MaA 6 Derivatan

10. Derivatan av produkten mellan två funktioner

När vi deriverar produkten mellan två funktioner använder vi oss av produktregeln.

Låt oss ta funktionerna ff och gg. Derivatan av produkten är D(fg)=f′g+g′fD(fg)=f′g+g′f.

Bevis

Vi tar funktionen h(x)h(x) som är produkten av f(x)f(x) och g(x)g(x), alltså h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x). Vi skall visa att h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

h′(x)=limh→0h(x+h)−h(x)h=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0[f(x+h)−f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h)−g(x)]h=limh→0f(x+h)−f(x)h⋅limh→0g(x+h)+limh→0f(x)⋅limh→0g(x+h)−g(x)h=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h′(x)=limh→0h(x+h)−h(x)h=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0[f(x+h)−f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h)−g(x)]h=limh→0f(x+h)−f(x)h⋅limh→0g(x+h)+limh→0f(x)⋅limh→0g(x+h)−g(x)h=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

Alltså Df(x)g(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x)Df(x)g(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x)

Exempel 1 Bestäm D(x2−1)(x+1)D(x2−1)(x+1) genom att använda produktregeln.

När vi deriverar funktioner som består av en funktion gånger en annan funktion så får vi först förenkla och sedan derivera. Eller så får vi derivera med hjälp av produktregeln.

Derivatan av produkten mellan två funktioner är Df(x)g(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x)Df(x)g(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x).

Vi kan också använda oss av notationen Dfg=f′g+g′fDfg=f′g+g′f.

Uppgifter

  1. Derivera genom att använda dig av produktregeln.
    1. (x−1)(x2+1)(x−1)(x2+1)

      2x(x−1)+1(x2+1)=3x2−2x+12x(x−1)+1(x2+1)=3x2−2x+1

    2. (−x2+1)(2−x)(−x2+1)(2−x)

      −(−x2+1)−2x(2−x)=3x2−4x−1−(−x2+1)−2x(2−x)=3x2−4x−1

  2. Bestäm
    1. D(x−2)(2−x)D(x−2)(2−x)

      −1(x−2)+1(2−x)=−2x+4−1(x−2)+1(2−x)=−2x+4

    2. D(2x3−2x)(x2+x)D(2x3−2x)(x2+x)

      (2x+1)(2x3−2x)+(6x2−2)(x2+x)=10x4+8x3−6x2−4x(2x+1)(2x3−2x)+(6x2−2)(x2+x)=10x4+8x3−6x2−4x

    3. D(x−1)(x+1)D(x−1)(x+1)

      (x−1)+(x+1)=2x(x−1)+(x+1)=2x eller via D(x2−1)=2xD(x2−1)=2x.

  3. Bestäm D(x−2)2D(x−2)2.

    D(x−2)(x−2)=1(x−2)+1(x−2)=2x−4D(x−2)(x−2)=1(x−2)+1(x−2)=2x−4 eller som D(x2−4x+4)=2x−4D(x2−4x+4)=2x−4.

  4. Bestäm D2x(x+1)D2x(x+1)

    Vi får D2x(x+1)=2(x+1)+2x⋅1=2x+2+2x=4x+2D2x(x+1)=2(x+1)+2x⋅1=2x+2+2x=4x+2.

  5. Bestäm Dx(x−1)(x+1)Dx(x−1)(x+1).

    Vi får Dx(x−1)(x+1)=Dx(x2−1)=1(x2−1)+x⋅2x=x2−1+2x2=3x2−1Dx(x−1)(x+1)=Dx(x2−1)=1(x2−1)+x⋅2x=x2−1+2x2=3x2−1.

  6. Grafen av derivatafunktionen f′(x)f′(x) ser du i bilden nedan.

    Vad kan du berätta om funktionen ff?

    Eftersom derivatafunktionen har nollställena x=−3x=−3 och x=2x=2 och går från positiv till negativ eller negativ till positiv byter funktionen ff riktning där.

    I intervallen x<−3x<−3 och x>2x>2 är f′f′ positiv, då är ff växande.

    I intervallet −3<x<2−3<x<2 är f′f′ negativ, då är ff avtagande.

    Eftersom f′f′ är en parabel är ff en tredjegradsfunktion.

