MaA 6 Derivatan

14. Repetition

Det var det. Sedan är det bara att repetera det som du lärt dig.

Uppgifter

  1. Förenkla
    1. \( \dfrac{2x^2-x}{3x} \)

      \( \dfrac{2x^2-x}{3x} = \dfrac{x(2x-1)}{3x}=\dfrac{2x-1}{3} \)

    2. \( \dfrac{x^2-4}{x+2} \)

      \( \dfrac{x^2-4}{x+2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2 \)

    3. \( \dfrac{x^2-3x+2}{2x-2} \)

      Vi faktoriserar med hjälp av nollställena.

      \( \dfrac{x^2-3x+2}{2x-2} = \dfrac{(x-1)(x-2)}{2(x-1)} = \dfrac{x-2}{2} \)

  2. Lös dessa gamla studentexamensuppgifter. Inom parentesen har ni höst eller vår plus årtal och uppgiftens nummer.
    1. Förenkla \( \dfrac{x^2-9}{x+3} \). [H12, 2b)]

      \( \dfrac{x^2-9}{x+3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x-3 \)

    2. Bestäm \( \dfrac{x}{1-x} + \dfrac{x}{1+x} \). [V05, 1a)]

      \( ^{1+x)}\dfrac{x}{1-x} + ^{1-x)}\dfrac{x}{1+x} = \dfrac{x(1+x)+x(1-x)}{(1-x)(1+x)} =\dfrac{x+x^2+x-x^2}{1-x^2} = \dfrac{2x}{1-x^2} \)

    3. Beräkna \( \dfrac{1}{a-1}(a-\dfrac{1}{a}) \). [V06, 1c]

      \( \dfrac{1}{a-1}(a-\dfrac{1}{a})=^{a)}\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{1}{a(a-1)}=\dfrac{a^2-1}{a(a-1)} = \dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a-1)} =\dfrac{a+1}{a} \)

    4. Bestäm \( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1+x}{x^2} \). [H08, 1b)]

      \( ^{x)}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1+x}{x^2} = \dfrac{x\cdot1-1+1+x}{x^2}=\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2}{x} \)

    5. Bestäm \( \dfrac{a^2}{3}-(\dfrac{-a}{3})^2 \). [V09, 1a)]

      \( \dfrac{a^2}{3}-(\dfrac{-a}{3})^2 = ^{3)}\dfrac{a^2}{3}-\dfrac{a^2}{9}=\dfrac{3a^2-a^2}{9}=\dfrac{2a^2}{9} \)

    6. Förenkla \( (\sqrt{a}+1)^2-a-1 \). [V10, 1b)]

      \( (\sqrt{a}+1)^2-a-1 = a+2\sqrt{a}+1-a-1 = 2\sqrt{a} \)

  3. Kombinera rätt funktion med rätt derivatafunktion.

    Välj bland följande funktioner:

    FunktionDerivata funktion

    FunktionDerivata funktion

  4. Välj rätt derivatafunktion för funktionen i fråga.
    \( f(x)=x-1 \)
    \( g(x)=x^2+1 \)
    \( h(x)=x+2 \)
    \( i(x)=x^3+1 \)
    \( j(x)=x^2-1 \)
    \( k(x)=x^3-1 \)

    Tag antingen och derivera, eller fundera och kom ihåg vad sambandet är mellan en funktion och dess derivatafunktion.

    \( f(x)=x-1 \)
    \( g(x)=x^2+1 \)
    \( h(x)=x+2 \)
    \( i(x)=x^3+1 \)
    \( j(x)=x^2-1 \)
    \( k(x)=x^3-1 \)

  5. Ordna följande instruktioner i rätt ordning så att algoritmen blir sann då vi undersöker funktioner.
    Utgå från derivatans nollställen och bilda ett teckenschema.
    Sök derivatans nollställen, lös alltså ekvationen \( f’(x)=0 \).
    Derivera funktionen.
    Från teckenschemat vet du hur funktionen beter sig och var du hittar största och minsta värden.
    InstruktionOrdning
    1.
    2.
    3.
    4.

