MaA 2 Polynomekvationer och -funktioner

6. Blandat

Målet med följande kapitel är att få räkna uppgifter där du måste utnyttja distributiva lagen, kvadreringsreln, konjugatregeln och eventuellt Pascals triangel. Ha skoj!

Exempel 1 Bestäm \((-x+1)(-x^2+x+3)\).

Exempel 2 Förenkla \(4(a-1)^2\).

Uppgifter

  1. Kombinera så att det blir rätt. Välj bland uttrycken:
    Binomialformeln
    Distributiva lagen
    Konjugatregeln
    Kvadreringsregeln

    UttryckBeskriving
    Den handlar om att vi multiplicerar in faktorer som finns framför en parentes. Dessutom kan vi bryta ut med hjälp av den.
    Den berättar om hur vi kan på ett lätt sätt kvadrera ett binom.
    Den handlar om hur vi kan på ett enkelt sätt multiplicera två nästan identiska binom.
    Den handlar hur vi kan på ett lätt sätt utveckla binom upphöjt till något heltal utan att räkna det som många parenteser gånger varandra.

    UttryckBeskriving
    Distributiva lagen Den handlar om att vi multiplicerar in faktorer som finns framför en parentes. Dessutom kan vi bryta ut med hjälp av den.
    Kvadreringsregeln Den berättar om hur vi kan på ett lätt sätt kvadrera ett binom.
    Konjugatregeln Den handlar om hur vi kan på ett enkelt sätt multiplicera två nästan identiska binom.
    Binomialformeln Den handlar hur vi kan på ett lätt sätt utveckla binom upphöjt till något heltal utan att räkna det som många parenteser gånger varandra.
  2. Välj rätt för uträkningen. Är det frågan om distributiva lagen, kvaderingsregeln eller konjugatregeln?
    PåståendeDistributiva lagen Kvaderingsregeln Konjugatregeln
    \(2(1+x)=2+2x\)
    \((1+x)^2=1+2x+x^2\)
    \((1-x)(1+x)=1-x^2\)
    \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
    \(a(b+c)=ab+ac\)
    \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
    \(4x-2=2(2x-1)\)
    \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)
    \(x^2+6x+9=(x+3)^2\)

    PåståendeDistributiva lagen Kvaderingsregeln Konjugatregeln
    \(2(1+x)=2+2x\)
    \((1+x)^2=1+2x+x^2\)
    \((1-x)(1+x)=1-x^2\)
    \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
    \(a(b+c)=ab+ac\)
    \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
    \(4x-2=2(2x-1)\)
    \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)
    \(x^2+6x+9=(x+3)^2\)
  3. Förenkla följande uttryck.
    1. \(2(a+2)-3(a+1)\)

      \(2(a+2)-3(a+1)=2a+4-3a-3= -a+1 \)
    2. \(x(1-x)+2(\dfrac{1}{2}-x) \)

      \(x(1-x)+2(\dfrac{1}{2}-x) = x-x^2+1-2x= -x^2-x+1 \)
    3. \((2x+5)(3x-8) \)

      \((2x+5)(3x-8)=6x^2-16x+15x-40= 6x^2-x-40 \)
  4. Skriv av tabellen i ditt häfte och fyll i den, så att du använder dig av multiplikation.
    \(\cdot\)\(3\)\(-x\)\(-1\)\((x+1)\)
    \(x\)\(3\cdot x=3x\)
    \((x-1)\)
    \(\sqrt{2}\)

    \(\cdot\)3\(-x\)\(-1\)\((x+1)\)
    \(x\)\(3\cdot x=3x\)\(-x^2\)\(-x\)\(x^2+x\)
    \((x-1)\)\(3x-3\)\(-x^2+x\)\(-x+1\)\(x^2-1\)
    \(\sqrt{2}\)\(3\sqrt{2}\)\(-x\sqrt{2}\)\(-\sqrt{2}\)\(x\sqrt{2} + \sqrt{2}\)
  5. Förenkla
    1. \(a(a+1)(a+2)\)

      \(a(a+1)(a+2) = (a^2+a)(a+2)=a^3+2a^2+a^2+2a=a^3+3a^2+2a\)
    2. \(\dfrac{1}{x}(x-1)(2x+1)\)

      \(\dfrac{1}{x}(x-1)(2x+1) =(1-\dfrac{1}{x})(2x+1)=2x+1-2-\dfrac{1}{x}= 2x-\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{2x^2-1-x}{x}\)
    3. \((a-1)(\dfrac{2}{a}-a)\)

      \((a-1)(\dfrac{2}{a}-a) = 2-a^2-\dfrac{2}{a}+a = \dfrac{2a-a^3-2+a^2}{a}\)
  6. Förenkla
    1. \((2-x)^2\)

