MaA 5 Funktioner och ekvationer 2

14. Tillämpning av logaritmer

För vilka värden på \( x \) gäller att \( 4^x = 7 \) ?

Lösning

Vi löser ekvationen genom att att vi utnyttjar logaritmen med basen 10.

\( \begin{array}{rcl} \lg 4^x & = & \lg 7 \\ x \lg 4 & = & \lg 7 \\ x & = & \dfrac {\lg 7}{\lg 4} \approx 1,40 \\ \end{array} \)

När vi löser exponentialekvationer av typen \( k^x=a \) utnyttjar vi oss av logaritmer med basen 10. Lösningarna till ekvationen \( k^x=a \) är \( x=\dfrac {\lg a}{\lg k} \) .

Om vi inte vill arbeta med logaritmer som har basen 10 så får vi att \( \log_a x = \dfrac {\lg x}{\lg a} \) .

Exempel 1 Vilket tal av \( 2^{4151} \) och \( 3^{2621} \) är större? Hur många siffror består det störret talet av?

Lösning

Talen är såpass stora att en "normal" räknare eller dator klarar inte av att bestämma talen. För att bestämma storleken av talen utnyttjar vi logaritmen med basen 10.

Vi har \( \lg 2^{4151} = 4151 \lg 2 \approx 1249,6 \).

Och \( \lg 3^{2621} = 2621 \lg 3 \approx 1250,5 \).

Logaritmen i basen 10 av talet \( 3^{2621} \) är större än av talet \(2^{4151} \). Talen av logaritmen i basen 10 växer då talen växer. Det betyder att \( 3^{2621} \) är det större talet.

Eftersom \( \lg 3^{2621} \approx 1250,5 \) gäller att \( 3^{2621} \approx 10^{1250,5} \), vi jobbar med definitionen av logaritmer.

Alltså gäller att \( 10^{1250} < 3^{2621} < 10^{1251} \). Alltså består talet \( 3^{2621} \) av lika många siffror som talet \( 10^{1250} \), alltså 1251 siffror.

Exempel 2 På ett bankkonto sätter man in 1500 €. Banken ger en räntesats om 1,0 % per år. Efter hur många år är har summan stigit till över 2000 € då vi varje år betalar en kapitalinkomst skatt på 30 % av räntan?

Lösning

Eftersom vi varje år betalar 30 % skatt av räntan som bildas av 1,0 % så har vi en verklig ränta om \( 0,70 \cdot 0,01 a = 0,007a \) . Den verkliga räntan är 0,7 %.

Vi får en ekvation

\( \begin{array}{rcl} 1,007^x \cdot 1500 & > & 2000 \\ 1,007^x & > & \dfrac {2000}{1500}\\ \lg 1,007^x & > & \lg \dfrac {4}{3} \\ x \lg 1,007 & > & \lg \dfrac {4}{3} \\ x & > & \dfrac {\lg \dfrac {4}{3}}{\lg 1,007} \approx 41,24 \text{ år} \\ \end{array} \)

Efter 42 år.

Uppgifter

  1. För vilka värden på \( x \) gäller följande. Svar med två decimalers noggrannhet.
    1. \( 2^x=5 \)

      \( 2^x=5 \Leftrightarrow x =\dfrac {\lg 5}{\lg 2} \approx 2,32 \) .

    2. \( 7^x=14 \)

      \( 7^x=14 \Leftrightarrow x =\dfrac {\lg 14}{\lg 7} \approx 1,36 \) .

    3. \( 3^x=21 \)

      \( 3^x=21 \Leftrightarrow x =\dfrac {\lg 21}{\lg 3} \approx 2,77 \)

  2. Ordna uträkningarna i rätt ordning så att lösningen är korrekt och logisk.

    1. Välj bland följande uttryck:

      \( 3^x=12 \)
      \( x=\dfrac {\lg 12}{\lg 3} \)
      \( \lg 3^x=\lg 12 \)
      \( x\lg 3=\lg 12 \)

      (1.)
      (2.)
      (3.)
      (4.)

