1. 3 dimensionellt koordinatsystem

Uppgifter

1. Rita på papper ett \(xyz\)-koordinatsystem. Rita in triangeln vars ändpunkter är \(A=(1,3,0)\), \(B=(0,4,1)\) och \(C=(1,-1,4)\).

   Lösning

   Vi får något som påminner om

   

   Bilden är inte perfekt, men det är inte så lätt att rita 3 dimensionellt i två dimensioner. (;

2. Rita i ett \(xyz\)-koordinatsystem på GeoGebra triangeln vars ändpunkter är \(A=(1,3,0)\), \(B=(0,4,1)\) och \(C=(1,-1,4)\).

   Lösning

   Punkterna in med kommandot A=(1,3,0).

   Triangeln med kommandot Polygon[A,B,C].

   Vi får något i stil med

   

3. Låt \(\overline{a}=2\overline{i}-3\overline{j}+\overline{k}\) och \(\overline{b}=-3\overline{i}-\overline{j}-2\overline{k}\). Bilda vektorerna \(\overline{a}+\overline{b}\) och \(2\overline{a}-\overline{b}\) och bestäm längden av dem.

   Lösning

   \(\overline{a}+\overline{b}=-\overline{i}-4\overline{j}-\overline{k}\).

   Längden: \(\mid\overline{a}+\overline{b}\mid= \sqrt{(-1)^2+(-4)^2+(-1)^2} = \sqrt{18}=3\sqrt{2}\).

   \(2\overline{a}-\overline{b}=7\overline{i}-5\overline{j}+4\overline{k}\).

   Längden: \(\mid2\overline{a}-\overline{b}\mid=\sqrt{7^2+(-5)^2+4^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\).

4. Visa att \(\overline{a}=\overline{i}+4\overline{j}-2\overline{k}\) och \(\overline{b}=-\dfrac{1}{2}\overline{i}-2\overline{j}+\overline{k}\) är parallella.

   Tips

   Om två vektorer är parallella skall vi kunna skriva de som \(\overline{a} =r\cdot \overline{b}\) där \(r \in \mathbf{R}\).

   Lösning

   Om två vektorer är parallella skall vi kunna skriva de som \(\overline{a} =r\cdot \overline{b}\) där \(r \in \mathbf{R}\).

   Vi tar och gör det.

   \(\begin{array}{rcl} \overline{a} &=& r\cdot \overline{b} \\ \overline{i}+4\overline{j}-2\overline{k} &=& r(-\dfrac{1}{2}\overline{i}-2\overline{j}+\overline{k}) \\ \end{array}\)

   Väljer vi \(r=-2\) får vi att \(\overline{i}+4\overline{j}-2\overline{k} = -2(-\dfrac{1}{2}\overline{i}-2\overline{j}+\overline{k})\).

   De är parallella eftersom \(\overline{a}=-2\overline{b}\).

5. Visa att \( \overline{a}=-\overline{i}+2\overline{j}-\overline{k} \) och \( \overline{b}=\overline{i}-2\overline{j}-\overline{k} \) inte är parallella.

   Lösning

   Om två vektorer är parallella skall vi kunna skriva de som \(\overline{a} =r\cdot \overline{b}\) där \(r \in \mathbf{R}\).

   Det betyder att om vi inte kan uttrycka den ena vektorn med hjälp av den andra så är de inte parallella.

   \(\begin{array}{rcl} \overline{a} & = & r\cdot \overline{b} \\ -\overline{i}+2\overline{j}-\overline{k} & = & r(\overline{i}-2\overline{j}-\overline{k}) \\ \end{array}\)

   Vi får att \( -1=r \), \( 2=-2r \) och \( -1=-r \). Vi märker att vi får att \( r = -1 \) och att \( r = 1 \). Eftersom vi inte får ett entydigt värde på \( r \) (samma värde) så är vektorerna inte parallella.

6. Ett flygplan A som flyger på höjden 6 km observeras 3 km rakt norrut från ett flygfält. Ett annat flygplan B som flyger på höjden 10 km observeras 5 km österut och 1 km söderut får flygfältet. Bestäm avståndet i km mellan flygplanen då flygfältet är i origo.

   Tips

   Rita en bild. Låt norrut/söderut vara steg på \(x\)-axeln, österut/västerut steg på \(y\)-axeln och höjden steg på \(z\)-axeln.

   Bilda vektorn mellan punkterna och bestäm avståndet.

