämma nollställena. Alltså x2+2x3=0x2+2x3=0 som har lösningarna x1=3x1=3 och x=1x=1.

    För skärningspunkterna gäller att yy-koordinaten har värdet 0.

    Skärningspunkterna är (3,0)(3,0) och (1,0)(1,0).

  10. I vilken punkt skär f(x)=x24x5f(x)=x24x5 yy-axeln?

    Då funktionen skär yy-axeln gäller det att xx-koordinaten har värdet 0. Vi får att f(0)=5f(0)=5.

    Punkten är (0,5)(0,5).

  11. I vilken punkt skär f(x)=x27x+6f(x)=x27x+6 yy-axeln?

    Då funktionen skär yy-axeln gäller det att xx-koordinaten har värdet 0. Vi får att f(0)=6f(0)=6.

    Punkten är (0,6)(0,6).

  12. En parabel går genom punkterna (1,0)(1,0), (0,5)(0,5) och (2,9)(2,9). Bestäm uttrycket för funktionen.

    Lös uppgiften utan att använda dig av räknare eller räknarprogram. Du kan kolla lösningen på räknare eller räknarprogram. Ekvationssystemet kan du lösa på räknare om du vill.

    En andragradsfunktion ser ut som f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. Bilda ett ekvationssystem och lös det.

    Vi får ekvationssystemet

    {a(1)2+b(1)+c=0a0+b0+c=5a22+b2+c=9a(1)2+b(1)+c=0a0+b0+c=5a22+b2+c=9

    Som har lösningarna a=1a=1, b=4b=4 och c=5c=5.

    Funktionen är f(x)=x24x5f(x)=x24x5.