6. De trigonometriska funktionerna

Uppgifter

1. Ändra på värdena, A och B, för funktionen $f(x)=A\sin Bx$ i Geogebra Appen. Hur ändrar A och B på funktionens utseende och egenskaper?

   	Värdemängden	Perioden
   A ändrar på
   B ändrar på

   Lösning

   	Värdemängden	Perioden
   A ändrar på
   B ändrar på

2. Ändra på värdena, C och D, för funktionen $f(x)=C+\sin (D+x)$ i Geogebra Appen. Hur ändrar C och D på funktionens utseende och egenskaper?

   	Ändrar på värdemängden	Flyttar på funktionen i sidoled
   C ändrar på
   D ändrar på

   Lösning

   	Ändrar på värdemängden	Flyttar på funktionen i sidoled
   C ändrar på
   D ändrar på

3. Ändra på värdena, A och B, för funktionen $f(x)=A\tan Bx$ i Geogebra Appen. Hur ändrar A och B på funktionens utseende och egenskaper?

   	Flyttar den i sidled.	Ändrar på hur snabbt funktionen växer.	Ändrar på perioden.
   A ändrar på
   B ändrar på

   Lösning

   	Flyttar den i sidled.	Ändrar på hur snabbt funktionen växer.	Ändrar på perioden.
   A ändrar på
   B ändrar på

4. Ändra på värdena, C och D, för funktionen $f(x)=C+\tan (D+x)$ i Geogebra Appen. Hur ändrar C och D på funktionens utseende och egenskaper?

   	Flyttar den uppåt och nedåt.	Flyttar den höger och väster.
   C ändrar på
   D ändrar på

   Lösning

   	Flyttar den uppåt och nedåt.	Flyttar den höger och väster.
   C ändrar på
   D ändrar på

5. Det finns ett samband mellan sinus och cosinus. Ändra på värdena A, B, C och D för $f(x)=A+B\cos(C+Dx)$ så att funktionen f är identisk med funktionen $g(x)=\sin x$.Vilket är sambandet mellan sinus och cosinus?

   Lösning

   $\sin x = 1\cos(90^{\circ} - x)$ eller som $\sin x = \cos(\dfrac{\pi}{2}-x)$.

   Eller som $\sin x = -1\cos(270^{\circ} - x)$ eller som $\sin x = -\cos(\dfrac{3\pi}{2}-x)$.

6. Para ihop rätt funktion med rätt graf. Försök göra det utan att rita upp dem.

   Välj bland uttrycken:

   $y=\sin x$

   $y=\tan x$

   $y=1 +\cos x$

   $y=\cos x$

   $y=2\sin x$

   $y=\cos 2x$

   Grafen av funktionerna är följande:

   Uttryck	Grafen av funktionen

   Lösning

   Uttryck	Grafen av funktionen
   $y=\sin x$
   $y=\cos x$
   $y=\tan x$
   $y=2\sin x$
   $y=\cos 2x$
   $y=1+\cos x$

7. Välj för funktionerna rätt värdemängd och period. Det blir två kryss per rad.

   	Värdemängden [-1,1]	Värdemängden [0,2]	Värdemängden [-2,2]	Perioden $\pi$	Perioden $2\pi$
   $2\sin x$
   $\sin x$
   $2\sin 2x$
   $1+\cos 2x$
   $\sin 2x$
   $2\cos x$
   $\cos x$
   $2\cos 2x$
   $1+\sin x$
   $1+\sin 2x$
   $\cos 2x$
   $1+\cos x$

   Lösning

   	Värdemängden [-1,1]	Värdemängden [0,2]	Värdemängden [-2,2]	Perioden $\pi$	Perioden $2\pi$
   $2\sin x$
   $\sin x$
   $2\sin 2x$
   $1+\cos 2x$
   $\sin 2x$
   $2\cos x$
   $\cos x$
   $2\cos 2x$
   $1+\sin x$
   $1+\sin 2x$
   $\cos 2x$
   $1+\cos x$

8. Bestäm värdemängden för följande funktioner. Då du vet att $-1 \leq \sin x \leq 1$ och att $-1 \leq \cos x \leq 1$.
   1. $f(x) = 2\sin (x) +3$

      Lösning

      För sinus gäller att $-1 \leq \sin (x) \leq 1$.

      Då gäller att $-2 \leq 2\sin (x) \leq 2$.

      Och att $-2+3 \leq 2\sin (x) +3 \leq 2+3$.

      Alltså $1 \leq 2\sin (x) +3 \leq 5$.

   2. $g(x) = 3\sin 3x -1$

      Lösning

      För sinus gäller att $-1 \leq \sin (x) \leq 1$.

      Samma gäller för $\sin 3x$.

      Då gäller att $-3 \leq 3\sin (3x) \leq 3$.

      Och att $-3-1 \leq 3\sin (3x) -1 \leq 3-1$.

      Alltså $-4 \leq 3\sin (3x) -1 \leq 2$.

   3. $h(x) = -2\cos \dfrac{x}{2} +5$

      Lösning

      För cosinus gäller att $-1 \leq \cos (x) \leq 1$.

      Samma gäller för $\cos \dfrac{x}{2}$.

      Då gäller att $-2 \leq 2\cos \dfrac{x}{2} \leq 2$.

      Och för $-2 \leq -2\cos \dfrac{x}{2} \leq 2$.

      Och att $-2+5 \leq -2\cos \dfrac{x}{2}+5 \leq 2+5$.

      Alltså $3 \leq -2\cos \dfrac{x}{2}+5 \leq 7$.

9. Utgå från sinusfunktionen och skissa upp följande funktioner utan att använda dig av räknare. Kontrollera svaret genom att rita på GeoGebra.
   1. $f(x)= \mid \sin x \mid$

      Lösning

      Eftersom absolutbelopp alltid är positiva får vi något som "speglar" sig i $x$-axeln.

      

   2. $g(x)= \sin x - \mid \sin x \mid$

      Lösning

      Då $\sin x$ och $\mid \sin x$ är i olika fas tar de ut varandra. Annars förstärker de varandra.

      

   3. $h(x)= \dfrac{\sin x}{\mid \sin x \mid}$

      Lösning

      I punkterna $n\pi$ får nämnaren värdet 0. Då är $h$ inte definierad. I intervall där $\sin x$ är positiv är funktionen ovan $x$-axeln, annars är den nedanför $x$-axeln. Kvoten har värdet 1 eller -1.