MaA 10 3D geometri

9. Funktioner i 3 dimensioner

Hittills har vi jobbat med funktioner av typ \( f(x) = \ldots \) där vi har ett samband mellan \( x \) och \( y \)-koordinater. Till nästa tar vi och jobbar med funktioner i 3 dimensioner. Då är funktionerna av typ \( f(x,y) = \ldots \). Vi sätter in värden för \( x \) och \( y \) och får en treje punkt, \( z \)-koordinat.

Exempel 1 Rita funktionen \( f(x,y)=x^2-y-1 \) i GeoGebra och bestäm den funktion som anger funktionens nollställe.

Lösning

I GeoGebra så klicka fram Ritområde 3D. (Fönstret med det vanliga koordinatsystemet kan du stänga) och skriv in funktionen i Inmatningsfältet.

Vi får

Funktionens nollställe får vi då \( f(x,y)=x^2-y-1 =0 \). Den kan vi skriva som \( y = \ldots \) eller \( x = \ldots \) beroende på situationen.

Vi får \( x^2-y-1 =0 \), alltså \( y = x^2-1\).

Nollstället är de punkter som utgör parabeln \( y = x^2-1\).

Då du ändrar på vyn för 3D Ritområdet i GeoGebra så märker du att funktionen \( f(x,y) \) bildar en parabel med ytan mot \( x,y \)-planet.

Exempel 2 Bestäm definitionsmängden för \( f(x,y)=\sqrt{x-y^2} \).

Lösning

Situationen är följande:

Eftersom vi har en rot så gäller att \( x-y^2 \geq 0 \).

Alltså då \( x \geq y^2 \).

Exempel 3 Bestäm de gemensamma punkterna för \( f(x,y)=\sqrt{x^2-y-2} \) och \( y=-3 \).

Lösning

Situationen är följande:

De gemensamma punkterna får vi då

\( \left\{\begin{array}{rcll} f(x,y) & = & \sqrt{x^2-y-2} & \\ y & = & -3 & \\ \end{array} \right. \)

Vi löser ekvationssystemet genom att sätta in \( y = -3 \) i \( f(x,y) = \sqrt{x^2-y-2} \).

Alltså \( \sqrt{x^2-(-3)-2} = \sqrt{x^2+1} \).

Funktionen som anger skärningspinkterna är \( z = \sqrt{x^2+1} \).

Uppgifter

  1. Låt \( f(x,y) = -x^2 +y^2 +1 \).
    1. Beräkna värdet av \( z \) koordinaten då \( x=2 \) och \( y=1 \).

      \( f(2,1) = -2^2+1^2+1 = -2\)

    2. Rita funktionen på GeoGebra.

      Vi får

    3. Bestäm den punktmängd där \( f \) skär \( xy \)-planet.

      Vi söker de punkter där \( z \)-koordinaten har värdet 0.

      Alltså \( f(x,y) = 0 \) som ger oss sambandet \( -x^2 +y^2+1 =0 \). Alltså \( x = \pm \sqrt{y^2+1} \).

  2. Låt \( g(x,y) = \sqrt{x-y^2-y} \).
    1. Beräkna värdet av \( z \) koordinaten då \( x=4 \) och \( y=1 \).

      \( f(4,1) = \sqrt{2} \)

    2. Rita funktionen på GeoGebra.

      Vi får

    3. Bestäm definitonsmängden för \( g \).

      \( g \) är en rotfunktion och definierad då radikanden \( x-y^2-y \geq 0 \). Alltså då \( x \geq y^2+y \).

  3. Låt \( h(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} + \dfrac{1}{x+y} \).
    1. Beräkna värdet av \( z \) koordinaten då \( x=2 \) och \( y=4 \).

      \( f(2,4) = 2\sqrt{5} +\dfrac{1}{6} \)

    2. Rita funktionen på GeoGebra.

      Vi får

    3. Bestäm definitonsmängden för \( h \).

      \( h \) består av en rot och en kvot. Roten är definierad då \( x^2 + y^2 \geq 0 \). Som gäller för alla reellea tal.

      Kvoten är inte definierad då \( x + y = 0 \). Alltså då \( y = -x \).

      Dessa gäller samtidigt. Alltså är funktionen definierad för alla tal förutom då \( y = -x \).

  4. I tabellen nedan ser du värden för köldindex, hur varmt det känns, för några temperaturer och vindhastigheter.
    10 oC5 oC0 oC-5 oC-10 oC-15 oC-20 oC-25 oC-30 oC
    2 m/s93-2-8-14-20-26-32-37
    5 m/s81-5-11-17-24-30-36-42
    10 m/s60-7-14-20-27-34-40-47
    15 m/s5-2-8-15-22-29-36-43-50
    20 m/s5-2-9-16-23-31-38-45-52
    https://www.smhi.se/kunskapsbanken/meteorologi/vindens-kyleffekt-1.259

    Vi betecknar köldindex med \( \text{WCT} = f(v,T) \) där \( v \) är vindens hastighet och \( T \) är temperaturen. Använd dig av tabellen för att svara på följande frågor.