    InstruktionOrdning
    Derivera funktionen.1.
    Sök derivatans nollställen, lös alltså ekvationen \( f’(x)=0 \). 2.
    Utgå från derivatans nollställen och bilda ett teckenschema.3.
    Från teckenschemat vet du hur funktionen beter sig och var du hittar största och minsta värden.4.

  6. I figuren nedan visas grafen av derivatafunktionen \( f'(x) \) till en viss funktion \( f(x) \) i intervallet \( -2 < x < 3 \).

    1. Bestäm utgående från grafen nollställena till derivatafunktionen \( f'(x) \).

      Nollställena är \( x= -1, x= 0 \) och \( x=2 \).

    2. Bestäm det intervall då funktionen \( f \) är avtagande.

      \( f \) är avtagande då \( -2 \leq x \leq -1 \) och då \( 0 \leq x \leq 2 \).

    3. Bestäm utgående från grafen de lokala extremställena för funktionen \( f(x) \) och vilka typer av extremställen är det frågan om?

      I \( x=-1 \) har vi ett minimivärde eftersom funktionen avtar och sedan växer den.

      I \( x=0 \) har vi ett maximivärde eftersom funktionen växer för att sedan avta.

      I \( x=2 \) har vi ett minimivärde eftersom funktionen avtar och sedan växer den.

      Vilket av minimivärdena är de minsta kan vi inte säga något om, tyvärr.

  7. Bestäm
    1. \( D(x^2-1)(x+2) \)

      \( D(x^2-1)(x+2)= (x^2-1)\cdot 1 + (x+2)2x = 3x^2+4x-1 \)

    2. \( D\dfrac{x^2-1}{x+2} \)

      \( D\dfrac{x^2-1}{x+2}=\dfrac{(x+2)\cdot 2x-(x^2-1)\cdot 1}{(x+2)^2} =\dfrac{x^2+4x+1}{(x+2)^2} \)

    3. \( D(2x^2-1)^{14} \)

      \( D(2x^2-1)^{14}=14(2x^2-1)^{13}\cdot 4x = 56x(2x^2-1)^{13} \)

    4. \( D[x(x^2-1)^6] \)

      \( D[x(x^2-1)^6]=x\cdot 6(x^2-1)^5\cdot 2x +(x^2-1)^6\cdot 1 = 12x^2(x^2-1)^5+(x^2-1)^6 \)

  8. Bestäm \( f(-1) \) och \( f'(-1) \) då \( f(x) = x^{1999} - x^{1996} \).

    \( f(-1) = (-1)^{1999} - (-1)^{1996} = -1-1 = -2 \).

    Derivatafunktionen är \( f'(x) = 1999x^{1998} -1996x^{1995} \).

    \( f'(-1) = 1999(-1)^{1998} -1996(-1)^{1995} = 1999\cdot 1 -1996(-1) = 3995 \).

  9. K Orvar tillverkar konserverad prinskorv. Han vill packa prinskorvarna i konservburkar med volymen 2,0 dl. Hans konservburksmaskin kan tillverka konservburkar som har diametern mellan 4,5 och 8,5 cm. Bestäm diameter och höjd för den burk som har den minsta materialåtgång.

    Volymen är \( V=0,2 =\pi r^2\cdot h \) och totala arean är \( 2\pi r^2+2\pi r\cdot h \).

    Vår funktion är \( A(r)=2\pi r^2 + \dfrac{2\pi \cdot r \cdot 0,2}{\pi r^2} = 2\pi r^2+0,4r^{-1} \).

    Derivatafunktioen är \( A'(r)= 4\pi r-0,4r^{-2} \). Nollstället för derivatafunktionen är \( r=3,17 \). Eftersom \( r \in [2,25 ; 4,25] \) så räcker det med att sätta in intervallets ändpunkter eller derivatans nollställe i funktionen och jämföra värdena.