      \( 3^x=12 \) (1.)
      \( \lg 3^x=\lg 12 \) (2.)
      \( x\lg 3=\lg 12 \) (3.)
      \( x=\dfrac {\lg 12}{\lg 3} \) (4.)

    2. Välj bland följande uttryck:

      \( x\lg 2=\lg 6 \)
      \( \lg 2^x=\lg 6 \)
      \( 2^x=6 \)
      \( x=\dfrac {\lg 6}{\lg 2} \)

      (1.)
      (2.)
      (3.)
      (4.)

      \( 2^x=6 \) (1.)
      \( \lg 2^x=\lg 6 \) (2.)
      \( x\lg 2=\lg 6 \) (3.)
      \( x=\dfrac {\lg 6}{\lg 2} \) (4.)

    3. Välj bland följande uttryck:

      \( 5^x=4 \)
      \( \lg 5^x=\lg 4 \)
      \( x=\dfrac {\lg 4}{\lg 5} \)
      \( x\lg 5=\lg 4 \)

      (1.)
      (2.)
      (3.)
      (4.)

      \( 5^x=4 \) (1.)
      \( \lg 5^x=\lg 4 \) (2.)
      \( x\lg 5=\lg 4 \) (3.)
      \( x=\dfrac {\lg 4}{\lg 5} \) (4.)

  3. Korrigera följande uträkning. Var gick det fel och varför?

    \( \begin{array}{rcll} 4^x & = & 12 & \quad \text{(1.)}\\ \lg 4^x & = & \lg 12 & \quad \text{(2.)}\\ x & = & \dfrac {\lg 12}{\lg 4} & \quad \text{(3.)}\\ x & = & \lg 3 & \quad \text{(4.)}\\ \end{array} \)

    Allt är bra ända till rad (4.). Där är \( \dfrac {\lg 12}{\lg 4} \) förkortat till \( \lg 3 \) .

  4. Vilket av talen \( 5^{2239} \) och \( 10^{1565} \) är större? Hur många siffror består det större talet av?

    Vi har \( \lg 5^{2239} = 2239 \lg 5 \approx 1564,99 \).

    Och \( \lg 10^{1565} = 1565 \lg 10 \approx 1565 \).

    Det större talet är \(10^{1565} \).

    Alltså 1566 siffror.

  5. Vilket av talen \( 6^{3002} \) och \( 3^{4902} \) är större? Hur många siffror består det större talet av?

    Vi har \( \lg 6^{3002} = 3002 \lg 6 \approx 2336,0 \).

    Och \( \lg 3^{4902} = 4902 \lg 3 \approx 2338,8 \).

    Det större talet är \(3^{4902} \).

    Vi får att \( 3^{4902} \approx 10^{2338,8} \).

    Alltså \( 10^{2338} < 3^{4902} < 10^{2339} \). Alltså 2339 siffror.

  6. Hur många siffror består talet \( 5^{5^5} \) av?

    \( 5^{5^5} = 5^{3125} \)

    Alltså \( \lg 5^{3125} = 3125\lg 5 \approx 2184,28\ldots \).

    Vi får att \( 5^{3125} \approx 10^{2184,28} \).

    Alltså \( 10^{2184} < 5^{3125} < 10^{2185} \). Alltså 2185 st siffror.

  7. På ett bankkonto placeras 5000 €. Den verkliga räntan efter källskatten är 0,95 % och betalas in på kontot. Efter hur många år överstiger summan på kontot 8000 €?

    Vi får ekvationen \( (1+0,0095)^n \cdot 5000 = 8000 \) som har lösningen \( n = 49,71 \) . Alltså 50 år.