   Lösning

   A:s koordinat \((-3,0,6)\) och B:s koordinat \((1,5,10)\).

   Vektorn \(\overrightarrow{AB} = [1-(-3)]\overline{i}+(5-0)\overline{j}+(10-6)\overline{k} = 4\overline{i}+5\overline{j}+4\overline{k}\).

   Längden \(\mid \overrightarrow{AB} \mid =\sqrt{4^2+5^2+4^2}=\sqrt{57}\) km.

7. För vilka värden på \(r\) och \(s\) är vektorerna \(\overline{a}=r\overline{i}-\overline{j}+4\overline{k}\) och \(\overline{b}=-3\overline{i}-2\overline{j}+s\overline{k}\) parallella. Är de då lika- eller olika riktade?

   Lösning

   Då \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) är parallella gäller att \(\overline{a} = t\cdot \overline{b}, t\in \mathbf{R}\). (Vi använder oss av \(t\) eftersom \(r\) finns i vektorerna.)

   Alltså

   \(\begin{array}{rcl} \overline{a} &=& t\cdot \overline{b} \\ r\overline{i} -\overline{j}+4\overline{k} &=&t(-3\overline{i}-2\overline{j}+s\overline{k}) \\ r\overline{i} -\overline{j}+4\overline{k} &=&-3t\overline{i}-2t\overline{j}+st\overline{k}\\ \end{array}\)

   Uppdelning i basen är entydig. Alltså gäller att

   \(\left\{ \begin{array}{rcll} r &=&-3t \\ -1 &=& -2t & \Leftrightarrow t =\dfrac{1}{2}\\ 4 &=&st \\ \end{array} \right.\)

   Då \(t=\dfrac{1}{2}\) är \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) parallella. Eftersom \(t>0\) är de lika riktade.

   Vå får då att \(r=-\dfrac{3}{2}\) och \(s=8\).

8. Under en timme färdas en rymdraket från \(A=(7,4,10)\) till \(B=(3,5,3)\). Bestäm raketens koordinat efter 3 timmar då dem fortsätter att färdas med samma hastighet och riktning.

   Lösning

   Vektor \(\overrightarrow{AB}=(3-7)\overline{i}+(5-4)\overline{j}+(3-10)\overline{k} = -4\overline{i}+\overline{j}-7\overline{k}\).

   Punkten \(P\):s koordinater där det vi söker:

   \(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AP} & = & \overrightarrow{OA} +4\overrightarrow{AB} \\ & = & 7\overline{i}+4\overline{j}+10\overline{k}+4(-4\overline{i}+\overline{j}-7\overline{k}) \\ & = & -9\overline{i}+8\overline{j}-18\overline{k} \\ \end{array}\)

   \(P\):s koordinater är \((-9,8,-18)\).

9. En triangels hörnpunkter är \(A=(0,2,1)\), \(B=(2,4,3)\) och \(C=(0,1,5)\). Bestäm
   1. mittpunkten \(P\) för sidan BC.

      Tips

      Så som alltid, kalla punkten för P och bilda \(\overrightarrow{OP}\).

      Lösning

      Vi bildar vekorn \( \overrightarrow{OP} \)

      \( \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OP} & = & \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BP}\\ & = & \overrightarrow{OB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\ \end{array} \)

      De vektorer som vi behöver:

      \( \overrightarrow{OB} = 2\overline{i} + 4\overline{j} + 3\overline{k} \).

      \( \overrightarrow{BC} = (0-2)\overline{i} + (1-4)\overline{j} + (5-3)\overline{k} = -2\overline{i} -3\overline{j} + 2\overline{k} \).

      Vi kommer fram till \( \overrightarrow{OP} = \overline{i} +\dfrac{5}{2}\overline{j} + 4\overline{k} \).

      Koordinaten är \(P = (1,\dfrac{5}{2},4)\) .

   2. vekorn \(\overrightarrow{AP}\)

      Lösning

      Vektorn \( \overrightarrow{AP} = (1-0)\overline{i} + (\dfrac{5}{2}-2)\overline{j}+(4-1)\overline{k} = \overline{i} + \dfrac{1}{2}\overline{j}+3\overline{k}\).

   3. triangelns tyngdpunkt. Triangelns tyngdpunkt hittar du där medianerna skär varandra. Förhållandet är \(2:1\) .

      Tips

      Kalla tyngpunkten för Q och bilda vektorn \(\overrightarrow{OQ}\).