  7. Grafen av derivatafunktionen f′(x)f′(x) ser du i bilden nedan.

    Vad kan du berätta om funktionen ff?

    Eftersom derivatafunktionen har nollstället x=1x=1 men alltid är positiv har ff en terasspunkt där.

    f′f′ är positiv i alla punkter utom i x=1x=1. Alltså är ff växande.

    Med andra ord så har vi en strängt växande funktion som har en terasspunkt i x=1x=1.

    Eftersom f′f′ är en parabel är ff minst en tredjegradsfunktion.

  8. Grafen av derivatafunktionen f′(x)f′(x) ser du i bilden nedan.

    Vad kan du berätta om funktionen ff?

    Derivatafunktionen har nollställena x=−2x=−2 och x=0x=0. Vid x=−2x=−2 går derivatafunktionen från positiv till negativ, där byter funktionen ff riktning. Vid x=0x=0 är f′f′ negativ, där har vi en terasspunkt. Vi har ett dubbelnollställe.

    Då x<−2x<−2 är f′f′ positiv, då är ff växande.

    I intervallet −2<x<0−2<x<0 och x>0x>0 är f′f′ negativ, då är ff avtagande.

    Eftersom f′f′ är av tredje grad är ff minst en fjärdegradsfunktion.

  9. Bestäm minsta värde för funktionen f(x)=(x−1)(x+2)f(x)=(x−1)(x+2).

    f′(x)=1(x+2)+1(x−1)=2x+1f′(x)=1(x+2)+1(x−1)=2x+1 som har nollstället x=−12x=−12. Eftersom vi har en parabel som öppnar sig uppåt hittar vi minsta stället i f(−12)=(−12−1)(−12+2)=−94f(−12)=(−12−1)(−12+2)=−94.

  10. Bestäm extremvärden för funktionen f(x)=(x2−x)(x−1)f(x)=(x2−x)(x−1).

    Extrempunkterna är i x=13x=13 och x=1x=1.

    Då x=13x=13 har vi värdet f(13)=427f(13)=427.

    Då x=1x=1 har vi värdet f(1)=0f(1)=0.

    Teckenschemat ger att funktionen växer, avtar och växer. Lokalt största värde i 1313, värdet är 427427. Lokalt minsta värde i 11, värdet är 00.

  11. Bestäm de punkter där f(x)=x(x+1)(x+2)f(x)=x(x+1)(x+2) byter riktning.

    Antingen förenklar du till f(x)=(x2+x)(x+2)f(x)=(x2+x)(x+2) eller till f(x)=x3+3x2+2xf(x)=x3+3x2+2x före du deriverar.

    f′(x)=3x2+6x+2f′(x)=3x2+6x+2.

    De punkter där funktionen byter riktning är derivatans nollställen, f′(x)=0f′(x)=0. Alltså 3x2+6x+2=03x2+6x+2=0. Punktern är x1=−3−√33x1=−3−√33 och x2=−3+√33x2=−3+√33.

  12. Bestäm f′(1)f′(1) då f(x)=(x3−4)(x2+1)f(x)=(x3−4)(x2+1).

    Vi får f′(x)=3x2(x2+1)+(x3−4)⋅2x=5x4+3x2−8xf′(x)=3x2(x2+1)+(x3−4)⋅2x=5x4+3x2−8x.

    f′(1)=5⋅14−3⋅12−8⋅1=0f′(1)=5⋅14−3⋅12−8⋅1=0.

  13. Bestäm när funktinen f(x)=(x2−2)(2x+1)f(x)=(x2−2)(2x+1) är växande och avtagande.

    Derivatafunktionen är f′(x)=2x(2x+1)+(x2−2)⋅2=6x2+2x−4f′(x)=2x(2x+1)+(x2−2)⋅2=6x2+2x−4.

    Derivatans nollställe, f′(x)=0f′(x)=0, alltså 6x2+2x−4=06x2+2x−4=0 då x=−1x=−1 och x=23x=23.

    Vi bildar ett teckenchema:

    −123f′(x)+0−0+f(x)↗↘↗−123f′(x)+0−0+f(x)↗↘↗

    Vi har ett lokalt maximum i x=−1x=−1, f(−1)=1f(−1)=1.

    Vi har ett lokalit minimum i x=23x=23, f(23)=−9827f(23)=−9827.