MaA 6 Derivatan

2. Rationella uttryck

Rationella uttryck är något som du egentligen har börjat räkna med på lågstadiet. Då gick de under namnet bråk. Vi fortsätter med att repetera hur man räknar med bråk och tillämpar detta för att räkna med rationella uttryck som innehåller variabler.

Exempel 1 Bestäm \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\).

Exempel 2 Bestäm \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x+1}\).

Exempel 3 Bestäm \(\dfrac{x-1}{2x}\cdot\dfrac{x+1}{x-1}\).

Exempel 4 Bestäm \(\dfrac{1}{2-x} \big/ \dfrac{2}{4-x^2}\).

Då du räknar med rationella uttryck skall du räkna på helt motsvarande sätt som om du räknar med bråktal. För att förkorta måste du ha samma faktor i täljaren och nämnaren.

Uppgifter

  1. Vi repeterar benämningar. Om du har glömt dem så titta här

    1. Fyll i rutorna med rätt benäming.

      I bråket \(\dfrac{3}{4}\) kallas 3:an för [VAD DÅ] och 4:an för [VAD DÅ]. Hela bråket \(\dfrac{3}{4}\) kallas även för [VAD DÅ].

      I bråket \(\dfrac{3}{4}\) kallas 3:an för [täljare] och 4:an för [nämnare]. Hela bråket \(\dfrac{3}{4}\) kallas även för [kvot].

    2. Välj rätt alternativ utgående från bråket \(\dfrac{3}{4}\) och välj rätt benämning för 3:an, 4:an och \(\dfrac{3}{4}\).

      Påstående34\(\dfrac{3}{4}\)
      kvot
      nämnare
      täljare
      osamäärä
      osoittaja
      nimittäjä
      denominator
      fraction
      numerator

      Påstående34\(\dfrac{3}{4}\)
      kvot
      nämnare
      täljare
      osamäärä
      osoittaja
      nimittäjä
      denominator
      fraction
      numerator
  2. Bestäm, utan att använda räknare.
    1. \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}\)

      \(^{3)}{\dfrac{1}{4}}+^{4)}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3\cdot 1+4\cdot 2}{4\cdot 3} = \dfrac{11}{12}\)
    2. \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{2x}{3}\)

      \(^{3)}{\dfrac{x}{2}}-^{2)}{\dfrac{2x}{3}} = \dfrac{3x-2\cdot 2x}{2\cdot 3} = \dfrac{-x}{6}\)
    3. \(\dfrac{4x}{5} \cdot \dfrac{x}{2}\)

      \(\dfrac{4x}{5} \cdot \dfrac{x}{2} = \dfrac{4x\cdot x}{5\cdot 2} = \dfrac{2x^2}{5}\)
    4. \(\dfrac{6}{5} \big/\dfrac{9}{10}\)

      \(\dfrac{6}{5} \big/\dfrac{9}{10} = \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{10}{9} = \dfrac{4}{3}\)
  3. Bestäm, utan att använda räknare.
    1. \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{x+2}{3}\)

      \(^{3)}{\dfrac{1}{2}} - ^{2)}{\dfrac{x+2}{3}}=\dfrac{3\cdot 1-2(x+2)}{2\cdot 3} = \dfrac{-2x-1}{6}\)
    2. \(\dfrac{x+3}{4} / \dfrac{x+3}{2}\)

      \(\dfrac{x+3}{4} / \dfrac{x+3}{2} =\dfrac{x+3}{4} \cdot \dfrac{2}{x+3} = \dfrac{1}{2}\)
    3. \(\dfrac{2x-4}{3} / \dfrac{x-2}{6}\)

      \(\dfrac{2x-4}{3} / \dfrac{x-2}{6} = \\ \dfrac{2x-4}{3} \cdot \dfrac{6}{x-2} = \dfrac{6\cdot 2(x-2)}{3(x-2)} = 4\)
  4. Bestäm, utan att använda räknare.
    1. \(\dfrac{x-3}{2} - \dfrac{x-6}{4}\)