  8. Vi placerar 1500 € så att den årliga av kastningen är 7,0 %. Efter hur många år har kapitalet ökat till 2500 € då vi varje år betalar en skatt på räntan på kapitalinkomster om 30 %?

    Den verkliga räntan är \( 0,07 \cdot 0,70 \).

    Vi får ekvationen \( (1+0,07\cdot 0,70)^n \cdot 1500 = 2500 \) som har lösningen \( n=10,68 \) . Alltså 11 år.

  9. På ett bankkonto placeras 4500 € så att den årliga räntan är 1,1 %. Efter hur många år har kapitalet ökat till 8500 € då vi varje år betalar en skatt på räntan om 30 %?

    Den verkliga räntan är \( 0,011 \cdot 0,70 \).

    Vi får ekvationen \( (1+0,011\cdot 0,70)^n \cdot 4500 = 8500 \) som har lösningen \( n=82,91 \) . Alltså 83 år.

  10. Befolkningsökningen var som störst i Finland efter andra världskriget. 1950 var befolkningsmängden 4,03 miljoner och befolkningstillväxten var 1,0 %. Om befolkningstillväxten skulle ha varit konstant 1,0 % efter 1950, vilket år skulle befolkningsmängden överskrida dagens (år 2015) mängd på 5,47 miljoner?

    Vi har ekvationen \( 1,01^x \cdot 4,03 = 5,47 \) som vi skriver som \( x=\dfrac {\lg\dfrac {5,47}{4,03}}{\lg 1,01} \approx 30,70 \) år.

    År 1950 + 30 = 1980.

  11. Ett företag strävar till att öka omsättningen med 60 % under 10 år.

    Beteckna omsättningen med \( a \) . Om omsättningen skall öka med 60 % är den nya omsättningen 1,6\( a \) .

    1. Hur många procent skall omsättningen öka varje år?

      Omsättningen i början är \( a \) och den procentuella ökningen betecknar vi \( p \) . Vi får ekvationen \( p^{10}\cdot a = 1,6 a \) som har lösningen \( p=\sqrt[10]{1,6} \approx 1,04812 \) som betyder att den årliga ökningen skall vara \( 1,04812-1 = 0,04812 \) , som är 4,81 %.

    2. Om hur många år har omsättningen fördubblats?

      Vi betecknar omsättningen med \( a \) , \( n \) antal år och får ekvationen \( 1,0481^n \cdot a = 2a \) som har lösningen \( n = \dfrac {\lg 2}{\lg 1,0481} \approx 14,75 \) .

      Alltså 15 år.

  12. Varje år fördubblas antalet råttor i en storstad. Hur lång tid tar det för antalet råttor att bli 100 gånger så stort?

    Vi betecknar antal råttor med \( a \) . Vi får ekvationen \( 2^n\cdot a=100 a \) som har lösningen \( n=\dfrac {\lg 100}{\lg 2} \approx 6,64 \) .

    Alltså 7 år.

  13. Radioaktiva material har en naturligt sönderfall som kallas för halveringstid. Halveringstiden betyder att antalet aktiva, radioaktiva kärnor minskar med hälften. Halveringstiden för kol 11 som används i PET skanning har en halveringstid på 20,5 minuter. Efter hur många minuter har aktiviteten sjunkit till en 100-del av vad den var i början?

    Vi betecknar antalet radioaktiva kärnor med \( a \) . Efter första halveringen har vi \( 0,50a \) kvar, efter andra halveringen har vi \( 0,50^2\cdot a \) kvar.

    Vi söker antalet halveringar som behövs genom att lösa ekvationen \( 0,50^n \cdot a = \dfrac {a}{100} \) som har lösningen \( n=\dfrac {\lg\dfrac {1}{100}}{\lg 0,50} \approx 6,6438 \) halveringar.

    Varje halvering tar 20,5 minuter som betyder att den totala tiden blir \( 20,5 \text{ minuter } \cdot 6,6438 = 136,1979 \) minuter.