    A(2,25)= 31,99 cm2

    A(3,17)=63,27 cm2

    A(4,25)=113,58 cm2

    Åtgången är minst då radien är 2,25 cm.

    Diametern är 4,5 cm och höjden är 12,6 cm.

  10. Teckenschemat för en funktion är följande.

    \( \begin{array}{c|ccccc} & & -1 & & 3 & \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \end{array} \)

    Beskriv hur funktionen beter sig.

    Vi kan fylla ut teckenschemat till följande

    \( \begin{array}{c|ccccc} & & -1 & & 3 & \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & & \nearrow & & \searrow \\ \end{array} \)

    Vi har en funktion som avtar, växer och sedan avtar den. Vi har ett lokalt minimi i \( x = -1 \) och lokalt maxima i \( x = 3 \).

    Globala maximin och minimin saknas.

    Vi har en funktion av tredje grad.

  11. Teckenschemat för en funktion är följande.

    \( \begin{array}{c|ccc} & & 2 & & \\ \hline f'(x) & - & 0 & - \\ \end{array} \)

    Beskriv hur funktionen beter sig.

    Vi kan fylla ut teckenschemat till följande

    \( \begin{array}{c|ccc} & & 2 & & \\ \hline f'(x) & - & 0 & - \\ f(x) & \searrow & & \searrow \\ \end{array} \)

    Vi har en funktion som avtar, har en terasspunkt i \( x = 2 \) och sedan avtar den.

    Den saknar extremvärden.

    Funktionen kan vara en tredjegradsfunktion, av typ \( f(x) = x^3 + \text{en siffra} \).

  12. En ballong växer med 1 cm per sekund. Vi antar att ballongens radie är i början 0. Bestäm hastigheten som ballongen växer vid
    1. 5 sekunder

      Vi har \( A(r) = 4\pi r^2\). Funktionen som ger arean som funktion av tiden är \( A(t) = 4\pi t^2\).

      Derivatafunktionen är \( A'(t)=8\pi t \).

      \( A'(5) = 40\pi = 125,66\ldots \approx 130 \) cm/s.

    2. 15 sekunder.

      \( A'(15) = 120\pi = 376,99\ldots \approx 380 \) cm/s.

    Ballongens area är \( A = 4\pi r^2 \), där \( r \) är radien.

  13. Längderna för en rektangelformad pappskiva är 15 cm och 24 cm. Från varje hörn klipper man bort en lika stor kvadratisk bit och sedan viken man upp kanterna så att man får en låda. Bestäm storleken av kvadraterna som vi klipper bort då vi vill att volymen för lådan är så stor som möjligt.

    Vi betecknar sidan av kvadraten med \( x \).

    Eftersom vi klipper bort vid varje hörn, kommer bottnet för lådan ha längderna \( 15 - 2x \) och \( 24-2x \).

    Höjden får lådan är \( x \).

    Funktionen som ger volymen är \( V(x) = x(15-2x)(24-2x) \).

    Maximalt kan vi klippa bort 7,5 cm, som minst 0 cm. Vi får intervallet \( 0 < x < 7,5 \)

    Derivera och sök derivatans nollställe. Kom fram till \( x = 3 \) och \( x = 10 \). Varför duger inte \( x = 10 )?

    Vi söker största värdet genom att jämföra värdena i intervallets änpunkter och derivatans nollställen.

    Kom fram till att \( x = 3 \) ger det största värdet.

    Alltså skall sidorna på kvadraterna vara 3 cm långa.

  14. Ge exempel på en växande funktion \( f \) som uppfyller följande villkor
    1. \( f(0)=1 \)

      Vilken funktion som helst som går genom punkten \( (0,1) \) duger, tex \( f(x)=x+1 \).

    2. \( f'(1)=2 \)

      Vilken funktion som hellst vars derivata har värdet 2 i då \( x=1 \). Tex \( f(x)=x^2-1 \).