      \(^{2)}{\dfrac{x-3}{2}} - \dfrac{x-6}{4} = \\ \dfrac{2(x-3)-(x-6)}{4} = \\ \dfrac{2x-6-x+6}{4} = \dfrac{x}{4}\)
    2. \(\dfrac{2x+6}{3} / \dfrac{x+3}{2x-1}\)

      \(\dfrac{2x+6}{3} / \dfrac{x+3}{2x-1} = \\ \dfrac{2x+6}{3} \cdot \dfrac{2x-1}{x+3} = \\ \dfrac{2(x+3)(2x-1)}{3(x+3)}= \\ \dfrac{4x-2}{3} \)
    3. \(\dfrac{6}{x+1} / \dfrac{3}{2x+2}\)

      \(\dfrac{6}{x+1} / \dfrac{3}{2x+2} = \dfrac{6}{x+1} \cdot \dfrac{2x+2}{3} = \\ \dfrac{6\cdot 2(x+1)}{3(x+1)} = 4\)
  5. Bestäm, utan att använda räknare.
    1. \(\dfrac{x^2-9}{x-1} / \dfrac{x-3}{2x-2}\)

      \(\dfrac{x^2-9}{x-1} / \dfrac{x-3}{2x-2} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-1}\cdot \dfrac{2(x-1)}{x-3} \\ = 2(x+3) = 2x+6\)
    2. \(\dfrac{x-2}{4x-4} / \dfrac{4x-8}{8}\)

      \(\dfrac{x-2}{4x-4} / \dfrac{4x-8}{8} = \dfrac{x-2}{4(x-1)}\cdot \dfrac{8}{4(x-2)}= \\ \dfrac{1}{2(x-1)} = \dfrac{1}{2x-2}\)
    3. \(\dfrac{x^2-4}{x^2+x-2} / \dfrac{x-2}{x-1}\)

      För att kunna faktorisera nämnaren gör vi det genom nollställena för \(x^2+x-2\). Nollställena är \(x=1\) och \(x=-2\).

      \(\dfrac{x^2-4}{x^2+x-2} / \dfrac{x-2}{x-1} = \\ \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x+2)}\cdot \dfrac{x-1}{x-2} = 1\).

  6. Bestäm. Faktorisera först nämnaren så har du lättare att förlänga.
    1. \( \dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{x+1}{x^2-x} \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} \dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{x+1}{x^2-x} & = & ^{x)}\dfrac{x+1}{x-1} - \dfrac{x+1}{x(x-1)} \\ & = & \dfrac{x(x+1)}{x(x-1)} - \dfrac{x+1}{x(x-1)} \\ & = & \dfrac{x(x+1)-(x+1)}{x(x-1)} \\ & = & \dfrac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)} \\ & = & \dfrac{x+1}{x} \\ \end{array} \)

    2. \( \dfrac{s}{s-1} - \dfrac{2s}{s^2-1} \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcll} \dfrac{s}{s-1} - \dfrac{2s}{s^2-1} & = & ^{s+1)}\dfrac{s}{s-1} - \dfrac{2s}{(s+1)(s-1)} \\ & = & \dfrac{(s+1)s}{(s+1)(s-1)} - \dfrac{2s}{(s+1)(s-1)} \\ & = & \dfrac{s(s+1)-2s}{(s+1)(s-1)} \\ & = & \dfrac{-s}{s-1} & \text{ detta är ett bra svar}\\ & = & \dfrac{-s}{-(-s+1)} \\ & = & \dfrac{s}{-s+1} \\ \end{array} \)

    3. \( \dfrac{x-1}{x+1} - \dfrac{x^2+1}{x^2-1} \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} \dfrac{x-1}{x+1} - \dfrac{x^2+1}{x^2-1} & = & ^{x-1)}\dfrac{x-1}{x+1} - \dfrac{x^2+1}{(x-1)(x+1)} \\ & = & \dfrac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{x^2+1}{(x-1)(x+1)} \\ & = & \dfrac{(x-1)^2-(x^2+1)}{(x-1)(x+1)} \\ & \vdots & \\ & = & -\dfrac{2x}{x^2-1} \\ \end{array} \)