      \((2-x)^2 = 4-4x+x^2\)
    2. \((2x-y)^2\)

      \((2x-y)^2 = 4x^2-4xy+y^2\)
    3. \(2(2-x)^2\)

      \(2(2-x)^2 = 2(4-4x+x^2)=8-8x+2x^2\)
  7. Förenkla
    1. \((x-3)(x+3)\)

      \((x-3)(x+3) = x^2-9\)
    2. \((x-3)(x+2)\)

      \((x-3)(x+2) = x^2+2x-3x-6 = x^2-x-6\)
    3. \((x-3)(x-3)\)

      \((x-3)(x-3) = (x-3)^2 = x^2-6x+9\)
  8. Förenkla
    1. \(2(a+2)+(a-2)(a+2)\)

      \(2(a+2)+(a-2)(a+2) = 2a+4+a^2-4= a^2+2a\)
    2. \(2(n+2)(n-2)-n(n-2)\)

      \(2(n+2)(n-2)-n(n-2)=2(n^2-4)-n^2+2n=2n^2-8-n^2+2n= n^2+2n-8\)
    3. \(-(4x+2)+(x+1)(2x+2)\)

      \(-(4x+2)+(x+1)(2x+2) = -4x-2+2x^2+2x+2x+2 = 2x^2\)
  9. Fyll i så att det blir rätt.
    1. \(\underline{\qquad} -2 = \underline{\qquad}(2m-1)\)

      \(\underline{4m} -2 = \underline{2}(2m-1)\)
    2. \(x(\underline{\qquad})=xy-x\)

      \(x(\underline{y-1})=xy-x\)
    3. \(\underline{\qquad}(\underline{\qquad})=3m-3n\)

      \(\underline{3}(\underline{m-n})=3m-3n\)
    4. \((\underline{\qquad}+4)^2=x^2+\underline{\qquad}+16\)

      \((\underline{x}+4)^2=x^2+\underline{8x}+16\)
  10. Fyll i så att det blir rätt.
    1. \(\underline{\qquad}(y-1)=\underline{\qquad}-x^2\)

      \(\underline{x^2}(y-1)=\underline{x^2y}-x^2\)
    2. \(\underline{\qquad\qquad}= 3-x\sqrt{3}\)

      \(\underline{\sqrt{3}(\sqrt{3}-x)}= 3-x\sqrt{3}\)

      Eller som

      \(\underline{x(\dfrac{3}{x}-\sqrt{3})}= 3-x\sqrt{3}\)

    3. \((\underline{\qquad}-3)^2 = \underline{\qquad} -6y \underline{\qquad}\)

      \((\underline{y}-3)^2 = \underline{y^2} -6y \underline{+9}\)
    4. \((\underline{\qquad})^2 = x+\underline{\qquad}+y\)

      \((\underline{\sqrt{x}+\sqrt{y}})^2 = x+\underline{2\sqrt{xy}}+y\)
    5. \((2\underline{\qquad})^2 = \underline{\qquad} n^2\)

      \((2\underline{\pm n})^2 = \underline{4 \pm 4n+} n^2\)
  11. Förenkla
    1. \((n^{50} +1)(n^{25}+1)(n^{25}-1) +1\)

      \((n^{50} +1)(n^{25}+1)(n^{25}-1) +1 = (n^{50}+1)(n^{25 + 25} -1)+1 = n^{100}-1+1 = n^{100}\)
    2. \((x^2+1)(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x})\)

      \((x^2+1)(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x}) = (x^2+1)(x^2-\dfrac{1}{x^2}) = x^4-1+x^2-\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^6-x^2+x^4-1}{x^2}\)
  12. Bestäm först vad \((a+b+c)^2\) blir och utnyttja det för att bestämma

    \( (a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a^2 +b^2+c^2 +2ab +2ac +2bc\)
    1. \((x + y +3)^2\)

      \(x^2+y^2+9+2xy+6x+6y\)
    2. \((x^2 + x -1)^2\)

      \(x^4+2x^3-x^2-2x+1\)
  13. Förkorta följande rationella uttryck.
    1. \( \dfrac{a+b}{a^2+2ab+b^2} \)

      \( \dfrac{a+b}{a^2+2ab+b^2} =\dfrac{a+b}{(a+b)^2} = \dfrac{1}{a+b} \)

    2. \( \dfrac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2} \)

      \( \dfrac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2} = \dfrac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2} = \dfrac{a+b}{a-b}\)

    3. \( \dfrac{3x+9}{x^2+6x+9} \)

      \( \dfrac{3x+9}{x^2+6x+9} = \dfrac{3(x+3)}{(x+3)^2} = \dfrac{3}{x+3}\)