    1. Vilket av värden \( f(5,-5) \) eller \( f(2,-10) \) är större?

      Vi har \( f(5,-5)=-11 \) och \( f(2,-10)=-14 \).

      Alltså känns det varmare då det blåser 5 m/s och temperaturen är -5oC.

    2. Bestäm en lösning för ekvationen \( f(v,T) = -20 \).

      Det finns två lösningar. Ena är \( f(2,-15) \) och den andra är \( f(10,-10) \).

    3. Bestäm i alla fall tre lösningar för olikheten \( -10 \leq f(v,T) \leq -20 \).

      Tex \( f(5,-5) \), \( f(10,-5) \) och \( f(15,-5) \).

  5. Bestäm de gemensamma nollställena för \( f(x,y) = x^2+y^2-4x \) och \( g(x,y)=x^2-y^2 \).

    Nollställena för \( f(x,y) = 0 \) är \( x^2+y^2-4x = 0 \). Utnyttja rotformeln och kom till \( x = 2 \pm \sqrt{4-y^2} \).

    Nollställena för \( g(x,y) = 0 \) är \( x^2-y^2=0 \). Här får vi \( x = \pm y \).

    Sedan söker vi de gemensamma lösningarna för

    \( \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \pm \sqrt{4-y^2} \\ x = \pm y \\ \end{array} \right. \)

    Märk att du har fyra stycken ekvationer som du skall lösa.

    Vi får skärningspunkterna \( (0,0), (2,2) \) och \( (2,-2) \).

  6. Låt \( f(x,y) = x^2 +2y \) och \( g(t) = \sin t \). Bilda, om möjligt, de sammansatta funktionerna \( g(f(x,y)) \) och \( f(g(t)) \) och bestäm de punkter där den sammansatta funktionen får värdet noll.

    De sammansatta funktionerna:

    \( g(f(x,y)) = \sin(x^2+2y) \) och \( f(g(t)) \) kan vi inte skapa.

    \( g(f(x,y)) = 0 \) då \( \sin(x^2+2y) = 0 \). Alltså då \( x^2+2y = 0 + \pi \cdot n \).

    Nollstället är \( y = -\dfrac{1}{2}x^2 + n\cdot \dfrac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z} \).

  7. Köldindex (WCT), hur kall luften känns då det blåser, kan räknas med formeln \( WCT = 13,12 + 0,6215\cdot T_{\text{luft}} - 13,956\cdot V^{0,16} + 0,4867\cdot T_{\text{luft}}\cdot V^{0,16} \) där \( V \) är vindens hastighet i m/s och \( T \) är temperaturen i grader Celcius.

    Gör en tabell på kalkyleringsprogram varifrån man kan avläsa köldindex beroende på rådande temperatur och vind. Jobba med vindhastigheter mellan 2 m/s och 35 m/s och temperaturer mellan 10oC och -40oC.

    Lösningen

  8. Grafen av funktionen \( f(x,y) = 5-3x^2-y^2 \) skärs med planet \( x = 1 \). Rita upp funktionen och planet på GeoGebra. Vilken form har snittytan? Bestäm ekvationen för snittytan.

    Figuren ser ut som

    Vi har en parabel.

    Bilda ett ekvationssystem, och sätt in \( x =1 \) i \( f(x,y) \).

    Kom fram till \( z = 2-y^2 \).

  9. Visa att funktionen \( f(x,y) = x^2-3xy+3y^2 \) där \( \mathbf{R} \to \mathbf{R} \) alltid är positiv. Visa också att funktionen får alla icke negativa reella tal.

    Vi kvadratkompletterar funktionen.

    \( \begin{array}{rcl} f(x,y) & = & x^2 -3xy +3y^2 \\ & = & x^2 -3xy +(\dfrac{3}{2}y)^2 +3y^2 -(\dfrac{3}{2}y)^2 \\ & = & (x-\dfrac{3}{2}y)^2 +3y^2 -\dfrac{9}{4}y^2 \\ & = & (x-\dfrac{3}{2}y)^2 +\dfrac{3}{4}y^2 \\ \end{array} \)

    Eftersom en kvadrat alltid är icke negativ (positiv) är \( f(x,y) \) alltid icke negativ.

    Då \( y = 0 \) gäller att \( f(x,y)=x^2 \). Funktionen \( x^2 \) får alla icke negativa reella tal, alltså får \( f(x,y) \) alla icke negativa reella tal.