  7. Skriv på gemensamt bråkstreck och förenkla.
    1. \(\dfrac{a+1}{2a} + \dfrac{a-1}{3}\)

      \(^{3)} {\dfrac{a+1}{2a}} + ^{2a)}{\dfrac{a-1}{3}} = \\ \dfrac{3(a+1)+2a(a-1)}{3\cdot 2a}= \\ \dfrac{2a^2+a+3}{6a}\)
    2. \(\dfrac{m-1}{m} -\dfrac{n+1}{n} - \dfrac{-4m-4n}{2mn}\)

      \(^{2n)}{\dfrac{m-1}{m}} -^{2m)}{\dfrac{n+1}{n}} - \dfrac{-4m-4n}{2mn} = \\ \dfrac{2n(m-1)-2m(n+1)-(-4m-4n)}{2mn}= \\ \dfrac{2mn-2n-2mn-2m+4m+4n}{2mn}= \\ \dfrac{2m+2n}{2mn}= \dfrac{2(m+n)}{2mn}=\dfrac{m+n}{mn}\)
    3. \(\dfrac{a}{a-b} - \dfrac{b}{a+b}\)

      \(^{a+b)}{\dfrac{a}{a-b}} - ^{a-b)}{\dfrac{b}{a+b}} = \\ \dfrac{a(a+b)-b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \dfrac{a^2+ab-ab+b^2}{a^2-b^2}= \\ \dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\)
  8. Förenkla
    1. \(\dfrac{1}{a^2+2ab+b^2}\big/\dfrac{1}{a^2-b^2}\)

      \(\dfrac{1}{a^2+2ab+b^2}\big/\dfrac{1}{a^2-b^2} = \\ \dfrac{1}{a^2+2ab+b^2}\cdot \dfrac{a^2-b^2}{1} = \\ \dfrac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2} = \dfrac{a-b}{a+b}\)
    2. \(\dfrac{(3-a)(3-a)}{9-a^2} - \dfrac{3+a}{3-a}\)

      \( \begin{array}{ll} \dfrac{(3-a)(3-a)}{9-a^2} - \dfrac{3+a}{3-a} = \\ = \dfrac{(3-a)(3-a)}{(3+a)(3-a)} - ^{3+a)}\dfrac{3+a}{3-a} \\ = \dfrac{(3-a)^2-(3+a)^2}{(3-a)(3+a)} & \text{ Konjugatregeln, } a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \\ = \dfrac{[(3-a)+(3+a)][(3-a)-(3+a)]}{(3-a)(3+a)} \\ = \dfrac{6(-2a)}{9-a^2} \\ = \dfrac{-12a}{9-a^2} & \text{ Detta är ett bra svar.} \\ = \dfrac{12a}{a^2-9} \end{array} \)

    3. \(\dfrac{a+b}{a-b}-\dfrac{a-b}{a+b}\)

      \(^{a+b)}{\dfrac{a+b}{a-b}}-^{a-b)}{\dfrac{a-b}{a+b}} = \dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \\ \dfrac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2}= \dfrac{4ab}{a^2-b^2}\)
  9. Förenkla
    1. \(\dfrac{1}{a^2-b^2} \big/ \dfrac{1}{a^2-2ab + b^2}\)

      \(\dfrac{1}{a^2-b^2} \big/ \dfrac{1}{a^2-2ab + b^2} = \\ \dfrac{1}{a^2-b^2} \cdot \dfrac{a^2-2ab+b^2}{1} = \\ \dfrac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} = \dfrac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} = \\ \dfrac{a-b}{a+b}\)
    2. \(\dfrac{1}{a^2-b^2} - \dfrac{1}{a^2+2ab + b^2}\)

      \(\dfrac{1}{a^2-b^2} - \dfrac{1}{a^2+2ab + b^2} =\\ ^{a+b)}{\dfrac{1}{(a-b)(a+b)}}-^{a-b)}{\dfrac{1}{(a+b)^2}} = \\ \dfrac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)^2} = \dfrac{2b}{(a-b)(a+b)^2}\)
    3. \(\dfrac{x^3-1}{x+1} \cdot \dfrac{x^3+1}{x^2+2x+1} \big/ \dfrac{1}{(x^2+2x+1)}\)