    3. \( f''(2)=0 \)

      Andra derivatan, eller derivatans derivatafunktion skall undersökas. Då den skall ha värdet 0 så gäller att \( f''(x)=C \), där \( C \) är någon konstant och \( f(x)=Dx \) där \( D \) är någon konstant. Tex \( f(x)=x \).

  15. Visa att för alla värden på \( x \) gäller att \( (x+1)^4 \geq \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{16} \).

    Skall vi visa att \( (x+1)^4 \geq \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{16} \) så gäller att \( (x+1)^4 -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{16} \geq 0 \).

    Vi skapar en funktion och visar att dess minsta värde är större än eller lika med 0.

    Derivatafunktionens nollställe är i \( x = -\dfrac{1}{2} \). Se till att du deriverar och löser derivatans nollställe.

    Teckenschemat ger att vi har ett minsta värde.

    Funktionens minsta värde är \( f(-\dfrac{1}{2}) = 0 \).

    Alltså gäller att \( (x+1)^4 \geq \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{16} \).

  16. Bestäm \( \lim_{x \to 3} \dfrac{4x-12}{x^2-9} \).

    \( \lim_{x \to 3} \dfrac{4x-12}{x^2-9} = \lim_{x \to 3} \dfrac{4(x-3)}{(x+3)(x-3)} \lim_{x \to 3} \dfrac{4}{x+3} = \dfrac{4}{3+3} = \dfrac{2}{3} \).

  17. Bestäm \( \lim_{x \to -2} \dfrac{3x^2-12}{3x^2+6x} \).

    \( \lim_{x \to -2} \dfrac{3x^2-12}{3x^2+6x} = \lim_{x \to -2} \dfrac{3(x-2)(x+2)}{3x(x+2)} \lim_{x \to -2} \dfrac{x-2}{x} = \dfrac{-4}{-2} = 2 \).

  18. Bestäm för funktionen \( f(x)=x^2-4x \) ekvationen för tangenten i \( x=1 \).

    Derivatafunktionen är \( f'(x)=2x-4 \). Tangentens riktningskoefficient har värdet \( f'(1)=2\cdot 1 -4=-2 \). Då \( x=1 \) har \( y \) värdet \( f(1)=1^2-4\cdot 1 = -3 \).

    Tangentens ekvation fås via \( y-y_0 = k(x-x_0) \Leftrightarrow y+3=-2(x-1) \Leftrightarrow y=-2x-1 \).

  19. Bestäm de tangenter för funktionen \( f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2 \) som har riktningskoefficienten 2.

    Derivatafunktionen är \( f'(x)= x^2+x \). De punkter där tangenten har riktningskoefficienten 2 får vi genom att lösa ekvationen \( f'(x)=2 \) alltså \( x^2+x=2 \) som har rötterna \( x_1=1 \) och \( x_2=-2 \).

    Då \( x=1 \) är \( y=\dfrac{5}{6} \) och tangenten är \( y-\dfrac{5}{6}=2(x-1) \Leftrightarrow y=2x-\dfrac{7}{6} \).

    Då \( x=-2 \) är \( y=-\dfrac{2}{3} \) och tangenten är \( y+\dfrac{2}{3}=2(x+2) \Leftrightarrow y=2x+\dfrac{10}{3} \).

  20. Berätta hur funktionen \( f(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2-1} \) beter sig. När är den växande och avtagande. Hurdana extremvärden har den?

    Funktionen \( f \) är definierad då \( x^2-1\not=0 \Leftrightarrow x=\pm1 \).

    \( f'(x)=\dfrac{(x^2-1)\cdot 4x - (2x^2-4)\cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2-1)^2} \). Vi söker nollställen för täljare och nämnare och bildar ett teckenschema.

    För täljaren gäller \( 4x=0 \Leftrightarrow x=0 \) och för nämnaren gäller att den alltid är positiv.