      Lösning

      Vi utnyttjar det som vi räknade i a) och b). Situationen är följande:

      

      Vi får \( \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AP} \).

      Vi får \( \overrightarrow{OQ} = \dfrac{2}{3}\overline{i}+\dfrac{7}{3}\overline{j}+3\overline{k}\)

      Tyngdpunkten är \( (\dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{3}, 3) \).

10. Bestäm slutpunkten då vi startar från \(A=(-1,3,-1)\) och rör oss 15 längdenheter i riktning av \(\overline{a}=3\overline{i}+4\overline{k}\).

    Lösning

    Vi betecknar slutpunkten med \( P \).

    Vi skall bilda \( \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + 15\overline{a}^0 \).

    Vi bildar vektorerna

    \( \overrightarrow{OA} = -\overline{i} +3\overline{j} - \overline{k} \).

    \( \overline{a}^0 = \dfrac{1}{\mid \overline{a} \mid} \overline{a} = \dfrac{1}{\sqrt{3^2+4^2}}(3\overline{i} + 4\overline{k}) = \dfrac{1}{5}(3\overline{i} + 4\overline{k}) \).

    Vi får \( \overrightarrow{OP} = 8\overline{i} +3\overline{j}+ 11\overline{k} \)

    Slutpunkten är \( (8,3,11) \).

11. Vilken punkt på \(z\)-axeln är lika långt från punkterna \((1,2,3)\) och \((4,4,4)\) ?

    Lösning

    Vi betecknar punkten på \( z \)-axeln som \( P =(0,0,z) \).

    Vi bildar avstånden

    \( d_1 = \sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2+(3-z)^2} \) och

    \( d_2 = \sqrt{(4-0)^2+(4-0)^2+(4-z)^2} \).

    För avstånden gäller att de skall vara samma, alltså \( d_1 = d_2 \). Vi löser ekvationen och får \( z = 17 \).

    Punkten har koordinaterna \( (0,0,17) \).

12. Ett klot har mittpunkten \((1,3,2)\) och radien \(5\) l.e. I vilken punkt skär klotet \(x\)-axeln?

    Formlen för klotets ekvation är \( (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2 \) där klotets mittpunkt är \( (x_0,y_0,z_0) \) och radien är \( r \).

    Lösning

    Klotets ekvation är \( (x-1)^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = 5^2 \).

    De punkter som finns på \(x\)-axeln är av typ \( (x,0,0) \).

    Då vi sätter in punkten i klotet ekvation får vi ekvationen \( (x-1)^2 + (0-3)^2 + (0-2)^2 = 5^2 \).

    Vi får lösningarna \( x = \pm 2\sqrt{3}+1 \).

    Skärningspunkterna är två:\( (\pm 2\sqrt{3}+1 ; 0 ; 0)\).

13. När ett klot skär ett plan blir formen som uppstår en cirkel. Ett klots mittpunkt är \((2,-3,1)\) och radien är \(4\) l.e. Bestäm mittpunkt och radie för cirkeln som uppstår då klotet skär.

    Tips

    Vad betyder det för koordinaterna att vi skär ett plan? Hurdana ekvationer blidar du? Hur så cirkelns ekvation ut?
    1. \(xy\)-planet.

       Lösning

       Klotets ekvation är \( (x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2 = 4^2 \).

       De punkter som finns på \(xy\)-planet är av typ \( (x,y,0) \).

       Vi sätter in punkten i klotet ekvation och får \( (x-2)^2+(y+3)^2+(0-1)^2 = 4^2 \). Cirklens ekvation är \((x-2)^2+(y+3)^2=15\).

       Mittpunkt är \((2,-3,0)\) och radien är \(\sqrt{15}\).

    2. \(xz\)-planet.

       Lösning

       Tanken är samma som i a). De punkter som är i \( xz \)-planet är av typ \( (x,0,z) \).

       Vi får cirkelns ekvation till \((x-2)^2+(z-1)^2=7\).

       Mittpunkt är \((2,0,1)\) och radien är \(\sqrt{7}\) .

    3. \(yz\)-planet.

       Lösning

       Tanken är samma som i a) och b). De punkter som är i \( yz \)-planet är av typ \( (0,y,z) \).

       Cirkelns ekvation är \((y+3)^2+(z-1)^2=12\).

       Mittpunkt är \((0,-3,1)\) och radien är \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).