      \(\dfrac{x^3-1}{x+1} \cdot \dfrac{x^3+1}{x^2+2x+1} \big/ \dfrac{1}{(x^2+2x+1)} = \\ \dfrac{(x^3-1)(x^3+1)}{(x+1)(x+1)^2} \big/ \dfrac{1}{(x^2+2x+1)} = \\ \dfrac{(x^3-1)(x^3+1)}{(x+1)(x+1)^2} \cdot \dfrac{(x+1)^2}{1} = \dfrac{x^6-1}{x+1}\)
  10. För vilket värde på \( a \) kan vi förkorta följande uttryck? Förkorta sedan uttrycken.
    1. \( \dfrac{x^2+a}{x+3} \)

      För att kunna förkorta skall täljaren bestå av samma faktorer som nämnaren, alltså \( x+3 \).

      Då \( a = 9 \) får vi \( x^2-9 = (x+3)(x-3) \).

      Alltså \( \dfrac{x^2-9}{x+3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x-3 \) där \( x \not=-3 \).

    2. \( \dfrac{x^2+x+a}{x+2} \)

      För att vi skall kunna faktorisera täljaren skall nämnarens nollställe vara en faktor i täljaren.

      \( x + 2 = 0 \) då \( x = -2 \).

      Då \( x = -2 \) skall täljaren ha värdet 0. Alltså \( (-2)^2+(-2)+a = 0 \), vi får \( a = -2 \).

      Täljaren är \( x^2+x-2 \). Vi faktoriserar \( x^2+x-2=0 \Leftrightarrow (x+2)(x-1)=0 \).

      Alltså \( \dfrac{(x+2)(x-1)}{x+2} = x-1 \) där \( x \not=-2 \).

    3. \( \dfrac{2x^2+ax -24}{x-3} \)

      För att vi skall kunna faktorisera täljaren skall nämnarens nollställe vara en faktor i täljaren.

      \( x-3 = 0 \) då \( x = 3 \).

      Då \( x = 3 \) skall täljaren ha värdet 0. Alltså \( 2\cdot 3^2 +a\cdot 3 -24 = 0 \), vi får \( a = 2 \).

      Täljaren är \( 2x^2+2x-24 \). Den kan faktoriseras till \( 2(x-3)(x+4) \).

      Vi får \( \dfrac{2(x-3)(x+4)}{x-3} = 2(x+4) = 2x+8 \) där \( x \not=3 \).

  11. Förenkla
    1. \( \dfrac{x}{1-\dfrac{1}{1-x}} \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{1-\dfrac{1}{1-x}} & = & \dfrac{x}{\dfrac{1-x}{1-x}-\dfrac{1}{1-x}} \\ & = & \dfrac{x}{\frac{1-x-1}{1-x}} \\ & \vdots & \\ & = & x-1 \\ \end{array} \)

    2. \( \dfrac{\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x}} \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} \dfrac{\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x}} & = & \dfrac{\frac{1(x-1)+1(x+1)}{(x+1)(x-1)} }{\frac{1\cdot x -(x+1)}{(x+1)x} } \\ & \vdots & \\ & = & \dfrac{2x}{(x+1)(x-1)} \cdot \dfrac{(x+1)x}{-1} \\ & \vdots & \\ & = & -\dfrac{2x^2}{x-1} = \dfrac{-2x^2}{x-1} = \dfrac{2x^2}{1-x} \\ \end{array} \)

      Alla tre svar är samma. De är bara minustecknet som byter plats.

  12. Förenkla följande uttryck.
    1. \( (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) / (a+b) \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} (^{b)}\dfrac{1}{a}+^{a)}\dfrac{1}{b}) / (a+b) & = & (\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}) / (a+b) \\ & \vdots & \\ & = & \dfrac{1}{ab} \\ \end{array} \)

    2. \( (\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}) / (\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}) \)

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} (^{a)}\dfrac{a}{b}-^{b)}\dfrac{b}{a}) / (^{b)}\dfrac{1}{a}-^{a)}\dfrac{1}{b}) & = & (\dfrac{a^2}{ab}-\dfrac{b^2}{ab}) / (\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}) \\ & \vdots & \\ & = & \dfrac{(a+b)(a-b)}{ab} \cdot \dfrac{ab}{-(a-b)} \\ & \vdots & \\ & = & -a-b \\ \end{array} \)