    Teckenschema:

    \( \begin{array}{r|ccccccc} & & -1 & & 0 & & 1 & \\ \hline \textrm{Täljaren, } 4x & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \textrm{Nämnaren, } (x^2-1)^2 & + & + & + & + & + & + & +\\ \textrm{Kvoten, } f'(x) & - & | & - & 0 & + & | & + \\ f(x) & \searrow & | & \searrow & & \nearrow &| & \nearrow \\ \end{array} \)

    Funktionen är alltså avtagande då \( x < 0 \) förutom i \( x=-1 \) den inte är definierad. Då \( x > 0 \) är funktionen växande, förutom i \( x=1 \) där den inte är definierad.

    Vi har ett lokalt minimum i \( x=0 \), funktionens värde är då 4.

  21. Visa att talföljden \( a_n=\dfrac{1}{1+n^2}, n=0,1,2,3,\ldots \) är strängt avtangande?

    Vi undersöker \( f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}, \mathbb{R}_+\to\mathbb{R} \).

    \( f'(x)=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2} \).

    Om talföljden skall vara strängt avtangande gäller att \( f'(x) < 0 \). Eftersom nämnaren är positiv så skall täljaren vara negativ.

    Täljaren \( -2x \) har ett nollställe, \( x = 0\). Då \( x > 0 \) gäller att täljaren, och hela derivatafunktionen är negativ.

    Alltså är \( f \) strängt avtagande och talföljden \( a_n \) strängt avtagande.

  22. Visa att funktionen \( f(x)=\left\{ \begin{array}{rl} -x^2+1 & , x \geq 0 \\ 2x+1 & , x < 0 \\ \end{array}\right. \) är kontinuerlig i den reella talmängden.

    Funktionen består av polynomfunktioner som är kontinuerliga. Det som vi måste undersöka är om funktionen är kontinuerlig i punkten 0. Vi gör det via gränsvärden och funktionsvärden.

    \( \lim_{x \to 0-} 2x+1 = 2\cdot 0 + 1 = 1 \)

    \( \lim_{x \to 0+} -x^2+1 = -0^2 + 1 = 1 \)

    \( f(0)=-0^2+1=1 \)

    Eftersom \( \lim_{x \to 0-} = \lim_{x \to 0+} = f(0) \) är funktionen kontinuerlig i punkten 0.

  23. Visa att funktionen \( f(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 2x^2-3 & , x \leq 2 \\ -\dfrac{1}{2}x+5 & , x > 2 \\ \end{array}\right. \) inte är kontinuerlig i den reella talmängden.

    Funktionen består av polynomfunktioner som är kontinuerliga. Det som vi måste undersöka är om funktionen är diskontinuerlig i punkten 2. Vi gör det via gränsvärden och funktionsvärden.

    \( \lim_{x \to 2-} 2x^2-3 = 2\cdot 2^2 -3 = 5 \)

    \( \lim_{x \to 2+} -\dfrac{1}{2}x+5 = -\dfrac{1}{2}\cdot 2 + 5 = 4 \)

    Eftersom \( \lim_{x \to 2-} \not= \lim_{x \to 2+} \) är funktionen inte kontinuerlig i punkten 2.

  24. För vilket värde på \( b \) är talföljden \( a_n=\dfrac{bn-2}{n+6}, n=0,1,2,3,\ldots \) strängt växande?

    Vi undersöker \( f(x)=\dfrac{bx-2}{x+6}, \mathbb{R}_+\to\mathbb{R} \).

    \( f'(x)=\dfrac{(x+6)b-(bx-2)\cdot 1}{(x+6)^2} = \dfrac{xb+6b-bx+2}{(x+6)^2}=\dfrac{6b+2}{(x+6)^2} \).

    Om talföljden skall vara strängt växande gäller att \( f'(x) > 0 \). Eftersom nämnaren är positiv så skall täljaren vara positiv.

    \( 6b+2 > 0 \Leftrightarrow 6b > -2 \Leftrightarrow b > -\dfrac{1}{3} \).

    Då \( b > -\dfrac{1}{3} \) är talföljden \( (a_n) \) strängt växande.